Chơng 4 Giải tích 12 Số Phức
I. S PHC V BIU DIN S PHC :
1. nh ngha: S phc l mt biu thc cú dng
a bi+
, trong ú
2
, ; 1a b i = Ă
.
S phc
z a bi= +
cú
a
l phn thc,
b
l phn o.
S phc
z a bi= +
c biu din bi im
( )
;M a b
hay bi
( )
;u a b=
r
trong
mt phng ta Oxy.
z = a + 0i l s thc
z = 0 + bi l s thun o
z = 0 + 0i va l s thc va l s o
Hai s phc bng nhau :
a c

l s
thc khi v ch khi
z z=
,
z
l s o khi v ch khi
z z=
2. CC PHẫP TON TRấN S PHC :
a. Phộp cng, tr, nhõn hai s phc :
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + = +
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di ac bd ad bc i+ + = + +
Chỳ ý :
Cỏc phộp toỏn : cng, tr, nhõn hai s phc thc hin nh rỳt gn biu thc i s
quen thuc vi chỳ ý rng
2
1i =
. Cỏc quy tc i s ó bit trờn tp s thc vn
c ỏp dng trờn tp s phc.
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i= = = =
. Tng quỏt :
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +

. .
.
z z z z z
z z z
z
′ ′ ′
= =

Chú ý :
1
1
i
i
i
+
=
−
.
c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :
•
z z=
;
z z z z
′ ′
+ = +
;
.zz z z
′ ′
=
;

+ ≤ +
• Tính kết hợp: ( z + z
/
) + z
//
= z + ( z
/
+ z
//
)
• Tính giao hoán : z + z
/
= z
/
+ z
• Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z
• z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z
I. Căn bậc 2 của số phức:
1. Định nghĩa : Số phức
z
là căn bậc hai của số phức w nếu :
2
z w=
.
Như vậy để tìm Số phức
z x yi= +

( )
,x y∈ ¡
là căn bậc hai của số phức

i
±
.
II. Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =
(
, , , 0a b c a∈ ≠£
).
• Nếu
0∆ =
, phương trình có một nghiệm kép
2
b
z
a
= −
.
• Nếu
0∆ ≠
, phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1,2
2
b
z
a
δ
− ±
=

1 2
,z z
có tổng
1 2
z z S+ =
và
1 2
z z P=
thì
1 2
,z z
là nghiệm của phương trình :
2
0z Sz P− + =
.
I. Dạng lượng giác của số phức :
Số phức
0z a bi= + ≠
có dạng lượng giác là :
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
; trong đó :
0r z= >
,
cos
a
r
ϕ

thì
π ϕ
+
là một acgumen của
z−
.
II. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
và
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
′ ′ ′ ′
= +
thì :
( ) ( )
cos sinzz rr i
ϕ ϕ ϕ ϕ
′ ′ ′ ′
= + + + 
 
,
( ) ( )
cos sin
z r
i

( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
thì các căn bậc hai của
z
là :
2 2
cos sin
2 2
k k
r i
ϕ π ϕ π
+ +
 
+
 ÷
 
, với
0k =
hay
1k =
.
Bài 1:
Xác đònh phần thực , phần ảo của các số phức sau :
− − a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0
− − − + − −
2
e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i)
Bài 2:

− − −
=
− − −
−
7 2i 1 1 3 2i 3 4i
G = ;H ; I = ; J = ; K =
8 6i 2 5i i 4 i
1 3
i
2 2
Bài 7:
− + + +
2 3 2
1 3 1
Cho z = i . Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z .
2 2 z
Bài 8:
∈ £Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z

− − − − − −
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0
e).
( )
3 3 2 6 7x i i+ − = +
; f).
( ) ( )
5 2 2 7 3i x i i+ + − + = −
.
g).
( )

a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z ( 2 i)z 2i 0
e) ix 2(1 i)x 4 0 f) x (5 i)z 8 i 0
+ =
2
g) z 4 0
h)
2
2z i=
Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 5