PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀLẠT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG PTCS PHAN CHU TRINH VÒNG TRƯỜNG LỚP 9 THCS
Năm học 2006-2007
Đề Thi Môn : TOÁN
Ngày thi: 16/11/2006
(Phần Số Học Và Đại Số)
Bài 1(4đ)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 2.7
n
+ 1 là bội của 3
2) Số 19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
với k là số chẵn có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2(4đ)
1) Phân tích thành nhân tử: a
3
+b
3
+c
3
-3abc
2) Cho
1 1 1
0
a b c

− − −
với p là nửa chu vi tam giác đó
Bài 4 (8đ):
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là
trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng : tgB.tgC =
AD
HD
b) Chứng tỏ rằng HG//BC
⇔
tgB.tgC = 3
2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB,
BC tại M,N,K . Chứng minh rằng :
a) DM
2
= MN . MK
b)
1
DM DM
DN DK
+ =

 Hết 

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07
(Phần Số Học Và Đại Số)

Bài 1(4đ)
1) 7  1(mod 3) =>7
n

k
 1(mod 4) (do k chẵn)
1996  0 (mod 4)=> 1996
k
 0(mod4)
=>19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
 3(mod 4)
19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
= 4k+3 (k∈Z)
=>19
k
+5
k
+1995
k
+1996

3
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)
2 2
( ) ( ) 3a b a b c c ab
 
+ − + + −
 
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)
2) Theo câu a nếu ta có a+b+c = 0 thì
a
3
+b
3
+c
3
-3abc = 0=> a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
áp dụng kết qủa trên nếu

0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.25
Bài 3(4đ)
1 1 1
...
1 2 2 3 3 4
1
....
120 121
1 2 2 3..... 120 121
121 1 10
A = + + +
+ + +
+
+
= − + − + − +
= − =
1 1
1 ...
2 35
2 2 2
...
2 1 2 2 2 35
2 2 2
...
1 1 2 2 35 35

2p c p a p c a b
+ ≥ =
− − − −
1 1 1 1 1 1
2( ) 4( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
(Học sinh có thể chứng minh bằng cách
khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
Bài 4 (8đ):
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.75
0.5
0.25
1)
a) tìm được tgB=
AD
BD
,tgC=

thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ)
2)
a) cmđược
2
(1), (2)
. .
.
MD AM MD CM
MK MC MN MA
MD DM MA CM
MK MN MC MA
MD MK MN
= =
=> =
=
Từ (1) =>
(1')
MK MC MK MC
MK MD AM MC KD AM MC
= => =
+ + +
Từ (2)=>
(2 ')
MD MC MD MC
MN MD AM MC ND AM MC
= => =
+ + +
Từ (1’,2’) =>
MK DM
DK DN