Å
Ð

Ä

Ò

Ù

Å Ø×

Ù

Ò

½º

Ô

ºÌ

Ò

Ò

ØÖÓÒ

Øñ

Ú
Ø


¾º Î
Ø

ØÖÓÒ

¿º

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ºÃ

º

ÒØ

ô
Ú

Ñ Ø Ô øÒ



ØÖ

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º




ºÌ

Ò

Ô

Ø

Ò
Ú

º º º º º º º º º º º º º º º

½

Ú

¾¿

Ò

Ò


º º º º º º º º º
Ú
Ø

º º º º º

Ø

Ò

Ø

¾º

ô
Ô Ô ØÓôÒ Ú
Ò

Ú

ÙÝ

õ

Ù

¾

¼

½º

¿º

ñ Ú
Ø


º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º


Ú
Ø

¾

º º º º º º º º º º º º º º º º


º

º

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

º ÌÖ Ò

Ø Ñ

ô
Ú

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º



ôÒ


Ø

Ò

º º º º º º º º º º º º º º º
Ú

Ú

Ò

Ò



Ò

¿º

Ò

Úñ Ð

Ò¹

Ò

Ò


º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½¿¼

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½¿½

Ò



½¿¾

½º

Ò

Ò

Ú
Ø

ÚñÓ

ò Ñ Ø×

ñ ØÓôÒ

ØÖ

ÙØ

½¿¾
½

½ ¾

Ò

Ù ×ÙÝ Ò

Ìñ Ð

ØÖ

Ø

¾º Î
Ø

ô
Ú

½¼

½¿¼

Ñ Ø Ô øÒ

ºÄ


ºÄ

º

Ò

½º Ì Ñ

ØÖ Ò

º

º

Ø

Ñ

Ò¹

ÑÚ

ôÔ ×

Ò

½

Ò

ũ
ụ
ễ

ủ ỉểụề

ỉệ ỉ
ủ

ẹ ỉệ

ề


ẹ

ũ á ỉí ề
ũ ếí ỉ

ỉ

ề

ề ỉ

ỉ



ề

ỉệ ề

ừ ì á ề



ề ẹ ề ỉ

é í

ề



ễ

ỉ

ề

ẹ ề èểụềá

á

ụỉ

ụ

ềủí ệ ỉ ễ


ễ

ỉừễ ủ



ẹ

ề ẹ ề
ề ỉệểề





ỉ

ỉ

ề



ỉệ ề
ề






ì ề

ỉểụề ủ

ễ





ễ ụễ 
ỉ
ủ ỉểụề ỉ

ẹ

ểụ

ũ

ễ

ể

ề

ề

ỉểụề ỉệề



ễ ỉ

ề

ữề

ề
ẹ ỉ ếí ỉệ ề

ễ
ụ

ề

ễ

ỉừểá

ềủể
ỉ

ỉ

ếụ ỉệ ề

ủ ỉểụề

ỉệ


ủể

ề

ễ

é

ỉ ề ếụỉ

í

ỉệểề

ủ ỉểụề
ề

ề

ỉ

ề

ề



í ủ

ề ẹ ề ậ


ề ỉểụề ỉệề


ề



ỉủ

ề


ỉ

ủể

ũ

ủ ỉểụề

ỉệ ỉệểề

ề

ề

ễ ứề
ề


ủể

ũ

ủ ỉểụề

ỉệ ỉệểề

ừ ì

ụ

èủ é
ễ

ề

ề

ề
ủ é

ề


ỉ

ề

ề á


á

ếụ ỉệ ề
ể

ứề

ũề
ủ ỉ

ừí



Å
Ø

ó

úÒ ¸ Ò

Ù × Øº Î Ú Ý¸
ô
Øô
õÒ

Ò

Ò

Úñ

Ô

ô

º
ô
Øô

ò


Å Ø×
△ABC

Ì Ñ

A, B, C

ô

a, b, c

Ø

Ðñ ×

Ó



Ø Ñ

ABC º

Ø Ñ

ñ
ô
ô

Ø Ñ

R, r

ABC º

ôÒ

Ò
ôÒ

S(XY Z)

