PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Để giúp học tốt các môn học khác thì toán học đóng một vai trò vô cùng quan
trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư
duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực
của đời sống sản xuất.
Qua quá trình dạy hình học không gian 11 và luyện thi TNTHPT. Tôi nhận thấy
rằng, đa số các em học sinh còn yếu trong viêc giải các bài toán về tính thể tích,
tính khoảng cách trong hình học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh
chưa nắm vững những kiến thức cơ bản về phần quan hệ vuông góc trong không
gian ở sgk hình học lớp 11 nên không tìm được phương pháp giải cho phù hợp bài
toán. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán,
tạo sự thích thú cho các em học sinh học phân môn hình học không gian.Tôi đã
xây dựng nghiên cứu hệ thống lại các dạng bài tập về phần quan hệ vuông góc
trong không gian từ đó phát triển thành đề tài để học sinh dễ tiếp cận hơn trong
việc giải toán và hình thành cho học sinh những kỹ năng vận dụng tri thức trong bộ
môn toán để giải các bài tập toán.
Vì vậy tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông
góc trong không gian” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn môn hình
không gian.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm về
làm các dạng bài toán liên quan đến phần quan hệ vuông góc từ đó đạt được kết
quả cao khi giải bài toán về tính thể tích và các bài toán về khoảng cách, phát huy,
khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập
cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ :
-Hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh

1

P

Cách 4: Dùng hệ quả:
b

a

b// c , a  b � a  c

c

[1]
`
[1] Tham khảo trong chương III sgk hình học 11

2


Cách 5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P )�
�� a  b
b  (P )
�

P

Cách 6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.


D

Ta có

uuu
r uuu
r uuuu
ruuu
r uuuu
r uuuruuu
r uuu
r uuu
r
AB.CD  AB ( AD  AC )  AB. AD  AB. AC
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
 AB . AD .cos 600  AB . AC .cos 600  0

A

C

� AB  CD

Cách 2: Để chứng minh AB vuông góc với CD

Suy ra BC  (SAM)  BC  SA.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
a. Chứng minh: AO  CD
b. Chứng minh: AB  CD
Hướng dẫn: a. Ta có: AO  ( BCD)  AO  CD
b. Gọi M là trung điểm của CD  AM  CD ,lại có AO  CD  CD  (AMB) 
CD  AB
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và
AB= AC = a 2 .
a. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC

S

b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn:
a. Gọi M là trung điểm của BC  SM  BC;

C

M

B

và có AM  BC  BC  (SAM)
 góc giữa SA và BC là 90 0

b. Ta có:

A


a. CMR AD vuông góc BC
b. Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB,
SAC, SAD đều vuông, SA= a

2
. Tính góc giữa SC và AD.
2

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc
với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Cách 2 : Dùng hệ quả:
Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường
thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
b

a
a
b

P

P

a // b , b  (P ) � a  (P )


( )

( )

Lưu ý các
kiến thức thường gặp:
P

( ) �( )  
�
��   (P )
( )  (P ),( )  (P )�

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau2
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy
BC. Gọi I là trung điểm BC.
a. Chứng minh BC vuông góc AD
b. Kẻ AH là đường cao trong  ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD)3
Hướng dẫn:

A

a.Ta có: BC  DI; BC  AI nên BC  AD
b.Ta có: AH  DI và AH  BC nên AH  (BCD)
Bài 2: Cho hình chóp SABC. SA vuông góc với

B

A

C
B

6


với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh
còn lại.
Ta có: BC  AB và BC  SA nên BC  SB
b.Ta có: AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC).
Theo trên ta có AH  SC
và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh:
a. SO vuông góc với (ABCD)
b. AC vuông góc SD, BD  SA
c. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. Chứng minh: IJ  (SBD)
d. Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. Chứng minh: AD  (SOH) 4
S

Hướng dẫn:
a. Vì SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b. Vì AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD

B

c. Ta có: IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d. Vì AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)


nên BC  (SAB)
b. Tam giác MAC cân tại M nên góc MCA = 45 0 tương tự tam giác MCD vuông cân
tại M suy ra góc MCD= 45 0 , do đó CD  SA và CD  AC nên CD  SC.
4

Trích bài tập 3 trang 104 sgk hình 11

Bài 5: Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là
trung điểm BC.

