1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: Phải đổi mới phơng
pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp t duy sáng tạo cho ngời học .
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn .
Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những nhiệm vụ của môn
Toán trờng phổ thông trung học: Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, t
duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy lôgic và ngôn ngữ chính
xác, t duy biện chứng, , đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh
linh hoạt, độc lập, sáng tạo .
Chơng trình môn Toán (Thí điểm) trờng Trung học phổ thông (năm
2002) cũng đã chỉ rõ: Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát
triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học
cần thiết cho cuộc sống; ; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học
vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận
có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt
các vấn đề một cách chính xác .
1.2. Nhận định về phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông trong
giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết:
Kiến thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế
nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến
thức [128, tr. 7]. Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức
2


sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh. Chẳng hạn, chủ đề phơng
trình, bất phơng trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng; phơng trình,
bất phơng trình vô tỷ thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến
đổi tơng đơng; bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn; các thuật
ngữ và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ
năng biểu đạt vấn đề một cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phơng trình
bậc nhất thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá tình
huống thực tiễn; . Tuy nhiên - nh thực tiễn s phạm đã cho thấy - năng lực
t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh trong Đại
số nhìn chung cha đạt tới mức độ mà nó có thể đạt tới (điều này sẽ đợc
phân tích kỹ trong phần nội dung của Luận án). Nguyên nhân dẫn đến điều
này phải chăng vì giáo viên cha ý thức đợc tầm quan trọng, hoặc cha có
những biện pháp s phạm thích hợp để phát triển năng lực t duy lôgic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh?.
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến t duy lôgic, chẳng hạn
luận án Tiến sĩ của Nguyễn Đinh Hùng (1996): Bồi dỡng t duy lôgic cho
học sinh trờng trung học cơ sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài
tập Đại số lớp 7 [70], nhng cha có công trình nào nghiên cứu việc phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học
sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số.
Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
Góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong
dạy học Đại số. 4

học của học sinh đầu cấp THPT thể hiện trong Đại số. Trên cơ sở đó, trong
dạy học Đại số 10, nếu xây dựng đợc một số biện pháp thích hợp thì có thể
phát triển cho học sinh năng lực này, góp phần quan trọng vào việc nâng cao
chất lợng dạy học môn Toán ở trờng Trung học phổ thông.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận án;
5.2. Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại số;
5.3. Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp s phạm đã đề xuất.
6. Cái mới và đóng góp của luận án
6.1. Về mặt lý luận
6.1.1. Đã xác định đợc (kèm theo những lý giải xác đáng) nội dung của
khái niệm năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố
đặc trng của năng lực này;
6.1.2. Đã nêu lên đợc một cách tơng đối hệ thống và khái quát (kèm
theo sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn, những sai lầm phổ biến của
học sinh khi đứng trớc những vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn
đề đó đòi hỏi một sự thể hiện về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học của học sinh;
6.1.3. Đã đa ra đợc những định hớng và những biện pháp s phạm
nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh trong dạy học Đại số 10. Không chỉ dừng lại ở việc
đề xuất mà còn hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hớng tích
cực hoá hoạt động của học sinh - phù hợp với định hớng đổi mới phơng
6

pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói cách khác, Luận án rất quan

chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và năng
lực toán học.
1.3. Sơ lợc về ngôn ngữ.
1.4. Ngôn ngữ toán học.
1.5. Năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học.
1.6. Kết luận.
Chơng 2: Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực t
duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10
trong dạy học Đại số
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học
Đại số.
2.3. Kết luận.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.
8

Chơng 1
cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy
1.1.1. Khái niệm về t duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của con
ngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Tuy nhiên, thực

Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - t duy có những đặc
điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. T duy có những đặc điểm cơ
bản sau [57, tr. 119-125]:
* T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* T duy có tính khái quát;
* T duy có tính gián tiếp;
* T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng
không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ
ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình t duy.
Đặc điểm điển hình của t duy của con ngời là mối liên hệ không thể
chia cắt đợc giữa t duy và ngôn ngữ. Nhận thức, t duy của con ngời chỉ có
thể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của t
duy của con ngời khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt động tâm
lý của động vật [115, tr. 874-875].
* T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù t duy có khái quát và trừu tợng đến đâu thì
nội dung của t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri
giác, hình tợng trực quan, ). X. L. Rubinstêin khẳng định rằng: Nội dung
cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ
dựa cho t duy (dẫn theo [57, tr. 122]).
10