∀, ∃

Ò
Ò

Ò

ô

ÒØ

G, H, I, O
Ò Óõ Ø

Ô

ñ
ô

ô

ra , rb , rc

Ò

ABC º

ma , mb, mc


Ò

ñ
ô

õÒ


min, Ñ

Ñ
Ü

Ò

ظ

A, B, C

Ø Ñ¸ ØÖ
Ø Ñ¸ Ø Ñ

¸ Ø Ò Øõ º
ô ØÖ Ò

ô
º
Ø Ñ

ô
ABC º

XY Z º

Ôº
Î

ÔØ Ñ

ề
ễ ứề

ẹ ỉỳỉ é

ỉệ

ỉ

í

ề

ỉ



ẹX
ềỉ
ề ỉệ ề ẹ

f (X) M, X D
ĩ f (X) = M
X D : f (X ) = M.

ể

ỉ

àẹ




ủ




ỉ

ỉ


ỉ



ề

ủ ề

ề
ề





AB


AB//CD

ẹ ẹ ỉ ềủể éủ

ẹ

éủ

ủ
ễ


éủ

ề

ệ

ủ


ỉ

éủ
ề

ỉ ứề

ú


ểừề ỉ ứề

ỉệ ề ẹ ỉ
ề

ẹ

ỉ

ẻ
ỉ


ẻ
ỉ 0

m, X D

X D : f (X ) = m.
0
0

ểừề ỉ ứề

ủ ề



ề




ẹ

á

ể ỉ

ỉ

íẹ

ề


éủ AB


ỉ

ỉ

éủ 
ỉ


AB

ạ



¹ À

Ú
Ø

Ò

Ô

Ø AB, CD
Ò
−→
−−→
AB ↑↑ CD º Æ Ù
Ò



Ò ¸

¹À

Ú
Ø

¹À

•


Ñ

Ò

N

¾º¾

Ú
Ø

× Ó

−−→ −
→
Ó MN = a º

ô
Ô Ô ØÓôÒ Ú

È Ô
Ò
µ

Ò

Ø

Ø


Ô
ô
Ú
Ø ÒñÝ

ÓñÒ ØÓñÒ Üô

Ò

Ñ

Ô



Ñ

Ù

M¸ Ø

Ò
Ò

Ò Øõ

Ò Ù
òÒ Ðñ

ÙÝ Ò

Ò



Ðñ Ô Ô
Ò

• ÉÙÝ Øú
• ÉÙÝ Øú

Ñ
Ò

ABCD Ðñ

ñÒ

Ò

Ò

ñÒ

Ø

A

ØÙ

Ú


Ò ¸

Ò

→
−→ −
−−→ −
−→
AB = →
a Úñ BC = b º Î
Ø AC

Ðñ Ø Ò
−
→ −
→
−
→
→ −
Ì
ÙØ Ò
Ú
Ø a Úñ b Ðñ a + b º È
Ú
Ø

Ò

Ò Ù


Ñ Ø Ú
Ø

Ó ØÖ

Ò

Ò

Ò

Ú

Ò º Î
Ø

→
− − →
−
→
−
a , b ,→
c ,−
x ,→
y ,...



Ú

Ù AB ↑↓ CD º

−→ −−→
AB Úñ CD ¸

Ö ØÒ

Ø

Ø

Ø

Ú
Ø

Ú
Ø



Ò Ø

−→ −−→
AB Úñ CD

Ú
Ø

Ò

a ´Ø Ò
Ø
Ó ÓôÒµ
−
→
−
→ →
→
→
→
(−
a + b )+−
c =−
a +( b +−
c ) ´Ø Ò
Ø
−
→ −
→ → −
−
→
a + 0 = 0 +−
a =→
a ´Ø Ò
Ø
Ú
Ø
È Ô ØÖ
µ


Ú

º

ÕÙÝ

µÌ Ò

Ò µ.