7


a.Chứng minh: BC  (SAM)

S

b.Vẽ AH  SM tại H. Chứng minh: AH  SB
Hướng dẫn :

H

a. Ta có: BC  AM và BC  SA nên BC  (SAM)
b. Ta có: AH  SM và AH  BC nên AH  (SBC)

C

A
M

 (  ) //( )
 a  ( )
2. 
a 

 ( ) (  )

3.  a  ( )  ( ) //(  ))
 a  ( )


8


 a b

4.  a  ( )  a // b
 b  ( )


a  b
 a  ( )
 
 ( )  b  a //( )

5. 

B. Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
SA vuông góc (ABCD). Gọi (  ) là mặt phẳng qua A và


S

là trung điểm của SB và SD.

H

Chứng minh OM vuông góc với (AHD).
M A

Hướng dẫn:Ta có: OM //SB và SB  AH; SB  AD

B

 SB  (AHD) suy ra OM  (AHD)

Bài tập vận dụng.

O
D

C

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB,
BC, dựng SH  (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC
= 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN  (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA  (ABC)
a. Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB. Chứng minh: BC  (SAB) và AH 
(SBC)


a  ( ) �

B. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác
SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi. Chứng minh:
a.SO  (ABCD)

S

b. (SAC)  (SBD)

Hướng dẫn:
a. Ta có tam giác SAC cân tại S, mà OA= OC suy ra SO  AC (1)

D

Tam giác SBD cân tại S và OB=OD Suy ra SO  BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO  (ABCD)

C
O

A

B

b. Trong mp(SAC) chứa đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD)
suy ra (SAC)  (SBD)
Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. Có SA vuông
góc với đáy ABC.

Hướng dẫn:

K
A

C

a. Trong (SAC) có SA  (ABC) suy ra (SAC)  (ABC)
b. Ta có: BC  AB; BC  SA suy ra BC  (SAB) suy ra BC  AK B
Trong (AHK) có AK  BC,AK  SB suy ra AK  (SBC) suy ra (AHK)  (SBC)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,
mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. Chứng minh: (SBC)  (SAC)
b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh (ABI)  (SBC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB,
BC.
a. Chứng minh (SAD)  (SAB) và (SBC)  (SAB)
b. Chứng minh: (SDK)  (SIC)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA  (ABCD). Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh:
a. (SAB)  (SBC); (SAD)  (SCD)
b. (AEF)  (SBC); (AEF)  ((SCD)
Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO  mp(ABCD).
SO = a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh:
a.(SBD)  (SAC)

b. (SIJ)  (SBC)



H
O

A

 AH  (SBC)  d ( A; ( SBC ))  AH  a 6
3

C
D

I
B

d(C;(SAB))=CB=a 2 ;
d(B;(SAC))=BO=a với O là trung điểm của AC.
c. Gọi I là trung điểm của AB  IO // BC  IO //( SBC )
1
a 6
 d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC )) 
2
6

d. Tam giác SDA vuông tại A, kẻ AK  SD thì AK=d(A;SD)=

a 35
7

[2] Tham khảo qua tài liệu: Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương


1

1

769

60

Ta có: AH 2  SA2  AI 2  SA2  AB 2  AD 2  25  9  16  3600 � AH 
769
b. Kẻ AK  SB vì BC  mp(SAB)  BC  AK
S

 AK  mp(SBC)
 d(A;(SBC))=AK Ta có:
1
1
1
1 1 34



 
2
2
2
AK
AS
AB


S

Hướng dẫn:
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đường kính AD= 2a nên ta có: AD//BC,
AB= BC= CD= a
AC  CD, AB  BD , AC= BD= a 3
Ta có

CD  AC �
� � CD  mp(SAC)
CD  SA �

H
A

D

B

C

Kẻ AH  SC tại H ta có AH  CD Nên AH  mp(SCD). Vậy AH= d  A;(SCD) 
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao

13


1




A

IM
IA

I



d  A;( )  .IM
IA

Nhận xét : Ở hướng này thay vì tính khoảng cách từ A đến mp ( ) ta đưa về tính
khoảng cách từ một điểm khác A thuộc đường thẳng  đi qua A mà khoảng cách
đó tính được một cách dễ dàng.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc
với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ
G đến mp(SAC).
Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó
Mà

d  G;  SAC  
d  B;  SAC  



C
O

B

14


3Vchóp
Hướng 2: Sử dụng công thức h  S
.5
dáy
Bài 5: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' và By lập với nhau một góc
450. Trên đường vuông góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax // Bx ' và lấy C thuộc Ax
sao cho AC= c. Gọi D là hình chiếu của C lên By. Tính khoảng cách từ B đến
mp(ACD).
Hướng dẫn: Kẻ CE// AB, dễ thấy ABEC là hình chữ nhật và CE  (P).
Từ đó ED  BD (định lí 3 đường vuông góc).
Kẻ DF  BE từ đó ta có tam giác DBE vuông cân đỉnh D.
c
c
còn DF=
2
2