* T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình, nghĩa là t
duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình t duy bao gồm nhiều giai
đoạn kế tiếp nhau đợc minh hoạ bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đa ra):
đ
Nhận thức vấn
Xuất hiện các liên tởng
Sàng lọc liên tởng và hình thành giả thuyt

hơn, ra đời muộn hơn so với loại t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời,
đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật,
hiện tợng.
c) T duy trừu tợng (t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở
mức độ cao nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề
dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn
ngữ, lấy ngôn ngữ làm phơng tiện.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại t duy: t duy hình
tợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic.
Trong đó, t duy lôgíc đợc hiểu là: T duy thay thế các hành động với
các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic
học [105, tr. 126-130].
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki, ông có nói đến: t duy
tích cực, t duy độc lập, t duy sáng tạo, t duy lý luận [30, tr. 112-117].
Các thuật ngữ t duy lý luận, t duy kinh nghiệm đã đợc V. V. Đavđôv
sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong dạy học [43, tr. 247].
J. Piaget thờng nói đến 2 loại t duy: t duy cụ thể, t duy hình thức.
Trên đây là một số cách phân loại t duy, qua đó có thể nhận thấy rằng:
cách phân loại t duy là hết sức đa dạng.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học
và năng lực toán học
Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về năng lực toán học
hay t duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc
trng của năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
HS trong Đại số (sẽ đợc trình bày trong những phần về sau) mà thôi.
Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:
12

- Cha có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm của các nhà
khoa học;

tự phát trong quá trình giảng dạy Toán. Trong một chừng mực nào đó, điều
này có thể đúng, nhng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi [156, tr.
131], [162, tr. 105].
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một
cách có phơng hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ
cho HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học [156, tr. 131].
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: Làm khoa học gì thì cũng đụng
chạm đến kiến thức, t duy và tính cách con ngời một cách sâu đậm. Kiến
thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục [128, tr. 7].
Nhận xét đó đợc Ông nhắc lại trong bài Văn hoá Toán học (Tạp chí Giáo
dục, số 38, tr. 41).
Nhà tâm lý học A. N. Lêônchiev trong Hoạt động, ý thức, nhân cách có
nhận định tơng tự [91, tr. 350].
Tới nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các
khía cạnh xung quanh vấn đề t duy toán học: [66], [75], [17], [137], [73],
[128], [97], [94], [125], [16], [156], [157], [162], [171], [158],
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và
năng lực toán học
Trong số những công trình có đề cập về t duy toán học, trớc hết có thể
kể đến Phơng pháp giảng dạy Toán ở trờng phổ thông của nhóm tác giả:
Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L. Lukankin.
Cuốn sách này đợc ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [156] và đợc tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [162].
14

Trong các cuốn sách này, tác giả đã trình bày rất cụ thể về những thành
phần của t duy toán học. ít thấy tài liệu nào đề cập đến t duy toán học một
cách chi tiết nh vậy.
Khẳng định về sự đa dạng của những quan điểm về t duy toán học, tác

4) T duy hàm [162, tr. 116].
Nói riêng, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành [162, tr. 120]:
* T duy phân tích;
* T duy lôgic;
* T duy không gian.
Có thể lu ý một đặc điểm nữa của [156], [162]: khi đề cập đến loại hình
t duy nào, đều mô tả tơng đối cụ thể bằng cách chỉ ra những đặc trng của
loại hình t duy ấy.
Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục Toán
học (ở trờng phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của t
duy toán học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng
cụm từ những yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh. Những yêu cầu
đó là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đợc
sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các ký hiệu;
4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154].
Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinshin, Giáo s A. I. Marcusêvich, cũng
không nói rõ rằng t duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành
phần nào mà có cách sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinshin, những nét độc đáo của t duy toán học là:
16

