Phần 1 khảo sát hàm số. Bài toán liên quan
A. Khảo sát hàm số
I. Các bớc khảo sát hàm số
Các bớc khảo sát hàm đa thức Các bớc khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt, nx tính đối xứng
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng
- Đồ thị
Sự khác biệt :
Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
II. Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0)

Hàm số trùng phơng: y = ax

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0
Dạng 1. Hàm số có 1 CT ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dng 2: hm s cú 1 cc tr ?
?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dng 1: hm s cú 3 cc tr ?
y
I

Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
+ (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b)
Ta sử dụng công thức
b
S f x dx
a
=

( )
(I)
+ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
=

( ) ( )
(II)
+ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx


0)
Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
không có cực trị hoặc có 2 cc trị.
+ Hs có 2 ct

y có 2 nghiệm phân biệt
+ Hs không có ct

y vô nghiệm
Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0
(a;b)
- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0

0
) = 0 và f(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
5. Viết PTTT của đồ thị hàm số
TIP TUYN CA NG CONG ( C ) : y = f(x)
- Phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti M(x
0
; y
0
) : y y
0
= f(x
0
)(x x
0
)
- ( C ) : y = f(x) v ( D ) : y = g(x) tip xỳc vi nhau
( ) ( )
( ) ( )



=

=


xgxf
xgxf

; y
0
) l tip im. Tip tuyn cú h s gúc k
( )
kxf =


0
. Gii phng trỡnh tỡm x
0
( )
00
xfyD =

Phng trỡnh tip tuyn y y
0
= k( x x
0
)
Cỏch 2 : Gi (d) : y = kx + b l tip tuyn ca ( C )

( ) ( )
( ) ( )



+=
=

2

= f(x
0)
v f(x
0
) theo x
0
. Phng trỡnh tip
tuyn ca (C) ti M l : y y
0
= f(x
0
)( x x
0
) (1) Vỡ tip tuyn i qua A nờn y
1

y
0
= f(x
0
)( x
1
x
0
) gii phng trỡnh tỡm x
0
thay vo (1).
Cỏch 2 : Gi (d) l ng thng i qua A cú h s gúc k . Ta cú
(d) : y y
1

xgxf
cú nghim. T ú suy ra giỏ tr tham s
6. Max - min
a. Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M

=
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m

=
(ký hiệu m=minf(x) )
b. Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực
đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
b. Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x

(1) (A 2002)
1). KSSBT và VĐT của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm k để pt : x
3
+ 3x
2
+ k
3
3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt
3). Viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)
Bài 2: Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10= + +y mx m x
(1) ( m là tham số) (B 2002)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị
Bài 3: Cho hàm số : y =
2
(2 1)
(1)
1


m x m
x
( m là tham số) (D 2002)
1).Khảo sát sự biến thiên và VĐT (C) của hàm số (1) ứng với m = 1
2). Tính d.t hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và 2 trục tọa độ

(1) (D 2003)
2). Tìm m để đờng thẳng d
m
: y = mx + 2 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số
+
=

2
3 3
2( 1)
x x
y
x
(1). (A 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 8: Cho hàm số y =
+
3 2
1
2 3
3
x x x
(1) có đồ thị (C) (B 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C)
có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 9: Cho hàm số y = x
3

x
(m là tham số) (B 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.
2). CMR với m bất kỳ , đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng
20
Bài 12: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
3 2
1 1
3 2 3
+
m
x x
(*) (m là tham số) (D 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.
2). Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuỵến của (C
m
) tại điểm M
song song với đờng thẳng 5x y = 0.
Bài 13: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x
3
9x
2
+ 12x 4