¹

Ù




Ú
Ø

−
→
a Úñ

Ñ Ø× º

−
→
→
→


Ú
Ø º

−
→
−
→
→
a + (− b )¸
b Ðñ Ú
Ø −
−→ −→ −−→
µ ÉÙÝ Øú
º AC − AB = BC.
Ì

Ø

×
Ò

−
→ −
→ −
→
→
0−
a = 0¸k0 = 0º
غ

Ò



−
→
−
→
→
→
• k(−
a + b ) = k−
a +k b
→
→
→
• (h + k)−
a = h−
a + k−
a

→
→
• h(k −
a ) = (hk −
a)
→
→
→
→


−
→
−
→
a Úñ b
→
−
→−
Ù Ðñ a . b ¸

Ó

ô
Ú
Ø

Ú
Ø

Ø× ¸

Üô

Ò

−
→
0 º



Ú

Ò

−
→
→
a .−
a



Ù Ðñ

−
→
a2

Úñ ×

ÒñÝ




éủ

ề


àè ề



ỉ ẻ





a , b ,
c


ỉ

ỉ

ủ ẹ






a . b = b .
a ỉ ề
ỉ
ể ểụềà





(k
a ). b = k(
a.b)=
a .(k b )
àặ

ề ĩỉ è

ụ
ỉ ề



ỉ

ỉ



ề áỉ



ề

ẹ ề



ỉ éủ

ề





C, D ỉệ

ề

AB à

D

C

C1

ắ

à

D1

a

B




a

B

µ

Ó Ø Ñ

ÓõÒ

BC

¿º

Ø

C

M

M Ðñ Ñ Ø
Ñ ØÖ Ò
õÒ BC º Ã
MB
ÓØ × k =−
¸ Ó
MC

a Úñ b º Ã
−
→
→
|−
a | + | b | º øÒ Ø
−
→
→
||−
a | − | b || º øÒ

Ó

Ú
Ø

−
→
→
|−
a + b|
→
−
→ −
µ |a − b |

µ

Ò


A, B, C

−
→ −→
−
→
a + b = AC º

⇔ A, B, C Ø øÒ ñÒ Ø Ó Ø
→ −→
−
→ −−
→
−
→ −→ −
−
→
Ø a = AB, b = AC Ø
a − b = CB º
Ø

Î
øÒ

Ø

Ñ Ò º

Ø

Ø

ñÒ

−
→
a ¸Ø




Ô
Ѻ
Ø

|AB − AC| ¸ ×ÙÝ Ö

Ø øÒ

ñÒ

−
→
a2

0º

ÙÔ ò

½½

⇔−
a = 0.

−
→
→
a 2 = |−
a |2 .


−
→
→
→
⇔ |−
a|=0⇔−
a = 0.
−
→
−
→
a Úñ b º Ã
¿º
Ó
Ú
Ø
→
−
→
−

µ Ì

ÜòÝ Ö

Ñ Ò º

−
→
−
→
→
−
−
→
→
→
a . b = |−
a |.| b |. cos(−
a, b)



Ô
Ѻ
øÒ

Ø

µÌ
Ö

−
→
→
−
−
→
→
→
→
⇔ cos(−
a , b ) = 1 ⇔ (−
a, b)=0⇔−
a ↑↑ b º
→
−
−
→
−
→
→
−
→
−
→
→
→
a , b ) −1 ¸ Ò
a . b = |−
a |.| b |. cos(−
a , b ) Úñ cos(−