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa
xác định chặt chẽ);

trong lĩnh vực Toán học [158, tr. 91].
Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học
sinh là nh sau:
1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm đợc cấu
trúc hình thức của bài toán;
2) Về mặt chế biến thông tin toán học:
a) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và các quan
hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các
ký hiệu toán học;
b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tợng, quan hệ,
các phép toán của Toán học;
c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tơng ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc đợc rút gọn;
d) Tính mềm dẻo của các quá trình t duy trong hoạt động toán học;
e) Khuynh hớng vơn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính
hợp lý của lời giải;
f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hớng suy nghĩ, dạng t
duy thuận chuyển qua t duy ngợc.
3) Về mặt lu trữ thông tin toán học:
Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các
đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh).
18

4) Về thành phần tổng hợp khái quát:
Khuynh hớng toán học của trí tuệ [66, tr. 129], [158, tr. 385-386].
Theo Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của năng lực toán học
có:
1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
con đờng giải các phơng trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc nh các nhà

(thuật giải) [75, tr. 201-202]; tác giả cũng đề xuất một số hớng có thể thực
hiện để rèn luyện t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy
đoán và tởng tợng, rèn luyện những thao tác t duy cho học sinh qua môn
Toán [75, tr. 30-33].
Những đặc trng của t duy hàm và bốn T tởng chủ đạo để phát triển t
duy hàm đã đợc tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [76, tr. 122-149].
Theo đó, t duy hàm đợc đặc trng bởi các hoạt động:
- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng;
- Nghiên cứu những sự tơng ứng;
- Lợi dụng những sự tơng ứng [76, tr. 123].
1.2.3. Một số nhận xét đợc rút ra từ việc tham khảo các quan điểm
của các tác giả về t duy toán học và năng lực toán học
Có thể nhận thấy rằng:
* Hai thành phần có tên gọi nh nhau theo quan điểm của hai tác giả có
thể không đồng nhất về nội hàm. Chẳng hạn, t duy hàm theo quan điểm của
tác giả Nguyễn Bá Kim [76, tr. 123-124] với t duy hàm theo quan điểm của
tác giả Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian [162, tr. 127] không là đồng nhất
với nhau;
* Giữa các thành phần có sự giao thoa. Xin dẫn chứng bởi nhận xét của
V. A. Cruchetxki: Các thành phần của cấu trúc năng lực toán học liên quan
mật thiết với nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn. Sự
20

liên quan chặt chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã đợc thấy qua rất
nhiều ví dụ. Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá trình suy luận là hệ
quả của thành phần năng lực khái quát hoá [158, tr. 385-388], và Iu. M. Kô-
liagin: Biểu đồ những thành phần t duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng
và đơng nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh. Trong thực tế của
quá trình t duy toán học, tất cả những thành phần t duy ở trên tác động qua
lại một cách hữu cơ với nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác

Vấn đề ngôn ngữ mà Luận án muốn đề cập đến là ngôn ngữ toán học.
Tuy nhiên, thuật ngữ khoa học không cách biệt hoàn toàn với từ thông thờng
và các lớp từ vựng khác không phải là thuật ngữ. Dẫu sao, thuật ngữ khoa học
vẫn là một bộ phận của hệ thống từ vựng nói chung, có quan hệ với các từ
khác trong hệ thống ngôn ngữ. Cả các từ thông thờng lẫn thuật ngữ khoa học
đều chịu sự chi phối của các quy luật ngữ âm, cấu tạo từ và ngữ pháp của ngôn
ngữ nói chung. Mặt khác trong giảng dạy Toán, không thể không quan tâm
đến việc nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác [73,
tr. 3, 4], [21, tr. 59], [80, tr. 387]. Do đó, cần sơ lợc vài nét cơ bản nhất về
ngôn ngữ tự nhiên.
1.3.1. Chức năng của ngôn ngữ
* Ngôn ngữ là phơng tiện giao tiếp trọng yếu nhất của con ngời.
* Ngôn ngữ là phơng tiện của t duy.
1.3.2. Về một số hiện tợng trong tiếng Việt
Trong tiếng Việt, ta thờng gặp một số hiện tợng. Trớc hết là hiện
tợng đồng âm khác nghĩa.
Từ đồng âm là những từ giống nhau về âm thanh, nhng có những ý nghĩa
hoàn toàn khác nhau, chúng trùng nhau về cả âm thanh lẫn chữ viết trong tất
cả (hoặc hàng loạt) hình thái ngữ pháp vốn có của chúng [54].
22

