MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận .
2.2. Thực trạng vấn đề.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
2
2
2
3
3
3
3
3
4
5
17
18
20

I. MỞ ĐẦU

toán bất đẳng thức”. Nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải
một bài toán, đồng thời giúp các em yêu thích bộ môn toán có thêm điều kiện để
phát triển thêm về năng lực tư duy.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Trước hết giáo dục nhà trường phải
hình thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề. Việc
trang bị tốt năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi
mới phương pháp dạy học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thông. Vì
thế cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích
cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi
mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thức hoạt động
của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức
tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám
sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp
với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng
công nghệ thông tin.
Khai thác và phát triển bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản, để các em học
sinh vận dụng một cách linh hoạt, sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.

2


Phát huy năng lực tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn của
học sinh.
Giúp giáo viên có thêm một tư liệu tham khảo bổ ích về vấn đề này.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Quá trình dạy toán nói chung và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phần bất đẳng
thức nói riêng ở trường THCS Thành Tâm.
Phương pháp khai thác và phát triển bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản.

kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh THCS vì công cụ để chứng minh bất
đẳng thức trong khuôn khổ chương trình còn hạn chế, các bài toán về chứng
3


minh bất đẳng thức ngoài việc đòi hỏi các em nắm vững kiến thức, các phương
pháp chứng minh mà còn đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt biết vận dụng và
khai thác tốt các bất đẳng thức đã biết vào việc chứng minh, hiện nay các bài
toán về chứng minh bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 đặc biệt thi vào các trường
chuyên, lớp chọn nhằm phân loại học sinh nên thường rất khó.
- Đối với giáo viên:
Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng
tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói
chung.
Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh đề tạo ra các
phương pháp và lời giải khác nhau, cũng như chưa phát triển bài toán cụ thể
thành bài toán tổng quát hay sử dụng phương pháp, kết quả tìm được cho các bài
toán khác.
Bắt học sinh giải nhiều bài tập nhưng ít hiệu quả làm cho học sinh coi việc
giải toán là gánh nặng. Chưa chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa
dạng đầy đủ mà còn đơn điệu, lặp lại khiến học sinh nhàm chán, chỉ giải một
cách qua loa đại khái.Chưa gây được hứng thú cho học sinh thông qua việc giải
các bài toán.
Chưa chuyên sâu một vấn đề nào đó, chưa liên hệ được các bài toán với
nhau và chưa khai thác phát triển một bài toán tốt để giúp cho học sinh khắc sâu
được kiến thức.Quan trọng hơn nữa là chưa nâng cao được tư duy cho các em
học sinh.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và
học sao cho phù hợp.

- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, … với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho
để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán
nào khác không? …
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả
một bất đẳng thức rất đơn giản. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp,
sự thú vị trong học toán nói chung và trong giải toán về bất đẳng thức nói riêng.
Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán, giúp học sinh
thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
Trước hết chúng ta hãy bắt đầu từ một bất đẳng thức đơn giản sau:
Bài toán 1 (Bài toán xuất phát): Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số
dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh: Việc chứng minh bất đẳng thức này rất đơn giản.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:



Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Ta không dừng lại ở đây mà vận dụng bất đẳng thức đơn giản này ta có thể giải
được những bài toán phức tạp hơn.
+ Bài toán còn có thể giải quyết theo hướng nào hay hơn không ?
+ Bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết ấy thì còn kết luận thêm được gì nữa?
+ Bài toán này nếu đặc biệt hóa giả thiết (và ngược lại tổng quát hóa giả thiết)
một số điều kiện ( nếu được) thì thu được những kết luận mới nào?
5




Bài toán 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:

Chứng minh rằng :

Giải: Áp dụng BĐT (*) hai lần ta được:

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Suy ra: (đpcm)
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
Qua bài toán này chúng ta có thể vận dụng linh hoạt bất đảng thức (*) theo chiều
thuận và chiều ngược, tùy theo yêu cầu của mỗi bài toán.
Vận dụng cách làm tương tự ta có lời giải bài toán 7.
Bài toán 7: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

( Đề thi vào lớp 10 THPT trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh năm 2013 – 2014)
Có những bài BĐT có thể ta chưa thể áp dụng BĐT (*), phải lưu ý giả thiết của
bài toán, và phải qua các phép biến đổi ta mới sử dụng được.
Bài toán 8: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

7


Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý abc =1  a2b2c2 = 1 ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ab ; bc ; ca ta có :


(Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8, huyện Bá Thước năm học 2018 – 2019)
Bài toán 12: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2018 – 2019)
Chứng minh:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2 ta được:





