SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút

A. TRẮC NGHIỆM (8 điểm)
1024  n 2
Câu 1. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
là số tự nhiên
15
A. 1
B. 4
C. 3
D. 5
Câu 2. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB, CD sao cho AB  4, CD  9 ,

DAB  DBC . Độ dài đường chéo BD bằng:
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng di qua điểm M  2;5  và song song với
đường thẳng y  2 x có phương trình là:
A. y  2 x  1 B. y  2 x  1
C. y  2 x  9
D. y  2 x  1
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2;3  và B  6;1. Độ dài đường cao hạ

1
3
4
5
A.
B.
C.
D.
7
7
7
7
Câu 9. Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình
x  x  1  .....  x  2019  x 2  2019 x  2020 là:
A. 2
B. 4
C. 2019
D. 2020
A. 0

B.

Câu 10. Biết x  3 2  3  3 2  3 là một nghiệm của phương trình x3   a  1 x  2a  0.
Giá trị

a  a 2  1 bằng:

6 2
3 1
B. 3  1

2
2
5
Câu 13. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m. Biết rằng học sinh đó nhìn
thấy đỉnh tháp ở góc 190 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng
1,5m. Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:
A. 34
B. 35
C. 36
D. 38
Câu 14. Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một
tam giác đều là:
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
4
2
3
3
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC tại D. Biết BD  2DC  10. Diện tích tam giác ABC bằng:
A. 25
B. 50
C. 50 2
D. 100

c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC.
Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số thực x1, x2 ,......, xn 0;1
A.

Chứng minh rằng: 1  x1  x2  x3  .....  xn   4  x12  x22  x32  ......  xn2 
2


ĐÁP ÁN
Câu 1,
a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ. Xét các trường hợp sau:
Ta có a, b, c cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có a, b, c củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có a, b, c có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2.
a, b, c có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2.
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài. Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa
mãn đầu bài. Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp
số.
Áp dụng quy tắc số dư. Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 , 3,4, Xét các
trường hợp:
*Cả 4 số có số dư khác nhau  0,1,2,3 ;  0,2,3,4 ;  0,1,4,2 ;  0,4,2,3 1,2,3,4  bao giờ cũng
có ít nhất 1 cặp số có số dư là 1  4  hoặc  2  3 nên tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5. Với
nhóm số dư 1,2,3,4  nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5
*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5.
*Cả 2 cặp số có số dư trùng nhau nên hiệu của 2 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5
*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5.
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5. Hay trong 5
số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số.

ps

3
s

32

0



b) Điều kiện xác định: x  0
2

1
2
2

4
3
2
 x    9  x  1  21x  x  1   x  1  12 x  x  8 x  1  0
x

 1  17
2
x 
4 x  x  1  0
8
2


B

D

F

C

M
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung  d  với  O  và  O ' . Gọi H là giao của (d) và BC

KEF  FKH  MNK  MN / / EF
b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF  HFK  MB  MC suy ra AM là phân
giác BAC. Suy ra BCM  MKC nên ta có MC là tiếp tuyến  KFC 


c) Gọi AM cắt EF tại I. Ta chứng minh I cố định. Thật vậy, ta có AKN  AMN  AIE
nên tứ giác AEIK nội tiếp
Suy ra DEF  EKF  EAI  EIA  EKI  IKE  EIA  IKF hay MIF  IKF
Suy ra MIF MKI ( g.g )  MI 2  MK .MF (1)
Ta có MC là tiếp tuyến  KFC  suy ra MC 2  MF .MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MI  MK . Lúc đó ta có:

MIC  MCI  IAC  ICA  MCB  BCI  ICA  BCI
Nên CI là phân giác ABC , mà AM là phân giác BAC nên I cố định
Câu 4.
Áp dụng BĐT  A  B   4 AB với A  1; B  x1  .....  xn ta có:
2