BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ
TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH
THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG
DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN
2. TS. TRỊNH TUẤN ANH


tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên
trong xemina Phương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tích đã
quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luận án.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào
tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần
Phú, các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường
Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Sau cùng, tôi xin dành những tình cảm và lòng biết ơn chân thành tới
gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó
khăn để hoàn thành luận án này.
Tác giả
2


MỤC LỤC

Lời cam đoan
Lời cảm ơn . .
Kí hiệu . . . . .
MỞĐẦU ...
1. SƠBỘMỘTSỐKẾTQUẢLIÊNQUAN.

.......

......

...

15

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ . . . . . . . . . .

2.2. Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield

biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất . . . . . . . . . . . . .

2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (
2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ

TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . 43 3.1.
Thiết lập sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1) . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy

46

.............

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



5


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

[n]
a,b

R+
n

R
x

∞

Rm×n

A

⊤

A>0

S+

n

In

học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh thái học quần
thể, kinh tế và môi trường [1, 21]. Trong thực tiễn, rất nhiều mô hình ứng dụng
được mô tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38]. Sự xuất hiện của
các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ nói chung và
tính ổn định, một trong những tính chất phổ dụng của các hệ trong các mô hình
ứng dụng, nói riêng. Vì vậy, bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương
trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình thực tiễn đã và đang là vấn
đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và
ngoài nước trong những năm gần đây [13].

Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính
dừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan
trọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm
hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập
thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Khi đó, các công cụ
giải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận
được của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ.
Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là các
hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không dừng
[30]. Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng,
7


cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và
phương pháp nghiên cứu đặc thù. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên
cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn
định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt
là lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học, cần tiếp tục
được nghiên cứu và phát triển. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng
tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân

gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2]. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ
AX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong

thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điều khiển cơ học [2]. Một hệ động
lực gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều
kiện đầu (chẳng hạn một lân cận của trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm
tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một khoảng thời
gian xác định trước. Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov (LS), một khái
niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu
hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng. Hơn nữa, LS và FTS là hai khái niệm
độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể không ổn định theo Lyapunov và
ngược lại (xem phản ví dụ trong [16]). Trước bài báo [1] trong Danh mục công bố
của luận án này, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào đề cập đến
tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Đây
sẽ là chủ đề được chúng tôi nghiên cứu và trình bày trong Chương 2 của luận án
này. Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bố, chúng
tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số
kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng

sau đây
′

(t) =

x

i

n


−i

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2),
chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để
thiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy
rộng trong cả hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế
của nơron) thỏa mãn điều kiện chính quy, ai(t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự
phản hồi suy biến, tức là ai(t) > 0 và inft≥0 ai(t) = 0. Nội dung của chương này
được trình bày dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố.

10


2.3. Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương
của một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến
Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động
lực các mô hình thực tiễn [11,30]. Ví dụ, trong [29], Nicholson sử dụng
phương trình vi phân
′

N (t) = αN(t) + βN(t

−
ở đó α, β, γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể

loài ve châu Úc. Mô hình (3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson
và được sử dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và
sinh thái học quần thể.
Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholson và
các biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi

(type-II) với a, b là các hằng số dương.

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy
nhất và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình
Nicholson có trễ
p

′

N (t) = −D(t, N(t)) +βk(t)N(t − τk(t))e

−γ (t)N (t−τ (t))
k

k

k=1

với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) = a(t) −
b(t)e−N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức vi-tích

phân, trước hết chúng tôi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đều của mô
hình Nicholson (4). Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôi chứng
minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương duy nhất của
phương trình vi phân phi tuyến dạng (4). Áp dụng kết quả tổng quát cho mô
hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về sự tồn
tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương của mô hình
tương ứng. Nội dung chương này được viết dựa trên bài báo [3] trong Danh
mục công trình công bố.


dụng với mô hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại
của điểm cân bằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra.
Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên
các tạp chí quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:
• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa

Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội.
• Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm

Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

5.

Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu

tham khảo, luận án gồm 4 chương.
13


• Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn, tính

tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ cho
việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.
• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình

vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ

n

là một ma trận không âm, kí hiệu B 0, nếu bij ≥ 0 với mọi i, j. Tính

chất sau được sử dụng trong chứng minh kết quả ở Chương 2.

