1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và
các ngành khoa học. Đồng thời môn toán là một môn học rất khó có tính liên tục
(giáo dục đồng tâm) nếu chúng ta không khéo trong phương pháp giảng dạy thì rất
khó tạo được hứng thú cho các em học tốt và say mê học toán.
Trong chương trình môn học ở bậc Trung học phổ thông nói chung và lớp
12 nói riêng, môn toán chiếm số giờ rất lớn. Việc nâng cao hiệu quả của dạy và học
môn toán là yêu cầu bức xúc hiện nay, là giáo viên đang giảng dạy tôi luôn suy
nghĩ, tìm tòi và học hỏi phải làm như thế nào để các em thích thú với môn học vừa
khó vừa khô như thế.
Trong quá trình giảng dạy môn toán, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo,
từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho
chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh còn gặp nhiều
khó khăn ở một số nội dung trong chương trình môn toán. Nhiều học sinh học về
các chủ đề liên quan đến hàm số còn yếu, trong đó có nội dung về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số. Học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong
quá trình giải toán. Đặc biệt năm học 2018- 2019, là năm học thứ 3 thực hiện thi
trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm
trong chương trình lớp 12 với các câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến thức
của học sinh. Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung
quan trọng được đề cập nhiều trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018 đề
thi minh họa năm 2019 và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên toàn
quốc với mức độ từ dễ đến khó.
Từ thực tiễn giảng dạy và ôn thi TNTHPT Quốc gia nhiều năm, cùng với
kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác nhiều chuyên
đề về hàm số. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Một số phương pháp giải
dạng bài toán xét tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi THPT Quốc gia ”.
Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình giải tích lớp 12 nên đã
có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung của giải tích
12 [1]. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy
bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính
tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt
những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng
vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời
giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt. Trong quá trình giảng
dạy nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong giải tích lớp 12 tại
Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học
sinh còn yếu, đặc biệt là những bài toán thiết lập mối liên hệ giữa tính đơn điệu
của hàm số y=f(x) và đồ thị y=f’(x), bài toán chứa tham số. Do đó cần phải cho
học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài
giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình
thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng
làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được
trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung không thể
thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Học sinh thường gặp khó khăn khi gặp những
bài toán chứa tham số hoặc những bài toán với yêu cầu đọc hiểu đồ thị. Với tình
hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán, người
giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố
đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, học sinh phải được làm quen với việc đọc
hiểu đồ thị.
Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp
học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo


a

b

x

b) Mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm
*) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K
Nếu f’(x) 0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K.
Nếu f’(x)0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
nghịch biến trên K.
c) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
*) Tìm tập xác định
*) Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm và những điểm mà đạo hàm không
xác định.
*) Lập bảng biến thiên
*) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
d) Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x) và đồ thị hàm
số y=f’(x)
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía
trên trục hoành trên khoảng đó. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì
đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía dưới trục hoành trên khoảng đó

4


2.3.2. Các phương pháp
a) Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

B. y  x 2  x

x
x2

D. y  2 x  cos x

HD: Đáp án D
Trong 3 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy
tắc xét tính đơn điệu của hàm số mà còn cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm
số đồng biến, nghịch biến. Đó là học sinh phải nhận thức được rằng hàm số
đồng biến, nghịch biến trên K thì phải xác định trên K và chỉ có khái niệm hàm
số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, không có khái niệm hàm số đồng biến,
nghịch biến trên hợp các khoảng.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là R và đạo hàm f’(x)=x(x-1)2(x+2).
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=g(x)=f(x2-2).
HD: g’(x)=2xf’(x2-2)=2x3(x2-2)(x2-3)2. Lập bảng xét dấu g’(x)
x
y’

 



-

3

0



5


b) Phương pháp 2: Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu.
Trong phương pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị,
biết thiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
và đồ thị của nó. Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng vào bài toán
dễ dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội dung
này.
Ví dụ 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 1. Tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số?
y
HD: Qua hình 1 ta thấy: đồ thị hàm
số đi lên trên khoảng ( ; 1) và
4
(1;) ; đồ thị đi xuống trên khoảng
(-1;1).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( ; 1) và (1;) .
-1 O 1
x
Hàm số nghịc biến trên khoảng
(-1;1).
(hình 1)
Ví dụ 6: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
A. f (c)  f (a) với cb



-2

 

y’

-1

0

- 0

+ 0

f(-2)

1
-

0

3

+

+

f(0)



x

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)
(hình 4)
HD: Từ đồ thị ở hình 4, ta lập được bảng xét dấu của f’(x)
x
f’(x)

-2

 

-

0

0
+

0

2
-

0



+

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;+  )
-4
(hình 5)
HD: g’(x)=f’(x)+4. Từ đồ thị ở hình 5, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x

-1

 

g’(x)

