Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 : VÉC TƠ
1- véc tơ trong không gian:
- Các khái niệm , đn, các phép toán về
véctơ…. Giống như trong mặt phẳng .
2- Véc tơ đồng phẳng :
- Đlí 1 , Đlí 2, Đlí 3. ( SGK ).
3- Một số đẳng thức véctơ :
- Qui tắc 3 điểm , hệ thức trung
tuyến , hệ thức trọng tâm tam giác
BÀI 2 : HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ – TOẠ ĐỘ VÉC
TƠ – TOẠ ĐỘ MỘT ĐIỂM
1- Hệtrục toạ độ :
2- Toạ độ cuả véctơ :
-Cho
a
r
ta có :
1 2 3 1 2 3
( ; ; )a a i a j a k a a a a= + + ⇔ =
r r r r r
- Tính chất : Cộng , trừ , k.
a
r
, cùng
phương .
VD : Cho :
(1; 2;3) (1; 1/ 2;0)
: 2
a b

r r
TC :
•
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
• AB=
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
uuur
•
.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=
r r
urr
r r
•
. 0a b a b= ⇔ ⊥
r r r r
VD: Cho tgiác ABC có :
A(2;1;-1); B(3;2;-1) và C( 3;1;0)

d- Tìm toạ độ chân đường phân giác
trong BE cuả tam giác ABC .
3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) và
D( 1;-1;2) .
a-CMR : ABCD là một tứ diện có có 3 mặt
vuộng tại A .
b-Tính thể tích tứ diện ABCD.
c-Gọi G là trọng tâm tam giác BCD .CMR:
AG vuông góc mp( BCD ) .
BÀI 4 : PHƯƠNG TRÌNH
MẶT PHẲNG
1-vtpt – cặp vtcp cuả mp :
*Vt
0n ≠
r r
: Gọi là vtpt cuả mp(
α
) ,nếu nó vuông
gócvới mp(
α
).
*
, 0 :a b ≠
r r uur
gọi là cặp VTCP cuả mp(
α
)nếu chúng
không cùng phương và ssong hoặc nằm trong mp(
α
).

0
)và có vtpt
( ; ; )n A B C=
r
là :
mp(
α
) A(x-x
0
)+ B(y-y
0
)+ C(z-z
0
)= 0
*** Chú ý:
-mp(
α
) qua gốc O: Ax+By+Cz = 0.
- Mp(xOy) : z=0
- Mp(xOz) : y=0
- Mp(yOz) : x=0
-mp(
α
) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) và C(0;0;c) :
( ) 1
x y z
a b c
α
+ + =
-Hai mp ssong: Vtpt mp nầy là một vtpt cuả mp

α
) qua hình chiếu cuả A(1;-2;3) lên các trục
Ox,Oy,Oz .
7-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1)
2
Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
a- Viết ptmp(ABC) . Suy ra ABCD tứ
diện
b- Viết ptmp(
α
) qua D và vuông góc
DC .
BÀI 5 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MP – CHÙM
MP
1- Vò trí tương đối hai mặt phẳng :
Cho hai mp : (
α
1
) A
1
x +B
1
y+C
1
=0
(
α
2) A
2
x +B

)
≡
(
α
2)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = =

2- Chùm mặt phẳng :
• Đònh Nghiã :
• Đònh lí :
• Ví dụ và bài tập :
1- Cho hai mp (
α
1
) x+y+5z = 0
(
α
2
) 2x+3y-z = 0
a- CMR : (
α
1
) và (
α
2
) cắt nhau theo

0 2
0 3
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

2-Pt chính tắc cuả đưởng thẳng ( d ) :
• Đònh lí :
-Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x
0
;y
0
;z
0
) và có
vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
thì ptctắc cuả (d) có dạng:
(d)
0 0 0
1 2 3

(d)
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


• Chú ý :
- Tìm điểm M thuộc (d) ta cho 1 ẩn
rồi giài hpt tìm hai ẩn còn lại :
M(x;y;z) .
- Véc tơ chỉ phương cuả ( d) :

1 2 1 2 3
; ( ; ; )
d
a n n a a a
 
= =
 
uur ur uur
- pttq các trục toạ độ là :
Ox
0

Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến
(D)
3 2 1 0
4 3 1 0
x y
y z
− + =


− + =


BÀI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG
1-Viết pt : ts , ctắc , pttq của AB: Với A(-1;2;-2)
và B( 2;-3;4 ) .
2-Viết PTTS và PTTQ cuả đường thẳng (d) biết :
a- Qua A(-1;2;-3) và ssong trục Ox .
b- Qua M( 2;-4;-2)và vuông góc với mp(Oxy).
c- Qua M (2;3;5) và ssong với đường thẳng :
(D)
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =


+ − + =



α
) và d
2
vuông góc d
1 .
4-Viết ptđt(d
’
) là hình chiếu vuông góc của đt (d)
lên mp (
α
) :
a- Cho (d) :
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
Và mp(
α
) 2x + y + z – 8 = 0
b- Cho
2 0
( )
2 1 0
x y z
d
x z
+ − + =


− + =

TH2 :Cho (d)
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


Và mp(
α
) : Ax+By+cz+D = 0
-Dùng máy tính,giải pt 3 ẩn tìm toạ độ giao điểm
x;y;z .
Ví dụ- Bài tập :
1- Tìm toạ độ giao điểm cuả (d) và mp(
α
):
a-Cho (d)
1
2 3 ; ( ) 2 2 0
3
x t
y t x y z
z t
α

α
) x+y+z = 0 .
a-Tìm toạ giao điểm A cuả (d) và mp(
α
) .
b-Viếtptđt ( D ) qua A vuông góc (d) và nằm trong
mp(
α
) .
2-Vò tí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1:
-Gọi VTcp (d) là
( )
d
a va vtpt mp n
α
α
uur uur
:
• Nếu
. 0 ( ) ( )
d
a n d cat
α
α
≠ ⇔
uur uur
• Nếu
// : ;
. 0

α
).
Ví dụ- Bài tập :
1-Xét vò trí tương đối (d) vàcác mp(
α
) :
Cho (d)
1 2
2 4
3
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và các mp(
α
) là :
(
α
1
) x+y+z+2 = 0
(
α

0
;z
0
) , có vtcp
1
a
ur
.
- (d
2
) qua N(x
0
;y
0
;z
0
) , có vtcp
2
a
uur
.
• Tính :
1 2
, ,a a MN
 
 
ur uur uuuur
.
+
[ ]

d d M d thi M d
a a
d d M d thi M d
≡ ⇔ ∈ ∈

= ⇒

⇔ ⇔ ∈ ∉

ur uur r
** Cách 2 :
-Giải hệ pt gồm hai đường thẳng d1 và d2 .
Ví dụ1 : Cho (d
1
)
3 5 1 0
2 3 8 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =


(d
2
)
1
1 2 3

4 1 3
:
6 9 3
3 2 6
:
4 6 2
3 2 6
:
4 3 5
1 2 1
:
3 2 2
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
− + −
= =
− − −
= =
− − −
= =
− − −
= =