Mệnh đề 1.1.1. Cho A = (aij ) là một ma trận với aii > 0, i ∈ [n]. Các khẳng
định sau là tương đương:
(i) A là một M-ma trận không suy biến;
(ii) Reλj > 0 với mọi giá trị riêng λj của ma trận A;
(iii) Tồn tại một ma trận B 0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn − B, ở đó

ρ(B) = max{|λj | : λj ∈ λ(B)} là bán kính phổ của ma trận B;
n

(iv) Tồn tại một vectơ ξ ∈ R , ξ ≻ 0, sao cho Aξ ≻ 0;
n

T

(v) Tồn tại một vectơ η ∈ R , η ≻ 0, sao cho A η ≻ 0.
15


×

Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A ∈ Rn

n



Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng
trưởng tuyến tính
f (t, φ) ≤ a(t) φ C + b(t),
ở đó a(.), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là
tφ = ∞. Tổng quát hơn, nếu hàm f

thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo


f (t, φ) ≤ Φ (t, φ C) , (t, φ) ∈ D,
+

ở đó Φ : [t0, ∞) × R → (0, ∞) là hàm liên tục, không giảm theo t và thỏa mãn
∞
0
16

ds


thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t0, ∞).
Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞) và
φ ∈ C, bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0, ∞). Để xét tính ổn

định của một nghiệm x∗(t) nào đó của hệ (1.1), sử dụng phép biến đổi z = x −
x∗

ta đưa đến hệ dạng (1.1) với hàm vế phải là ˜ ∗ ∗ . Rõ f(t, zt) = f (t, zt + xt ) − f (t,
xt )

, t ≥ t0.

Giả sử V : R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1)
đi qua (t0, φ). Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định bởi
′

V (t, φ) = lim sup
+

h→0

1
h

V (t + h, xt+h(t, φ)) − V (t, φ) ,

ở đó xt(.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]}.


Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]). Giả sử f : R × C → Rn biến
n

mỗi tập R × Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C, thành tập bị chặn trong R và u,
v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0,
17


v(s) > 0 khi s > 0. Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn
u( φ(0) ) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ C), ∀φ ∈ C,



∀t ∈ [t0, t0 + T ].
18


Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết X0 ⊂ Xt0 .
Chú ý rằng, nói chung, ta không cần hạn chế X0 ⊂ Xt với t > t0. Tuy nhiên, trong
nhiều trường hợp, các tập X0 (trạng thái đầu) và Xt (tập quỹ đạo) được cho
⊤

dưới dạng các ellipsoid ER(ρ) = {x Rx < ρ : x ∈ Rn }, ở đó R ∈ Sn+ là một ma
trận đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng
sau.
Định nghĩa 1.3.2 ([2]). Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian),
một ma trận R ∈ Sn+ và các số dương r1 < r2. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu
hạn đối với (t0, T, r1, r2, R) nếu với bất kì x0 ∈ ER(r1), quỹ đạo nghiệm tương ứng
⊤

x(t) = x(t; t0, x0) của (1.7) thỏa mãn x (t)Rx(t) < r2 với mọi t ∈ [t0, t0 + T ].

Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ ra
rằng với các tập trong X0 và tập ngoài Xt cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của
hệ xuất phát từ X0 sẽ không vượt ra ngoài vùng Xt trên toàn khoảng thời
gian [t0, t0 + T ] cho trước. Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổn
định trong thời gian hữu hạn. Cụ thể, với chuẩn .

∞

trên Rn, cho trước các



2

Hình 1.1: Ổn định trong khoảng thời gian [0, T ]

và
′

x (t) = 0.8x(t) +
−

Phương trình (1.8) ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov. Tuy nhiên
(1.8) không ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ), ở đó r1 = 1, r2 = 1.25 và T = 10.
Ngược lại, (1.9) là ổn định hữu hạn đối với r1 = 1, r2 = 1.5 và T = 10 nhưng
không ổn định tiệm cận. Quỹ đạo nghiệm của (1.8) và (1.9) với điều kiện
đầu φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0], được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3.

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính
với trễ hỗn hợp biến thiên
Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạn
của lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16]. Sử
dụng các hàm dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn
được thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
20