a , b ) = −1 ⇔ (−
a, b)=π⇔−
a ↑↓ b º

ØÖ º



Ò

Ò ×ÙÝ

Ѻ

Ò

º

Ó

n

Ñ

A1 , A2, . . . , An Úñ n ×

α1 + α2 + . . . + αn = 0º Ã

Ø Ò Øõ


I

Ò

Ú Ý

Ðñ Ø Ñ Ø



n



{α1 , α2 , . . . , αn}º

Ñ

{A1, A2, . . . , An}

Ñ Ò º



−−→
−−→
−−→ −
→
α1 .IA1 + α2 .IA2 + . . . + αn .IAn = 0
½¾

ìí ệ

ẹ

I

ĩụ

ề

ủ ỉ ề ỉừ

ủ

í ề

í ề

ỉ



ãè ẹỉ
ãè



ỉ

ụ

MA2 + 2MB 2 è ẹ
ề ỉ

ỉ
ữề

ụ

ề

ũ

ì

ểừề ỉ ứề

é ễỉ ề

ũ èệ

ẹ

ụ ề

ừềá ĩỉ



ỉ


A ủ B á

ềữẹ

d

ỉ ứề
ề

ỉ

ẻ

ẹ

ẹ

ỉ



M









ểũề

ụ

ỉ

ẹ

I

ề

ề

MA2 + 2MB 2
ứề
ẻ í

ắ
ắẵ

ỉ

ĩũí ệ

M

éủ

ề

ẹ


ểỉ ẹ



ỉ ỉệểề
ụ

ABC

ủ

ỉ ẹ

M
ẵ

éủ

ụ
ẹ

ỉ

ỉ ẹ


ụ



Sa .MA Sb.MB Sc .MC = 0

ềữẹ ề ểủ ỉ ẹ

ụ
á
ứề

ừề



BAC

ỉ

ẹ ề

C
D
B1

E
C1
M
A

B




àề ề

ẹ

D, E


B, C ỉệ ề AM á ỉ
DC
CC1
Sb
ME
=
=
=
MB
MB
BB1
Sc


Sb
ME = .MB
Sc

Sa
ề ỉ MD =

à èệ ề
ủề



ỉ
ẹ

ỉ

ề
ẹ

í

ỉ


ỉ ỉệểề

ỉ ẹá ỉệ
ỉ ẹá ỉ ẹ

ễỉ ẹ

G éủ ỉệ







•

H

Ñ

Ðñ ØÖ
Ø Ñ

Ø Ñ

ô
Ò

Ò

ABC

Úñ

−−→
−−→
−−→ −
→
tan A.HA + tan B.HB + tan C.HC = 0 .
•

I

Ñ

Ñ

Ò

ØÖ Ò Ò Óõ Ø

ÔØ Ñ

ô
Ò

Ò

ABC

Úñ

−→
−
−→
−→ −
→
sin 2A.OA + sin 2B.OB + sin 2C.OC = 0 .
•

Ñ

•

a.IbA − b.IbB + c.IbC = 0 .

Ô



B



Ø Ñ

ô

ABC

Úñ

Ñ

Ic Ðñ Ø Ñ
Ò ØÖ Ò ñÒ Ø
−→
−
−
→
−→ −
→
a.Ic A + b.IcB − c.IcC = 0 .


ôÔ

Ò

ØÖ Ò

ØÖ
Ø Ñ¸ Ø Ñ
ô
Ø

ØÖ Ò

−−→
−−→
−−→ −
→
−a.Ia A + b.IaB + c.IaC = 0 .

Ò
´⇒ µ

Ò

Ø Ù

Ò ØÖ Ò Ò


ÙÔ ò


Ô¸ Ò Óõ Ø

´

Ò

ô

Ø Ú Ý¸

Ø
Ó

Ô¸

M

ñÒ Ø

ØÖ Ò

Ú

A¸ B ¸

Ô

I′ ≡ Iº Î
µ


Ò

Ø

Ò

Ò

Ò

ØÖ Ò Ò

ÔØ Ñ

ô

Ù¸
øÒ
Ø

ABC

Ô
Ø



ØÖ Ò Ò


L

Ò
Ñ

Ò

Ø

Ì Ò



ÓØ



Ò

AA1, BB1, CC1

AA1, BB1, CC1

Ø

Ò

Ø

غ


C

M

BC, CA, AB
Ø Ñ ô
ABC Ð Ý
ô
AC1
b2 BA1
c2 CB1
a2
Ó
= 2,
= 2,
= 2 ´
ô
C1 B
a A1 C
b B1 A
c

