CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác
vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường
hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:
1) a 2

b2

2) b 2

a.b ';c 2

3) h 2

b '.c '

4) a.h

b.c .

1
5) 2
h

1
b2

6)

a2

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S

1
ab
2

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết
AB : AC 3 : 4 và AB AC 21cm .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


A

Giải:
a). Theo giả thiết: AB : AC

3 : 4,
H

B

suy ra


AB 2

AC 2

92

122

225 , suy ra BC

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH .BC

AB.AC
BC

AH
AH 2

7,2

9.12
15

x

x 15
5, 4 x

Vậy BH



0

5, 4 hoặc x
BC

BH

15

5, 4

x , ta có:

9, 6 x

9,6 (loại)

9, 6 cm .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:
AB

2

BH .BC suy ra BH

AB 2
BC



AC 2

HC 2

b2

b). Ta có

1
BC .AH
2

AK

b2

a2

1
BK .AC
2

BK 2

2a 2
b

1
a b2

AH

b2

AK
do đó
AC

C

a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam

4a 2 2
b
b2

b2

H

B

b2

b2

a2

2a 2



đường cao hạ từ A lên BC là điểm
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu
H
B đề thi file word

C


H thuộc cạnh BC .
Ta có: BC

HC . Áp dụng định lý

BH

Pi ta go cho các tam giác vuông

AHB, AHC ta có: AB 2

AH 2

HB 2, AC 2

AH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2

HC

a. HB

HC

ta cũng có:
a2

c2
2a

b2

. Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông
AHB

a

AH

c

2

b2

2a


c2
2a

c a

c

c

a

b

b2

a2

c

b b

a

c2
2a

b2

c b

27

p2

ra S

a2

3 3

p p

p p
b p

. Hay S

a p

p p

a

a p

b p

b
12 3



2

3

p3
. Suy
27

2

. Mặt khác ta dễ chứng minh

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

a


được: a

b

3 a2

S

c
b2

2


Giải:

A

Tam giác AMB vuông tại M có
AB nên MK 2

MK

AHK

M

AK .BK (1).

H

CBK vì có
B

AKH

D

CKB

900 ; KAH

(cùng phụ với ABC ). Suy ra


CK.KH

CK .HK ;

1
1
AB.CK . AB.HK
2
2

S1S 2 .

Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có
A

D

900, B

600,CD

30cm,CA

(2)

CB . Tính diện tích của hình

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word


suy ra AH

CD

30cm;CH

AD

HB

CH 2
HA

AB

AH

10 3

1
CH AB
2

H

, suy ra
HAHB
.

2

30

350 3 cm 2 .

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm 2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

sin

AB
; cos
BC

AC
; tan
BC

(hình) được định nghĩa như sau:

AB
; cot
AC

AC
AB

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word


A

2. Với hai góc ,
ta có: sin

Nếu hai góc nhọn

0

và

C

90 ,

mà

cos ;cos

Cạnh kề

sin ; tan

có sin

sin

cot ;cot

tan .

3
; cot 600
2

tan 450

cot 450

1;cot 300

Ví dụ 1. Biết sin

2
2

cos 450
tan 300

tan 600

1
3

3.

5
. Tính cos , tan
13

và cot .


B


AC

5k, BC

AB 2

BC 2

AC 2
AB
BC

Vậy cos

tan

13k . Tam giác ABC vuông tại A nên:

AC
AB

12k
13k

5k
12k


144k 2 , suy ra AB

12k .

