Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
ii . Mục đích nghiên cứu
Từ thực tế giảng dạy môn toán cho học sinh khá , giỏi tôi đã rút ra
đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề : Một số phơng
pháp giải bài toán cực trị với mục đích áp dụng kinh nghiệm này
trong giảng dạy để giúp học sinh :
-Nắm đợc các dạng bài và phơng pháp giải các bài toán cực trị .
-Rèn kĩ năng làm bài toán cực trị
-Học sinh thấy đợc loại toán gần gũi với thực tế và có nhiều ứng
dụng trong thực tế .
-Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ , các
thao tác t duy : So sánh , phân tích , tổng hợp , đặc biệt hoá , khái quát
hoá ,
III Ph ơng pháp nghiên cứu :
Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là :
- Phơng pháp thực nghiệm .
- Phơng pháp phân tích tổng hợp .
- Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá .
B . Nội dung đề tài .
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I : Khái quát chung.
Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số.
Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học.
Phần IV : Kết quả thực hiện đề tài .
Phần V : Kết luận.
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
Phần I
Khái quát chung
A/Mục đích yêu cầu:
1/ Đối với giáo viên:


(x
0
,y
0
,z
0
...) sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
...) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất
của F (x
0
,y
0
,z
0
...) trên D. Ký hiệu max F (x
0
,y
0
,z
0
...) = A
Tơng tự, nếu F (x
0
,y

3;1
. Nh vậy để giải
một bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc:
Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z...)

a (hoặc

A)
(Với A; a là hằng số)

(x,y,z...)

D
Bớc 2: Chỉ ra đợc (x
0
,y
0
,z
0
...)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
...) = a (hoặc = A)
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị

0 dấu =

x = - 2
(x-1)
2


0 dấu =

x = 1
Nên A > 0
Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng
thức.
Do vậy ta phải giải nh sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2
= x
2
+ 4x + 4 + x
2
- 2x + 1
= 2x
2
+ 2x + 5 = 2 ( x
2
+x +
2
5

+ 5x - 6) (x
2
+ 5x + 6)
Đặt: x
2
+ 5x = t
Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t
2
-36)
B = 36 - t
2


36
x = 0
Vậy B = 36 khi x
2
+ 5x = 0


x = -5

x= 0
Do đó: max B = 36 Khi


x = -5
1.2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi
tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ).

- 2x
3
+ x
2
- 2x + 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A= 4x - x
2
+1
B = 5- 8x- x
2

C = -5x
2
- 4x + 1
D = 1- x- x
2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Giải: P = (9x
2
+36xy+36y

2
Giải: Q = - (x
2
+ 10x + 25) - (9x
2
- 24xy + 16y
2
) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2


40
x = -5
Vậy max Q = 40


y = -
4
15
Nhận xét:
+ Ta vận dụng kiến thức cho F = F
1
+ F
2
thì maxF = maxF
1
+ maxF

- 4ab + 4b
2
) + (b
2
- 2b + 1) + 27 + 10a-20b
= (a- 2b)
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10 (a- 2b)
Đặt a- 2b = t ta đợc
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
D = t
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (b- 1)
2
+ 2

2
t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3
Dấu = xảy ra khi




a
n
+ 2a
n
a
1


M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= ( a
2
+ 4b
2
+ 25- 4ab + 10a- 20b) + (b
2
- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)
2
+ (b-1)
2
+ 2
Vì (a- 2b +5 )
2


0 ; (b-1)

+ by
2
+ cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)
= a(x
2
+
a
c
2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d
)-
a
c

2
)
2


0; (y +
b
d
2
)
2


0

x,y

R


A


ab
abeadbc
4
4
22
+


2

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
N = (x- 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
(a là hằng số)
Giải: Ta có N

0
(x- 2y + 1)
2
= 0

Dấu đẳng thức xảy ra

(Có nghiệm)
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
(2x + ay + 5)
2
= 0

x- 2y + 1


Có nghiệm



12
(x- 2y + 1) +
25
36
+
5
9

2
= 5 (x- 2y + 1) +
5
6
+
5
9
2
= 5 x- 2y +
5
11
+
5
9



5
9
Dấu đẳng thức xảy ra

x- 2y +

- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
B = x
2
+ xy + y
2
- 3x- 3y + 2003
C = 10x
2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
D = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)
2
+ (x- 4)
2
+ (y- 1)
2
- 27

