SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP THÀNH PHỐ
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN

Bài 1.
a) Giải phương trình: 3 2  x  1  x  1
2 
2  
2


b) Cho S  1 
1 
 .....1 
 là tích của 2019 thừa số
 2.3  3.4   2020.2021 
Bài 2.
a) Biết a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a 2  ab  b2 chia hết cho 9. Chứng
minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3
b) Tìm số nguyên dương n sao cho 9n  11 là tích của k  k  ; k  2  số tự nhiên liên
tiếp
Bài 3.
a) Cho x, y, z là các số thực dương nhỏ hơn 4
Chứng minh rằng trong các số

1
1 1
1 1



 2 x a 
2  x  a
a) ĐKXĐ: x  1. Đặt 


a  1  b

2
x

1

b

x

1

b





b  1  a

Do đó : a 3  b 2  1  a 3  1  a 


1

9

Vậy S  1;2;10
b) Với n * ta có:

2
n2  n  2  n  1 n  2 
1


. Thay n  2;3.......;2020 ta có:
n  n  1 n  n  1
n  n  1

S

1.4 2.5 3.6
2019.2022 1.2.3.....2019  . 4.5.6......2022
2022
337
. . ........



2.3 3.4 4.5
2020.2021  2.3.4......2020 . 3.4.5.......2021 2020.3 1010

Bài 2.

2

2

Vì a, n nguyên dương nên 2a  1  2.3n  9. Ta có các trường hợp sau:
n
2a  1  2.3  9
TH 1: 
 4a  2  14  a  3  9n  11  12  n  0(ktm)
n
2a  1  2.3  5
n
2a  1  2.3  15
TH 2 : 
 4a  2  18  a  4  9n  11  20  n  1(tm)
n
2a  1  2.3  3
2a  1  2.3n  45
TH 3: 
 4a  2  46  a  11  9n  11  132  9n  121(ktm)
n
2a  1  2.3  1
Vậy n  1, k  2 thỏa mãn bài toán
Bài 3.
1
1
1
1
1
1

z
z
4

x



2

1
1
1
1
1
1 
  x  4  y  y  4  z  z  4  x 
 
 

 x 4 y y 4 z z 4 x

1
1
1
1
1
1  1
1  1
1 


Mặt khác : a2  b2  c2  2abc  1  a2b  2abc  c2  1  a 2  b2  a 2b2
  ab  c 

2

2   a  b
 2  a 2  b2 
2  a 2  b2
 1  a 1  b   

ab

c

c

2
2
2


2

2

2


 a  b

B

I

M
S
D

H

C
O

N
BAC  ABC
1800  C
C
0
 180 
 900   AIB  AES
a) Ta có AIB  180 
2
2
2
0

Và EAS  IAB nên IAB EAS
b)

Ta có IAB EAS  ASE  IBA  IBD do đó tứ giác IBDS nội tiếp


Từ (1) và (2) suy ra
mà FA  ID nên AM  AN
FA
ID

c) Vì IA là phân giác của AMK nên

Bài 5.
Ta thấy 2 ô vuông ở hai góc của hình
vuông 10 10 là xa nhau nhất. Gọi các số
được điền vào mỗi ô vuông đó lần lượt là
a1; a2 ;....; a19 . Ta có:
a1  a2  1  1  a1  a2  1; 1  a2  a3  1;
;.....; 1  a18  a19  1, cộng vế theo vế ta
có
18  a1  a19  18  a1  a19  18
Vậy a1; a2 ;.....; a19 là các số nguyên nên chỉ
có tối đa 19 số nguyên khác nhau được
điền vào trong bảng. Có 100 ô vuông trên
bảng, nên theo nguyên lý Dirichle thì có ít
nhất một số xuất hiện trên bảng
100 
 19   1  6 lần

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
A11
A12
A13
A14