º ÌÖ Ò
ô

õÒ

A 1 , B1 , C 1


Ò

Ø øÒ

Ñ Ä ÑÓ Ò º
Ø Ñ

BC, CA, AB. Ã

Ø Ñ



Ðñ

ô

ô
º

L Ðñ
Ø Ñ

ô

H, K, N
Ñ Ä ¹ÑÓ Ò

HKN


Ö

Ô

ÒÐ

Ø Ðñ
ô
Ú
Ø

Ò Óñ Ø Ñ

ô

Ò Ú ÚÙ Ò

ABC º
½

Ú

ô

õÒ

BC, CA, AB




ụ

ỉ ẹ

LBC, LCA, LAB
ABC

ụ

ủ

a
b
c
=
= .
Sa
Sb
Sc
ỉ

ể

ụ
á ỉ

Lỉ

ể



é

ểề ề

ẹá ỉ



ể í





a2 LA + b2 LB + c2 LC = 0
a2
b2
c2
=
=
Sa
Sb
Sc
2
2a
2b2
2c2

=



ỉ

1200

ẹ

CC1

ề

ếí ỉừ ẹ ỉ

à

ẹ ặ

ĩ

ụ

ừề

ề ỉ ứề
ụ


ẹ


ỉệ ề ề

ề

ụ

BC, CA, AB ỉ

HKN.

ỉ

éủ
ề

ễỉ ẹ

ẹ

ỉệ ề
ề

ề

ẵ

0
ề 120

ề

ỉ ẹ

ABC

ệ ểề
ủề

ỉ

ỉừ
ụ

ề ếí ỉừ ẹ ỉ





ẹ èểệ
éé

A 1 , B1 , C 1

J

AA1, BB1, CC1

ụ

ụ


ễ
ẹ

ụ

A 1 , B1 , C 1

ẹN

éủ

ẹặ

ỉ

ễ

ụ
ề


½º Ì Ñ

ØÖ Ò

Î





õØ

Ø

Ô

Ò

ô ØÖ Ð Ò Ò

ØÖ Ò

(O)º

ظ Ò

Ò

Ì Ñ

Ñ

M

Ø

−−→ −−→ −−→
T = |MA + MB − MC|.
ò º

ACBI ¸ Ø

−
→ −→ −→ −
→
IA + IB − IC = 0 .
Ã

−−→ −−→ −−→
−
−
→ −
→
−
−
→ −→
−
−
→ −→
MA + MB − MC = (MI + IA) + (MI + IB) − (MI + IC
−
−→ −
→ −→ −
→
= MI + IA + IB − IC
−
−→
= MI
Æ


→
⇔ |MI| Ð

ÓõÒ

Ò

ÒÒ
ØÖ Ò

Ø

⇔ MI

Ð ÒÒ

(O)¸ M1 Ò÷Ñ Ò

M ≡ M2 º Î M2 Ðñ

Ó

⇔ M ≡ M1 º Î

Ø
Óñ

Ñ

ÓõÒ

I

ÐÙ Ò Ò÷Ñ Ò Óñ

ÕÙôغ

½

Ò

ØÖ Ò

(O)º

Ò


ñ

½º

Ó Ø Ñ

ô
Ò

ABC

Ò



(O)