A
m
với A > 0 :
- Nếu m = 0

P = 0
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
- Nếu m > 0
max P =
Amin
1
; min P =
Amax
1
- Nếu m < 0 ta có max P =
Amax
1
; min P =
Pmin
1
Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của
phân thức về bài toán cực trị của đa thức.
3.2- Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
544
3
2
+


4
3
(Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử
mẫu đều dơng)
Vậy maxM =
4
3
với x =
2
1
Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
3
1
2

x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0
Nhng với x= 0 thì:
3
1
2

x
=
3

xx
xx
Giải: N =
54
662
2
2
++
++
xx
xx
=
54
1254
2
22
++
+++++
xx
xxxx
(x + 1)
2


0

x
= 1 +
1)2(
)1(

+
xx
xx

Giải: P =
12
1
2
2
+
+
xx
xx
=
2
2
)1(
1112

+++
x
xxx
= 1 +
1
1

x
+
2
)1(

3



4
3
P =
4
3
khi A = -
2
1
hay x = -1
Vậy min P =
4
3


x = -1
3.3- Nhận xét:
ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa
thức ở mẫu.
Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng
nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi
biến.
3.4- Một số bài tập tơng tự:
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
2
956

2
)1(
+
x
x
G =
2
12
2
+
+
x
x
IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
4.1- Kiến thức cần thiết:
a, f (x) = f (x) nếu f (x)

0
f (x) = - f (x) nếu f (x)

0
b, f (x) + g (x)

f (x) + g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
c, f (x) - g (x)



0 còn min f (x)

0 trên đoạn (a
1
,b
1
)
Ta có: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
- f (x)

f (x)

f (x)
- g (x)


f (x) - g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) . g (x)

0
d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên
Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế
( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8
Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + ...+ h(x)

f (x) + g (x) +...+ h(x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x), g (x),..., h(x) cùng dấu.
(Việc chứng minh đơn giản)
Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
A

x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
Dấu đẳng thức xảy ra

x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu


2x- 3996 > 4000- 3996


A > 4 (3)
Từ (1), (2), (3)

min A = 4

1996

x

2000
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
x + y

x +y dấu = xảy ra khi xy

0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x

x- 1996- x +2000 = 4
Vậy A

4

(x- 19996) (2000- x)


3
-2
Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x
2
-
4
3
đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt f(x) = x- x
2
-
4
3
ta có f(x) < 0

x
R/

f(x) = - (x
2
- x +
4
1
+
2
1
= - (x-
2
1
)

min f(x) =
2
1
khi x =
2
1
min B =
2
1
- 2 = -
2
3
khi x =
2
1
4.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5- 2x -1
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
H =
32
1
+
x
I = x- 1 + x- 3 + x- 6

( a = const, a

0 )

(x
0
,y
0
)

D, P(x
0
,y
0
) = a
P(x,y)

A

(x,y)

D
b,
),( yxp

+
4
1
2
+
xx
Giải: Tập xác định R
P =
2
)2(

x
+
2
)
2
1
1(

= x- 2+ x -
2
1

= x- 2+
2
1
- x = x- 2 +
2
1
- x = -



x

2
Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B =
2

x
+
x

4
x - 2

0


2

x

4 (*)
Giải: Điều kiện để B xác định
4- x

0
Với điều kiện (*) B

MaxB = 2 khi x= 3
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
C =
2
1
35
x
x


Giải:
Tập xác định -1

x

1 khi đó C > 0
Ta có C
2
=
2
2
1
)35(
x
x


=
2
2

4


C
2


16


C

-4 ( loại) Vì 1 - x
2
> 0 với -1 < x < 1
Dấu = xảy ra khi 3 5x = 0

x =
5
3
Vậy min C = 4

x =
5
3
5.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 1996 +
xx 2
2


+
32

x
G =
3
6
+

x
xx
VI/ Cực trị có điều kiện:
Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó. Để
giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian
một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo
cách giải ở trên.
6.1- Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất,
tìm giá trị lớn nhất của x + y.
Giải: Với x,y R ta đều có:
(x+y)
2
+ (x-y)
2

2
x+y


2
-
2


x +y


2
Khi x = y ta có x
2
+ x
2
= 1

x
2
=
2
1


x=
2
2


z =
4
3
-
ă
3
x
Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có:
N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (
3
4
-
3
x
)
= 2x + 6- 3x-
3
16
+
3
4x
=
3
x
+
3
2


