SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LONG AN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (5,0 điểm)

2 x  13
x  3 2 x 1


với x  0; x  4; x  9
x5 x 6
x  2 3 x
2. Giả sử a là nghiệm âm của phương trình 3x2  2 x  2  0. Không giải
1. Rút gọn biểu thức : A 





phương trình, tính giá trị biểu thức P  3a 4  4 2  4 a  2  3a 2
Câu 2. (5,0 điểm)
 x 2  2 y 2  7 x
1. Giải hệ phương trình:  2
2
 y  2 x  7 y

mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu: đỏ, cam, vàng và lục. Các đoạn thẳng nối
2 trong 21 điểm dó được tô bởi một trong hai màu chàm và tím. Xét các tam
giác có ba đỉnh thuộc các điểm đã cho, chứng minh tồn tại một tam giác có 3
đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu.
2. Giả sử n  , n  2. Xét các số tự nhiên dạng an  11....1 được viết bởi n chữ số
1. Chứng minh rằng nếu an là một số nguyên tố thì n là ước của an  1
ĐÁP ÁN


Câu 1.
1. A 



2 x  13
x  3 2 x 1



x5 x 6
x 2 3 x

2 x  13 



x 3













x  3 2 x 1

x 2 3 x

x x 6
x 3



x 2





x 2
x 2

3a 2  2  2a  a  0   3a 4  4  4 2a  2a 2 suy ra



2

8  2 x   2 x  1  x  
25  40
 2 x  1  3x  8  x 
9

2. Điều kiện xác định x 





Đối chiếu điều kiện phương trình có hai nghiệm x  5; x 

25  40
9

Câu 3.
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
ab2  bc2  2bc ab ; bc 2  ca 2  2ca bc ; ca 2  ab2  2bc ca
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, rút gọn ta có điều phải chứng minh.


Câu 4.
1)

B

A


A

Q

R
B

P

C

G
N

Gọi N là giao điểm của RB và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có ARN  AQR  1800 nên N nằm trên đường tròn  w  ngoại tiếp tam giác AQR.
Đường tròn  w ' ngoại tiếp tam giác BCN cắt  w  tại điểm thứ hai G.
Từ RBG QCG  GP là phân giác BGC

BNC  RNQ  1800  2BAC  1800  BOC nên O nằm trên  w '
Mà OB  OC nên GO là phân giác BGC và do đó G, P, O thẳng hàng. Ta cũng có
N , O, A thẳng hàng.


Gọi M ' là giao điểm thứ hai của GO với  w 
Ta có: AM ' G  ANG  ONG  OPC  MPC  AM '/ / BC  M '  M
Do đó G, P, O và M thẳng hàng. Vậy MP luôn đi qua O cố định
Câu 5.
1) Vì có 21 điểm được tô bởi 4 màu mà 21  4.5  1 nên theo nguyên lý Dirichle sẽ

10n  10
1 
 10n  10 9 (1)
Tiếp tục ta có: an  1 
9
9
n
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10  10 n (2)
Nếu n  3 thì an  111 3 không thỏa mãn giả thiết.
Nếu n  3 ta có  n,9  1 nên từ (1) và (2) suy ra : 10n  10 9n. Vậy n là ước của an  1