Ñ

A, B, C

(O) Úñ

× Ó
Ó

α, β, γ
−−→
T = |α.MA +
ô
×

Ø



Ò

Ú

ô

α, β, γ Ø


Ó

M1 , M2 Ð

ÒÐ

Ø Ðñ

OI Ú

Ó

Ò ØÖ Ò (O, R)¸ ØÖÓÒ

IM1

IM2 Ø
T

Ð ÒÒ

T

Ò

Î



Ó

Ø øÒ

AB

Ò

M

CM

Ø



ÑóÒ
ñ Ò

(O, R) Úñ
úØ
Ù
Ò

Ñ Ô

Ò

(O, R)º ÌÖ Ò
Ò ØÖ
−−→ −→ −−
→

Ð Ý

Ñ Ú ØÖ

Ò
Ñ

× Ó

C
Ñ

Úñ

C


I

Ðñ ØÖÙÒ

Ã

Ù

C1 , C2 Ðñ
ô

IC1


ô

IC

Ó

Ò

Ñ

Ø Ù

(O)¸ Ø

IC + CO

Å Ø



Úñ

Ò

−−→
−→
CM = 2CI º
OI

Ø øÒ


Ù

′′

Ò

Ø

⇔ C ≡ C2 ¸ CM

½º¿º

Ò

=′′ ÜòÝ Ö ⇔ C ≡ C1 º

Ó Ò

ØÖ Ò¸ Ø

Ò

Ð Ý
ô

Ñ

ØÖ Ò Ø Ñ


E

D
B

C

A
M

ò×

B

Ø Ù

ÙÒ

⌢
AC ¸

Ò

Ø Ó

OADC



õÒ


Ò
÷Ò

−−→ −→ −−
→
OD = OA + OB Ø

OD Ðñ

Ò

Ó

1º

AOD = COD < 900.

Ò¸

Ó


Ò

º

ò×

Ó


½º

Ø Ñ Ð Ò Ð

△ABC

ò ×
Ø Ðñ

G Úñ G′

Úñ

△A′ B ′ C ′

Ò º Ì Ñ

Ðñ
ô
Ø Ñ

ô ØÖ Ò

Ò

ô
Ø

Ý

−−→
=3GG′
Ó

−−→
−−→
−−→
AA′ + BB ′ + CC ′ = |AA′ | + |BB ′ | + |CC ′|
−−→ −−→ −−→
|AA′ + BB ′ + CC ′|
−−→
= 3|GG′ | = 3GG′ .
øÒ
ÒñÝ Ø

Ø

⇔

ÜòÝ Ö



Ò

ô
Ú
Ø

¸


øÒ

Ò

−→ (△ABC) = △(A′ B ′ C ′ ).
T−
GG′

ÓõÒ Ø øÒ ¸ Ø

ô
Ø

Ò

Ø Ñ

ô
º



• min(AA′ + BB ′ ) = 2GG′ .
• min(AA′ + BB ′ + CC ′ + DD′ ) = 4GG′ .
Î



½º




Ñ Ø Ø Ñ

Ò
ô
º

−−→
−−→
−−→ −
→
Sa .MA + Sb.MB + Sc .MC = 0 Ò
−−→
−−→
−−→
Sa .MA + Sb .MB = −Sc .MC
¾½