Sử dụng BĐT (**) ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 13: : Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
(Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 huyện Như Thanh năm học 2018 – 2019)
Đây là bài toán tìm cực trị, ta dễ dàng hướng dẫn học sinh tìm được giá trị nhỏ
nhất bằng sử dụng BĐT bài toán 2.
Giải:
Ta có:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a, b ta có:
Sử dụng BĐT bài toán 2 ta có:

9


Do đó :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 6 khi
Bài toán 14: Cho các số thực dương a, b, c biết a + b + c = 1. Chứng minh rằng:


Vì thế ta chỉ cần chứng minh:
Và BĐT này đã được chứng minh trong lời giải bài toán trên.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
11


Bài toán 17: Cho ba số dương x; y; z. Chứng minh rằng:

Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Bài toán 18: Cho các số thực dương thỏa mãnx + y + z = 3 .Chứng minh rằng:

Chứng minh: Sử sụng BĐT (**) ta có:

Mà : 3 = x + y + z
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài toán 19: 1.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
(Đề thi học sinh giỏi môn toán 8, huyện Hoằng Hóa năm học 2018 – 2019)
Giải:
1.Làm tương tự như bài toán 6.
2.

12


Bài toán 21: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2015 -2016)
Giải: Ta có:

14


Áp dụng BĐT ở bài toán 3, ta được:

Suy ra:

Suy ra:
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy maxP = 4.
Bài toán 22: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Thái Bình năm học: 2016 – 2017 vòng
1)
Giải: Ta có:


(vì xyz =
1)





Áp dụng BĐT ở bài toán 3 ta có:

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.
* Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

16


Bài 2: Cho 2 số không âm thỏa mãn
biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 3: Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a + b
biểu thức:

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 5: Cho các số dương a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm min của biểu thức:

Bai 7:Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 3(ab + bc + ca) = 1. Chứng minh rằng:

Bài 8:Cho các số dương x, y, z thỏa mãn

Bài 9:

. Chứng minh rằng:


%
8
12
1
8,3
3
25,0
8
66,7
Bảng 2. Kết quả khảo sát đội tuyển học sinh giỏi
Lớp Tổng số Biết khai thác bài toán
Chưa biết khai thác bài toán
SL
%
SL
%
8
6
1
16,6
5
83,4
Qua việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy học sinh lớp 8 và ôn luyện đội
tuyển học sinh giỏi lớp 8 trong năm học 2018 - 2019, thì mức độ hứng thú và kết
quả học giải toán bất đẳng thức đã đạt hiệu quả rõ rệt thể hiện ở các điểm sau:
- Học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý, các em nhìn nhận
bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận
dụng phương pháp khai thác bài toán một cách hợp lý nên đã tạo ra được nhiều
bài toán hay, bài toán khó và có những lời giải độc đáo.
- Quan trọng hơn nữa là tạo hứng thú cho các em tìm tòi, sáng tạo, áp

8
6
6
100
0
0
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1.Kết luận
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy ở trường
THCS Thành Tâm tôi đã thu được kết quả như sau:
18


- Học sinh đã có hứng thú về dạng toán bất đẳng thức, nắm vững và biết vận
dụng bất đẳng thức đơn giản vào giải toán.
- Đối với học sinh giỏi các em đã biết vận dụng để giải được các bài toán bất
đẳng thức ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán
này nói riêng và học môn toán nói chung.
- Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng
một cách linh hoạt bất đẳng thức cơ bảnvào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản
đến phức tạp.
- Với phương châm tìm được thêm một cách giải hay đề xuất được một bài toán
tương tự là một “phát minh” sáng kiến đã tiến hành áp dụng rất thành công ở đội
tuyển học sinh giỏi lớp 8 trường THCS Thành Tâm. Cùng với sự đổi mới
phương pháp giảng dạy, “Khai thác và phát triển bài toán” đã và đang thu hút sự
quan tâm đặc biệt của các em học sinh, đây chính là một trong các yếu tố tạo
động cơ học tập nhằm giúp các em tự lực nắm bắt kiến thức một cách hứng khởi
không ép buộc mà đích cuối cùng là nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn.
2. Kiên nghị
Qua quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm và kết quả đã thu được từ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT

Tên tài liệu

Tác giả
Tổng biên tập:

1

Toán học và tuổi trẻ

TS.Trần Hữu Nam
Nhà xuất bản giáo dục

2

Tuyển chọn đề thi HSG Toán 6, 7,8

Doãn Thị Tâm

3

Tài liệu chuyên Toán THCS lớp 8; 9

Vũ Hữu Bình

20



GD&ĐT huyện
Thạch Thành

Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm x
trong đẳng thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
Một số phương pháp hướng dẫn học
sinh tìm cực trị dại số bậc THCS

Phòng
GD&ĐT huyện
Thạch Thành
Phòng
GD&ĐT huyện
Thạch Thành

A

Năm đánh
giá xếp loại
2011

2011

B

2013

B