Chẳng hạn, theo Từ điển tiếng Việt thì từ đờng có thể hiểu theo 9 nghĩa
khác nhau.
Hiện tợng đồng âm trong tiếng Việt càng đợc thấy rõ hơn khi ta đọc
các câu sau đây:
Ba ngày trớc khi đi Hạ Long tôi có gặp bạn Nam.
Cái xe đạp nhẹ lắm.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số
khác nhau?
Thứ hai là hiện tợng phi lôgíc. Chẳng hạn các câu:

Đặc điểm thứ năm của thuật ngữ thể hiện ở chỗ nú không mang sắc thái
tu từ biểu cảm.
1.3.4. Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những
điều đáng bàn. Chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ
hay. Đó là công việc ở các trờng dạy viết Văn chẳng hạn. Nhng khi nói đến
rèn luyện ngôn ngữ thì ngời ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng,
ngôn ngữ chuẩn mực. Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, về
nguyên tắc phải đợc hoàn thành ở bậc học phổ thông. Nhng trên thực tế, ở
nớc ta, học sinh tốt nghiệp 12 năm phổ thông nói, viết tiếng mẹ đẻ cha tốt
lắm. Cho nên, muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn
nhiều công sức cho việc rèn luyện ngôn ngữ, trớc hết, tập trung vào luyện kỹ
năng sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác [126, tr. 20].
N. G. Trernsepxki cho rằng: Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt
không sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình
rối rắm, phức tạp mà thôi (dẫn theo [1]). Vì vậy, rèn luyện kỹ năng dùng
ngôn ngữ chính xác chính là rèn luyện t duy chính xác. Khi học sinh học
hoặc làm bài mà chú ý đến từng câu, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm
24

phẩy thì chính là họ đơng t duy. Trong các bài tập ra cho học sinh, nên có
các bài tập yêu cầu diễn tả các công thức sang ngôn ngữ thông thờng để
chống bệnh hình thức và rèn luyện dùng ngôn ngữ cho chính xác [130,
tr. 141].
1.4. Ngôn ngữ toán học
1.4.1. Một số tác giả quan niệm rằng: Toán học hiểu theo nghĩa nào đó
là một thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên
cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài ngời [66, tr. 96],
[171, tr. 229]. Bởi vậy: Dạy học Toán, xét về mặt nào đó là dạy học một
ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự
kiện, các phơng pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt

Chẳng hạn, trong Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0 trong đó a, b là
những hằng số, a

0, đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn số; b đợc
gọi là hạng tử tự do (Đại số 8, tr. 67) có sự xuất hiện của ký hiệu; thuật ngữ và
ngôn ngữ tự nhiên.
Hệ thống các ký hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn
ngữ ký hiệu. Để làm sáng tỏ lợi ích của các ký hiệu toán học, G. Pôlya dẫn ra
ví dụ: chúng ta thử cộng nhiều số khá lớn với giả thiết là không đợc dùng chữ
số ảrập mà chỉ đợc dùng chữ số La Mã, nh vậy thì phải mất bao lâu để làm
phép tính: MMMXC + MDCXII + MDCCCLXXXVII? [110, tr. 135].
G. W. Leibnitz ví ngôn ngữ ký hiệu nh sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông
cho rằng: Chúng ta sử dụng ký hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ
của ta cho ngời khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chính
chúng ta (dẫn theo [51, tr. 4]).
Năng lực t duy toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu có liên
quan chặt chẽ với nhau, nắm vững đợc ngôn ngữ các ký hiệu toán học cũng
có nghĩa là nắm vững đợc những đặc trng của t duy toán học [173, tr. 30].