Ò

Ñ Ò

Ø
Ö÷Ò






ỉ



ỉệ ề

ề



ề ề ề

=

ĩũí ệ

Sa .MA < Sb .MB + Sc .MC, Sb .MB < Sc .MC + Sa .MA

ỉ

Sa .MA, Sb .MB, Sc.MC

ắ

ề
ề ễ

Sc .MC < Sa .MA + Sb .MB


ề

ẹ ề

ệữề

ma , mb , mc éủ

ủ

ừề

ụ

ũ
ụ

G éủ ỉệ

ẵ

M G
éủ

Sa = Sb = Sc

ủ

ụ


ừề



ABC



ề

ụ

ẻ

ụ

ABC á ủ

é í

ẹ

ụ ỉệ ề

ể ỉ ẹ

M

ủ é ễ ỉ ề



 ỉệ ềá ỉ

ề

2
2
2
GA = ma , GB = mb , GC = mc
3
3
3



ắ è ẹ

ỉệ ề



ụ
ABC á ụễ

ề ỉ ẹỉ ẹ

ễ

ụ


ỉ ề

ề

d

ừỉ


d
c

M

A

ò×
Ì

I

Ðñ

B

I

−
→
−→ −


Ò Ú

Î Ý
Ò
Î


ô


¾º¾º

Ø Ò

ò ºÌ

Ò

IMC = 900¸ Ø

3MA2 + 2MB 2

ØÖ Ò

Ò

Ò
ÌÖÓÒ



Ðñ

Ó

Ò

Ñ

Ù ÒñÝ

IC º

Ò

d

Ú

º

Ø Ñ

ô

T = a2 + b2 + c2 Ð

ABC
Ò Ò


Î

OG2

0Ò

Ò ×ÙÝ Ö

T

9R2º

øÒ

Ø

ÜòÝ Ö

¾¿

⇔ O ≡ G ⇔ ABC

Ðñ Ø Ñ

ô

Ùº


Î Ý ØÖÓÒ


ô

ABC

T = a+b+cÐ

Ø Ò

ò º

ôÔ

Ò

Ø

øÒ



ô


Ø Ò
Ò

Ñ
Ò



Ø

ÜòÝ Ö

√
= 3 3R ⇔ △ABC

Î Ý Ñ ÜT
º ÌÖÓÒ

Ø

º ºË¸ Ø

øÒ

ñ

Ò

Ò Ò

Ø

a+b+c

Ðñ Ò

Ø

Ø Ñ

Ò

ØÖ Ò

óÝ Ø Ñ Ø Ñ
Ò
ô

õÒ

غ

ò º
a

dc R
db
O

da

B

da , db , dc

Ð Ò Ð

BC, CA, AB




a2
b2
c2
2
2
= R −
+ R −
+ R −
4
4
4
1
= 3R2 − (a2 + b2 + c2 )
4
1
3R2
2
2
3R − .9R =
.
4
4
2

¾

Ò


α, β, γ ¸ Ø



2

2

2



Ò

Ø

αa + βb + γc

Ò

ÜòÝ Ö

⇔ △ABC

Ùº

Ùº

ÕÙôغ


(αβ + βγ + γα)2 2
.R
αβγ



−−→
−→
−→
αa2 + βb2 + γc2 = αBC 2 + β CA2 + γ AB 2
−→ −−→
−→ −→
−
−→ −→
= α(OC − OB)2 + β(OA − OC)2 + γ(OB − OA)2
−→ −−
→
−→ −→
−−
→ −→
= 2(α + β + γ)R2 − 2(αOC.OB + β OA.OC + γ OB.OA)
−→ −
−→ −→ −→ −→ −−→
OC.OB OA.OC OA.OB
2
= 2(α + β + γ)R − 2αβγ
+
+
βγ


Î



Ò

Ò

¾º¿º

Ø

Ðõ

−→ −−
→ −→
OA OB OC −
→
øÒ Ø
ÜòÝ Ö ⇔
+
+
= 0
α
β
γ
−→
−−
→



G Ðñ ØÖ

ò º

Ò

Ø Ñ

△ABC ¸ Ø



−−→ −→
−−→ −−→
−−→ −→
T = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 + (MG + GC)2
−−→ −→ −−→ −→
= 3MG2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2MG.(GA + GB + GC)
−→ −−
→ −→ −
1
→
= 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) ( Ó GA + GB + GC = 0 )
3
1 2
(a + b2 + c2 ).
3
øÒ

M

Ò÷Ñ ØÖÓÒ

Ñ Ø Ô øÒ

α + β + γ > 0. Ì

Ñ

Ø Ñ

ô ØÖ Ò

ô
Ò

ABC

Ø

Úñ
ô
×
Ù Ø

Ø




Ø Ñ

ô

ô ØÖ Ð Ò Ò

Ø

ABC

Úñ
ô
×
Ù Ø



T = αMA2 + βMB 2 + γMC 2.
ò ºÎ
Ã

Ø



−
→
−→
−
→ −

2

2

¾