1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung
ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định:
... Phải đổi mới phơng pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục
lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo
cho ngời học ....
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
(năm 1998) quy định: ... Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn ....
Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những
nhiệm vụ của môn Toán trờng phổ thông trung học: ... Góp
phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, t duy biện
chứng, ..., đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh
linh hoạt, độc lập, sáng tạo ....
Chơng trình môn Toán (Thí điểm) trờng Trung học phổ
thông (năm 2002) cũng đã chỉ rõ: ... Môn Toán phải góp
phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình
thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết
cho cuộc sống; ...; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức
đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn;
phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những


2



một trong các nhiệm vụ quan trọng của dạy học Toán ở trờng
phổ thông, đã nêu lên những thành tố của loại hình t duy
này [18], [21], [22], [48], [75], [80], [133], [156], [162], ... .
Tuy nhiên, cha phải đã có một quan điểm thống nhất về
những thành tố của nó. Hơn nữa, do tính khái quát trong
cách trình bày, các tài liệu cũng cha có dịp đi sâu để xem
xét những hình thái của loại hình t duy này trong từng cấp
học và trong từng phân môn (của môn Toán).
Lời chỉ giáo của V. I. Lênin: Không có chân lý trừu tợng,
chân lý bao giờ cũng cụ thể [90] là một tiền đề rất quan
trọng để chúng ta có thể đi vào việc nghiên cứu sâu hơn
vấn đề phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ
thông trong dạy học Đại số.
1.4. Đại số ở bậc Trung học phổ thông nói chung, Đại số 10
nói riêng là môn học có nhiều chủ đề thích hợp với việc phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học cho học sinh. Chẳng hạn, chủ đề phơng trình, bất
phơng trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích
hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng; phơng trình, bất phơng trình vô tỷ thích hợp
với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi tơng đơng;
bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy
diễn; các thuật ngữ và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với
việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biểu đạt vấn đề một
cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phơng trình bậc nhất


4


dạy học Đại


5

Mục đích của Luận án là nghiên cứu để xác định những
thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện
trong Đại số, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện
pháp nhằm góp phần phát triển năng lực này cho học sinh lớp
10 trong dạy học Đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tổng hợp quan điểm của một số nhà khoa học về t
duy toán học, năng lực toán học, t duy lôgic, ngôn ngữ toán
học - nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc trng
đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số. Phân tích,
so sánh, đối chiếu các quan điểm đó để rút ra những nhận
định cần thiết;
3.2. Đề xuất những căn cứ làm cơ sở để xác định các
thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện
trong Đại số;
3.3. Đề xuất một cách quan niệm về năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10
thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố
đặc trng của năng lực này;
3.4. Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc
xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm;

nội dung của khái niệm năng lực t duy lôgic và sử dụng chính
xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại
số thông qua việc làm rõ những thành tố đặc trng của năng
lực này;


7

6.1.2. Đã nêu lên đợc một cách tơng đối hệ thống và khái
quát (kèm theo sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn,
những sai lầm phổ biến của học sinh khi đứng trớc những
vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn đề đó đòi
hỏi một sự thể hiện về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính
xác ngôn ngữ toán học của học sinh;
6.1.3. Đã đa ra đợc những định hớng và những biện
pháp s phạm nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh trong
dạy học Đại số 10. Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất mà còn
hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hớng tích
cực hoá hoạt động của học sinh - phù hợp với định hớng đổi
mới phơng pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói
cách khác, Luận án rất quan tâm đến phơng thức dẫn dắt,
lôi cuốn một cách hợp lý để học sinh tham gia tích cực vào
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
6.2. Về mặt thực tiễn
6.2.1. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học môn Toán ở trờng Trung học phổ thông;
6.2.2. Phân tích, đề xuất cách trình bày hợp lý hơn
đối với một khái niệm cơ bản của Đại số 10 (việc nắm vững

Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham
khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy
toán học và năng lực toán học.
1.3. Sơ lợc về ngôn ngữ.
1.4. Ngôn ngữ toán học.