N

4
Lại có: y

0 nên từ (3) ta có x
2

x
2

z

0 nên từ (2) ta có x
4


Vậy maxN =
3
2
+
3
2
=
3
4


x = 2, y = 0, z =
3
2
Ví dụ 16: Cho a,b,c

0

a
2


a + 2
tơng tự ta cũng có: b
2


b + 2
c
2


c + 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
a
2
+ b
2
+ c
2


a + b + c + 6


++
biết x > 0
C = 5x- 6y + 7z
Biết x,y,z là số không âm và thoả mãn hệ phơng trình

4x + y+ 2z = 4
3x + 6y- 2x = 6
VII/ Tìm cực trị bằng cách dùng tam thức bậc hai:
7.1- Nhắc lại kiến thức:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+ bx + c (a 0)

= b
2
- 4ac
a, Nếu

< 0 thì a. f(x)

x

R
b, Nếu

= 0 thì a.f(x)

0

x

2
= y

0 ta có y
2
= 2- x
Do đó: A = 2- y
2
+ y = - (y-
2
1
)
2
+
4
9



4
9
max A=
4
9


y =
2
1


2
- 19 (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)



x = - 702y
2
+ 168yz- 240z
2
Ta coi


x là một tam thức bậc hai đối với y
Trờng THCS Nam Hoa Nguyễn Công Minh
Đề tài : Một số ph ong pháp giải bài toán cực trị
Khi đó:


y = 842.z
2
- 702. 240z
2



y =- 161. 424y

bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng 1
Giải: ta phải tìm a,b để 1


1
2
+
+
x
bax


4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra.
(1)


1
2
+
+
x
bax


4

1
2
+

- 16 (4-b) = 0

= a
2
- 16 (4-b) = 0 b = 3








2
= a
2
- 4 (b+1) = 0

= a
2
- 4 (b+1) = 0 a =

4
Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì:
f(x) =
1
2
+
+
x

+
xx
xx
(1)


ax
2
+ ax + a = x
2
-x+1


(a-1)x
2
+(a+1)x +(a-1)=0
Trờng hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trờng hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là



0 tức là
(a+1)
2
- 4(a-1)
2


0


a
a
=
)1(2
1
a
a

+
Với a=
3
1
thì x = 1 với a = 3 thì x= -1
Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2) ta có:
MinA =
3
1


x = 1
MaxA = 3

x = -1
Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
f(x) =
123
3102
2
2
++

2
+ 10x+3 = 3x
2
y
0
+2xy
0
+ y
0

(3y
0
- 2)x
2
+ 2 (y
0
-5)x + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét hai khả năng:
Trờng hợp 1: Nếu 3y
0
- 2 = 0 (

y
0
=




2
5


y
0


7 và y
0

3
2
Kết hợp cả hai trờng hợp ta có:
2
5


y
0


7 (3)
Từ (3)

max f(x) = 7 và min f(x) =
2

+
++
x

/R
c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
h(x) =
1
12
2
2
+
++
xx
xx
x

/R
8.4- Đáp án bài tập 11:
a,
3
1



y
0


1

1221
...
+++



1221
...aaa
n
Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= ....a
12
b, Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho dãy số bất kỳ a
1
, a
2
,....a
12
và b
1
, b
2
.....,b
12

b
1
2
)(

Dấu = xảy ra



k a
i
= k b
j


i = 1; n
Chứng minh:
a, Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp:
hiển nhiên với n = 2 bất đẳng thức đúng
2
21
aa
+



21
aa
giả sử mệnh
đề đúng với n = k tức là:



a
k+1



k
aaa
k
+++
...
21

Đặt
k
aaa
k
+++
...
21
= x thì x

0


a
k+1
= x+y với y


)
1
(
+
+
++
k
k
yxkx

=
1
)
1
(
+
+
+
k
k
y
x


121
11
....)(..
1
).1(
+

k
aaaa
Vậy mệnh đề luôn đúng với n

2
Đẳng thức xảy ra

a
1
= a
2
= ....= a
n
b,Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôxki:
Đặt A=
22
2
1
2
....
n
aaa
+++
B =
22
2
2
1
....
n

R
Ta có:
020)(
2
111
22
1
2
11
+
bxbaxabxa020)(
2
222
22
2
2
22
+
bxbaxabxa
..........................

020)(
222
+
nnnnnn
bxbaabxa


C
2
+ B
22
2
000 CABCAB
A
C
B

Dấu đẳng thức xảy ra khi
nn
bxabxabxa
===
;........;
2211

n
n
b
a
b
a
b
a
===
......
2
2
1