SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN : TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1.
x

b)

Cho x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  xyz  4

yz  y  1



3 z
và xyz  9. Tính 10 P  1
zx  3 z  3

Cho P 

xy  x  3



y


Bài 4.
Cho tam giác MNP nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi Q là trung điểm
của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng MH  2OQ
b) Chứng minh rằng nếu MN  MP  2NP thì sin N  sin P  2sin M
c) Chứng minh rằng ME.FH  MF.HE  2 R2 biết NP  R 2
Bài 5.
ab2
bc 2
ca 2
1
1
1


 
 3. Tìm GTNN của P 
Cho a, b, c  0 thỏa mãn
ab bc ca
ab bc ca


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Ta có: xyz  9

P


y



 x 2 x  yz



2






z 2


xy 

 x . 2 x  yz

Tương tự ta có:



y  4  z  4  x   y 2 y  zx
z  4  x  4  y  

z

Vậy, ta có:


 2

3  3
3 x  6 x  2  0  x 
3


3  3 3  3 


;
Vậy S   6; 6;

3
3






b) Từ phương trình x2  y 2  xy  1  2 x  2 x 2  2 y 2  2 xy  2  4 x
 2 x 2  x  x  y   x  2  2 xy  2  4 x
2

2
 x   x  y   2  x  y   3  0



(ktm)
y

1
2
y

y

x

2


1
2
y

y

3

0



Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương  x; y    2;1

a


Xét KMH có OM  OK , QH  QK nên OQ là đường trung bình KMH
 MH  2OQ
MP MP
MP

 2R 
MK 2 R
sin MNP
MN
NP
Tương tự ta cũng có: 2 R 
và 2 R 
sin MPN
sin NMP
MN
MP
NP
Do đó:


sin MPN sin MNP sin NMP
MN  MP
2 NP


 sin MPN  sin MNP  2sin NMP
sin MPN  sin MNP sin MPN  sin MNP

b) Ta có sin MNP  sin MKP 


R 2
MFH  MF.HE  R.PD
MEH 

 ME.FH  MF .HE  R. ND  PD   R.NP  2R 2
Câu 5.
Từ giả thiết

1
1
1
 
 3  a  b  c  3abc. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
ab bc ca

ab2
bc 2
ca 2
ab2 bc 2 ca 2
3
P


3
.
.

ab bc ca
ab bc ca