+

0

2
+

0



-

Đáp án B
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và đường thẳng y=-4.

g’(x)

-

2

0

-



0

+

Đáp án C
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x+1) và đường thẳng y=2.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x+1) nằm phía trên đường thẳng
y=2(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=2 (g’(x)
2

cong như hình 8, đặt g(x)=f(x)- x 2  x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;3)
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-1;1)

9


C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-  ;1)
D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;3)
y
2

-1

O 1

3

x

-2
(hình 8)
HD: g’(x)=f’(x)-(x-1). Từ đồ thị ở hình 8, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x

-1

 

hàm số f’(x) là đường cong như hình 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên
đoạn [a;d] (a

-

f(d)

f(x)
Mặt khác từ đồ thị ta lại có:
b

d

f ' ( x)dx  f ' ( x)dx  0  f (b)  f (a)  f (d )  f (b)  0  f (d )  f (a)
a

b

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
- So sánh f(a) và f(d)
Như vậy qua các ví dụ ở giải pháp 3, học sinh đã được rèn luyện kỹ năng lập
bảng biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số y=f’(x). Qua đó học sinh
sẽ xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến. Đồng thời học sinh sẽ được
phát triển tư duy quy lạ về quen, tư duy biện chứng.
d) Phương pháp 4: Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về
tính đơn điệu của hàm số.
Với giải pháp này, học sinh phải nắm được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của
hàm số và dấu của đạo hàm. Đồng thời hình thành và phát triển tư duy trừu
tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài toán.

Đáp án B
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để hàm số y 

sin x  2
đồng
3 sin x  m


2

biến trên khoảng (0; ) ?
m
3


2

HD: Điều kiện sin x  . Do x thuộc (0; ) nên sinx thuộc (0;1). Vậy
 m 0
m
 (0;1)  
3
 m 3
(6  m) cos x

Ta có y '  (3 sin x  m) 2  0, x  (0; 2 )  m  6

Vậy số giá trị m nguyên dương là 3
Như vậy, qua các ví dụ trong giải pháp 4, học sinh phải nắm được điều kiện cần
và đủ để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. Đồng thời học

2
Ví dụ 18: Cho phương trình log 3 (cos x  3 cos x  m)  2(cos x  3 sin x) 2m  8 (1)

với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình (1) có
nghiệm thực?
A. 6
B. 5
C. 7
D. 4
3
2
HD: Đăt t= cos x  3 cos x  m , phương trình trở thành log3t+2t=2

12


Xét hàm số f(x)=log3t+2t. Ta có f’(x)=

1
 2  0, t  0 nên hàm số f(x) đồng
t ln 3

biến trên khoảng (0;+  )  phương trình log3t+2t=2 có nhiều nhất một nghiệm.
Mặt khác t=1 là nghiệm nên ta có duy nhất t=1.
Vậy bài toán quy về xét phương trình cos 3 x  3 cos 2 x  m 1 .
Đáp án C
f) Phương pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số thông qua buổi thảo luận.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ cho
từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập ở


C. R\{-1;1}

D. (-  ;-1) và (1;+  )

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ?
A. y=x3-x2-10x+1

B. y=-x3+x2-10x+1

C. y=x4+x2+2

D. y=

x2
x 1

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (0;+  )
A. y=x3-3x2+2

B. y=-x3-3x+1

C. y=x4+2x2+2

D. y=

1
đồng biến trên
x


x 2  2x  2
nghịch biến trên
x 1

B. R

Câu 8: Hàm số y=

D. (1;3)

2

B. R

Câu 7: Hàm số y=

C. (-1;1)

C. (-  ;-2)

D. (-2;-1) và (-1;0)

x  m 1
nghịch biến trên các khoảng xác định của nó khi m
x 1

bằng
A. m=-3

B. m=-4


C. m 2

D. m  2

xm
luôn đồng biến trên các khoảng  �; 1 và  1; �
x 1
2

14


m  1
�

A. �
B. m �R
C. 1 �m �1
D. 1  m  1
m 1
�
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 nghịch biến
trên R?
A. m � �; 2  � 3; �
B. m � �; 2 � 3; �
C. m � 2;3
D. m �[3; �)
Câu 14: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số?

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 ở
Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh. Trong quá trình học đề tài này, học
sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở
ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã
học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả, học sinh tích cực tham
gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận
dụng tốt ở từng bài toán cụ thể. Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài
thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và
đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau:

15


G
SL
0

%
0

Lớp 12 (Sỉ số 19)
K
TB
Y
SL
%
SL
%
SL
%

Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học
sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận
dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến
thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào
là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần
dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác
phong tự học tự nghiên cứu. Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống
đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với trường:

16


Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ
trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng
bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục:
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời
viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Lang Cháng ngày 22 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

XÁC NHẬN ĐƠN VỊ