9

1.5. Năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học.
1.6. Kết luận.
Chơng 2: Một số biện pháp nhằm góp phần phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực
t duy lôgic

và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho

học sinh lớp 10 trong dạy học

Đại số.

2.3. Kết luận.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

chẳng hạn: T duy là quá trình nhận thức phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật
của sự vật và hiện tợng trong hiện thực khách quan [57, tr.
117], hoặc: T duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt
chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính
yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát


11

thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. T duy sinh ra
trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt
xa giới hạn của nó [163, tr. 290].
T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá
tính ngôn ngữ. Trong quá trình phát triển, t duy con ngời
không dừng lại ở trình độ t duy bằng thao tác tay chân,
bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duy bằng
ngôn ngữ, t duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy
đặc biệt của con ngời [57, tr. 119]. Trong quá trình t duy,
con ngời sử dụng phơng tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã
hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành
các thao tác t duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng
hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán
đoán, suy lý, những quy luật - những sản phẩm khái quát của
t duy.
1.1.2. Đặc điểm của t duy
Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - t duy
có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác.
T duy có những đặc điểm cơ bản sau [57, tr. 119-125]:
* T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn


13

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Hoạt động t duy mớ i

Hình 1.1
* Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t
duy đợc diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác
trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia
vào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động trí
tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát
hoá, ...
1.1.3. Tác dụng của t duy
T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Ngời ta

Các thuật ngữ t duy lý luận, t duy kinh nghiệm đã đợc V.
V. Đavđôv sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong
dạy học [43, tr. 247].
J. Piaget thờng nói đến 2 loại t duy: t duy cụ thể và t duy
hình thức.
Trên đây là một số cách phân loại t duy, qua đó có thể
nhận thấy rằng: cách phân loại t duy là hết sức đa dạng.


15

1.2. Một số quan điểm về những thành phần
của t duy toán học và năng lực toán học
Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về
năng lực toán học hay t duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho
việc xác định các thành tố đặc trng của năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS trong Đại số
(sẽ đợc trình bày trong những phần về sau) mà thôi.
Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:
- Cha có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm
của các nhà

khoa học;

- Chỉ có sự độc lập tơng đối giữa các thành phần đợc
tách ra từ năng lực toán học hoặc t duy toán học;
- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình t
duy là cha thống nhất, một loại hình t duy nào đó theo cách
hiểu của tác giả này có thể không đồng nhất với loại hình t
duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và cũng không nhất

Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn
đề thứ nhất và vấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ
tự nó kéo theo việc giải quyết vấn đề thứ ba. Có nghĩa là
cho rằng, sự phát triển t duy toán học diễn ra một cách tự
phát trong quá trình giảng dạy Toán. Trong một chừng mực
nào đó, điều này có thể đúng, nhng chỉ trong một chừng
mực nào đó mà thôi [156, tr. 131], [162, tr. 105].
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng
trong quá trình hoạt động toán học của HS, nó còn là thành
phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng hớng
thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho
HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học [156, tr.
131].
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: Làm khoa học gì
thì cũng đụng chạm đến kiến thức, t duy và tính cách con


17

ngời một cách sâu đậm. Kiến thức, t duy, tính cách con ngời
chính là mục tiêu của giáo dục [128, tr. 7]. Nhận xét đó đợc
Ông nhắc lại trong bài Văn hoá Toán học (Tạp chí Giáo dục,
số 38, tr. 41).
Nhà tâm lý học A. N. Lêônchiev trong Hoạt động, ý thức,
nhân cách có nhận định tơng tự [91, tr. 350].
Tới nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ
khác nhau) đến các khía cạnh xung quanh vấn đề t duy toán
học: [66], [75], [17], [137], [73], [128], [97], [94], [125], [16],
[156], [157], [162], [171], [158], ...
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của

1)

T duy cụ thể;

2)

T duy trừu tợng;

3)

T duy trực giác;

4)

T duy hàm;

5)

T duy biện chứng;

6)

T duy sáng tạo;

7)

Các phong cách toán học của t duy.