12
;
13

5
suy ra sin2
13
25
sin2
1
169

Cách 2. Ta có sin
do đó cos2

13k

5 13
.
13 12
12 13
.
13 5

12k

cos , tan , cot . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin
tính sin2 rồi tính cos từ sin2
cot qua sin và cos .

cos2

5
để
13

1 . Sau đó ta tính tan

và

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại
H . Biết HD : HA 1 : 2 . Chứng minh rằng tgB.tgC 3 .
Giải:
Ta có: tgB

A

AD
; tgC
BD

Suy ra tan B. tanC

E

AD

BD.DC

AD 2
DH .AD

HD
AH HD

BD
, do đó
AD

ADC (g.g), suy ra

tan B. tanC

1
2

1

hay

HD
AD
(3). Theo giả thiết
AH
DH
HD
AD

25
giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos .
Biết sin .cos

cos

rồi

Ta có:

sin
ra sin

cos

2

cos
cos

7
5

cos

sin2

cos2

7


4 5 cos

3

0 . Suy ra cos

4
thì sin
5

12 4
:
25 5

2.

12
25

49
. Suy
25

cos . Từ đó ta có:

25 cos2

+ Nếu cos


thì sin
5

12 3
:
25 5

4
.
5

4
hoặc sin
5

3
, cos
5

4
, cos
5

3
.
5

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

16.

1
2

8

B

600
H

3
8 3 . Áp dụng định lý
2
Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:
AH

AB.sin B

AB.sin 600

16.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


HC 2


2.

10 .

1
BC .AH
2

1
.10.8 3
2

1
BC .BA.sin B
2

40 3 (đvdt)

1
3
.10.16.
2
2

40 3 (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC

450, ACB


Ta có: AB
H

AH

AD.sin 600

BC .Tức là: BC

BH

BH

AB.sin 450

3
R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra
2
CH . Tam giác AHB vuông góc tại H nên

AD.

AB 2
2

AD

3 2
.

2

R2 3

3
.

4

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với
các đỉnh tương ứng là: a,b, c . Chứng minh rằng:
a) a 2

b2

c2

2bc cos A

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh:

2bc.cos
AD

b

A
2

c

AH 2

HB 2, BC 2

BH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2

a2

HA

HA2

HC

HC 2

c2

a2
b

HA

HC HA



c2 a 2
2bc

a2

a2

. Xét tam giác vuông AHB ta có:

b2

c2

2bc cos A .

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

BC 2

BH 2

Ta có: AH

BC 2

HC 2

AC


AC 2

2AC .CB.cos A hay

2AC .CB.cos A

a2

b2

b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
+ sin2
+S

2 sin .cos

1
ab sinC
2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A
BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của
AMB

2 .

A



B

h
a
2

H

2α

α

M

2h
.
a

2 sin .cos .

*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:

A
E

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


Trở lại bài toán:
Ta có SABD

1
AD.AB sin A1
2

1
A
AD.c.sin
2
2

A
1 2
b

c

SACD

1
A
AD.b.sin
2
2

1
AD.AC sin A2
2

bc sin A

C

2bc cos

bc sin A

AD
b

c sin

c

A
2

A
2

b

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:
cos2

2 cos2

1


a
4

AB
BC

sinC

sin

AC
BC
c
,
a

b
a

A

c

MB 2 AB 2
2AM .MB

b

2α
a

c2

b2

1

c
2
a

A b2 c2 a 2
2 cos
2
2bc
thức đường phân giác ta có:

1

2.

b2

c2

a2

b

A
cos

c

2

a2

4bc

A
2

1 .

. Thay vào công

2

b c
a2
A
2bc
2bc cos
4bc
2
AD
c b
b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
bc
2p

c

.

c

p(p

a

a ) với

c.

Áp dụng công thức: a 2 b 2 c 2 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được
hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:
‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

AB 2 .CD

AC 2 .BD

BC AB 2

BD.DC ’’
A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


BC AB 2

BD.DC

Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng

6

sin 750

2
4

.

Giải:
A

Vẽ tam giác ABC vuông tại A
với BC
,C

2a ( a là một độ dài tùy ý)
B

750 .

150 , suy ra B


2
a

a 3
2

BC thì

AI .cos 300

a 2

a
;
2

3
2

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:
AC

2


3

4 3

3

1

2 2
6

2
4

2

2
2

3

2 2. 2

1

3

4



2
4

.

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

1