Mà BE= AC= c nên BD= DE=
Và F là trung điểm của BE

A


E

2

1
1
ac
VABCD  DF.SABC  AC.AB.DF 
3
6
12

x’

Kẻ DK  AC, tam giác ADC cân có
AD= DC= a 2 
Từ đó DK=

c2
nên K là trung điểm của AC.
2

c2
AD  AK  a 
2
2

2

2


ĐàoTam- Lê Thống Nhất

15


Nhận xét: ở bài này nếu ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách sẽ
gặp khó khăn hơn.
Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Tính khoảng
cách giữa a và b.
Để giải bài toán này có 3 hướng sau:
Hướng 1: Áp dụng cho trường hợp a  b.Ta chọn mp ( ) chứa a và vuông góc với b
tại B. Dựng BA  a tại A. Khi đó d(a;b)= AB.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là
trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B1C.
Hướng dẫn: Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có các cạnh bằng a nên các mặt bên là các
hình vuông bằng nhau. Đáy là tam giác đều
Gọi I là trung điểm của A1C1 ,tam giác A1B1C1 đều nên B1I  A1C1
� B1I  (ACC1A1 ) � B1I  MC1 (*)
A1C1M  C1CI � �MC1A1  �C1CI (1)

Mà �C1CI  �C1IC  900

B

C

(2)

a 5
Lại có MBC1 có MB= MC1= a 2  
4

2

� MBC1 cân đỉnh M.

H
B
O

1
2

có BC1= a 2,OB  BC1 

C1

a 2
5a 2 2a 2 a 3
,OM 


2
4
4
2

16


d  B;(AMN)  =BH với H là trực tâm AMN

M
B

a .
1
1
1
1
� BH 
�



2
2
2
2
7
BH
BA BM BN

Vậy d  AM;B1C  

a
7

A1

M

A

Hình chiếu của A1E lên (AA1D1D) là A1F

D

S

N
B

Tương tự A1E  (BPQD) .
A1

Gọi I, J lần lượt là giao điểm

D1

J

I

của A1E với TO và SR.

E
O

Độ dài IJ là khoảng cách

8
8

Bài này đối với học sinh lớp 12 ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ trong không
gian để giải
Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC)
và SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
a.Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
b.Tính khoảng cách từ I đến AB
c. Chứng minh rằng (SBC)  (SAB); Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và từ A
đến (SBD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SA= SB =SC
=SD = a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
[3] Tham khảo tài liệu trên mạng internet nguồn giáo án điện tử

c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA 
(ABCD) và SA = a.

18


a.Chứng minh (SAE)  (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD.
b. Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
c. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AD và SB; AB và SC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi

sinh tự học, tự làm bài tập ở nhà. Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, vở và
việc soạn bài của học sinh trước khi đến trường.
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài: “Một số phương pháp giải các bài
toán về quan hệ vuông góc trong không gian”,vào giảng dạy tôi nhận thấy vấn đề
này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em không còn “e ngại” khi
học phần hình học không gian nữa các em đã giải khá tốt những bài tập.
Thực nghiệm cho thấy có khoảng 81% học sinh hiểu được các bài tập trong sách
giáo khoa, 19% học sinh giải quyết trọn vẹn các bài tập sách giáo khoa. Riêng bản
thân tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn nữa để có những định hướng tốt hơn.
Vì kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế chắc rằng đề tài còn có thiếu sót, tôi
chân thành nhận sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn.
Thiệu Hóa, tháng 3/2017
Người viết

Đinh Văn Ba

20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG TTGDTX THIỆU HÓA
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:

Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ
vuông góc trong không gian


PHỤ LỤC.......................................................................................................

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam
- Lê Thống Nhất
2.Sách giáo khoa hình học 11-NXBGD
2.Sách giáo khoa hình học 12-NXBGD
. Chuẩn KT-KN môn toán
2.. Phương pháp giảng dạy môn toán, Vũ Dương Thụy, NXBGD, 2009
3. Hướng dẫn ôn thi TN 2014 - 2015; 2015 - 2016.
4. Phương pháp dạy học môn Toán: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy – NXBGD
2000
5. Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông – NXB ĐHQG TPHCM
2005
6. Hướng dẫn thực hiện chương trình SGK Toán 11: Nguyễn Thế Thạch – NXBGD
2008
7. Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục
9.Giới thiệu đề thi môn toán: Doãn Minh Cường- NXB ĐHQGHN

23