Đặc biệt, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành:
* T duy phân tích;

* T duy không gian.
Có thể lu ý một đặc điểm nữa của [156], [162]: khi đề
cập đến loại hình t duy nào, đều mô tả tơng đối cụ thể
bằng cách chỉ ra những đặc trng của loại hình t duy ấy.
Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về
giáo dục Toán học (ở trờng phổ thông), không thấy Ông nói
đến những thành phần của t duy toán học hay cấu trúc của
năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những
yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh. Những yêu cầu
đó là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình
suy luận, thấy đợc sự thiếu sót của những điều cần thiết
trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các ký hiệu;
4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154].
Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinshin, Giáo s A. I.
Marcusêvich, cũng không nói rõ rằng t duy toán học; năng lực
toán học bao gồm những thành phần nào mà có cách sử dụng
khác về thuật ngữ.


20

Theo A. Ia. Khinshin, những nét độc đáo của t duy toán
học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến
mục đích;

hình tợng [128, tr. 146-149].
Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc
năng lực toán học là công trình Tâm lý năng lực toán học của
học sinh của V. A. Cruchetxki.
Theo V. A. Cruchetxki: Những năng lực toán học đợc hiểu
là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của
hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững
chắc nh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong
việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với t cách là một
môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh, dễ dàng,
sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực
Toán học [158, tr. 91].
Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học
ở lứa tuổi học sinh là nh sau:
1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực
nắm đợc cấu trúc hình thức của bài toán;
2) Về mặt chế biến thông tin toán học:


22

a) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng
và các quan hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu
số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học;
b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tợng,
quan hệ, các phép toán của Toán học;
c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ
thống các phép toán tơng ứng; năng lực suy nghĩ với những

lĩnh vực Đại số. Theo E. L. Thorndike, những thành tố của
năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tơng quan số lợng thành công
thức;
3) Năng lực biến đổi các công thức;
4) Năng lực thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan
hệ số lợng

đã cho;

5) Năng lực giải các phơng trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng
nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của
hai đại luợng (dẫn theo V. A. Cruchetxki trong [158, tr. 47]).
Các tác giả: A. A. Stôliar [171]; E. L. Gingulixơ [151]; X. B.
Xuvôrôva [173]; A. S. Krgôvxcaia [159]; X. I. Xvacxbua
[177]; ... cũng đề cập đến một số khía cạnh liên quan đến
vấn đề t duy toán học; năng lực toán học hoặc hoạt động
toán học.
Bên cạnh các tác giả nớc ngoài, một số loại hình của t duy
toán học đã đợc các tác giả Việt Nam nghiên cứu.


24

Trong [66, tr. 60-61], tác giả cho rằng: Để nhận thức mặt
nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng, để nhận
thức mặt hình thức của hiện thực cần có t duy lôgic, nên t

hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn. Sự liên quan chặt
chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã đợc thấy qua rất
nhiều ví dụ. Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá
trình suy luận là hệ quả của thành phần năng lực khái quát
hoá [158, tr. 385-388], và Iu. M. Kô- liagin: Biểu đồ những
thành phần t duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng và đơng nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh.
Trong thực tế của quá trình t duy toán học, tất cả những
thành phần t duy ở trên tác động qua lại một cách hữu cơ với
nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác t duy
này hay khác. Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình
phức tạp nh t duy toán học, bằng cách xét các thành phần
riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu các biểu
hiện riêng biệt của t duy toán học trong quá trình giảng dạy
Toán mà thôi. Chỉ có nh vậy ngời giáo viên mới có điều kiện
thúc đẩy sự phát triển nếu không đợc toàn diện thì cũng là
sự phát triển từng phần t duy toán học cho học sinh [156, tr.
136].
Xin nêu thêm một dẫn chứng nữa, đó là nhận xét: Chúng
tôi quan niệm rằng, t duy hàm thể hiện một phần của t duy
lôgic hình thức và t duy biện chứng của tác giả Trần Thúc
Trình trong bài báo Trao đổi thêm về t duy hàm trong dạy