I. Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Nguyên hàm là phần khó học đối với học sinh bởi nó là bài toán ngược của bài
toánđạo hàm nên đòi hỏi học sinh phải nắm thật vững cách tínhđạo hàm và có
khả năng bao quát, tư duy sâu. Các công thức tính nguyên hàm trình bày trong
sách giáo khoa Giải tích 12 cũng giúp học sinh tìm được nguyên hàm các hàm
số thường gặp nhưng đối với đối tượng học sinh trung bình yếu phảiđúng
nguyên dạng công thức thì học sinh mới làm được, còn khi gặp bài hơi khác
dạng một chút là học sinh lúng túng, mà các bài toán khác dạng hiện nay rất phổ
biến, thêm vàođó là hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay cũngđòi hỏi học sinh
tốc độ làm bài phải thật nhanh ra kết quả nên đòi hỏi cần bảng nguyên hàm các
hàm số thường gặp tổng quát hơn nữa. Một khó khăn nữa với học sinh trong quá
trình học nguyên hàmlà sử dụng các phương pháp tìm nguyên hàm, các em chưa
biết khi nào thì sử dụng phương pháp đổi biến, khi nào thì sử dụng phương pháp
từng phần và các bước làm cụ thể khi sử dụng hai phương pháp này. Với các lý
do trên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm(SKKN) có tên “MỘT SỐ KINH
NGHIỆM KHI DẠY HỌC PHẦN NGUYÊN HÀM CHO HỌC SINH
TRƯỜNG THPT LÊ LAI-NGỌCLẶC” với mong muốn giải quyết được các
khó khăn trên mà hiện nay chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này.
1.2. Mụcđích nghiên cứu.
Nhưđã trình bàyở trên, SKKN này giúp học sinh tìm nhanh và dễ dàng hơn các
nguyên hàm thường gặp mà nếu chỉ học thuộc bảng các nguyên hàm trong sách
giáo khoa thì học sinh vẫn còn khó khăn, lúng túng trong tìm kết quả. Mụcđích
thứ hai của SKKN là giúp học sinh thành thạo, linh hoạt hai phương pháp tìm
nguyên hàm là phương pháp đổi biến và từng phần, qua đó giúp các em tự tin
hơn khi đứng trước bài toán nguyên hàm, tích phân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
SKKN tập chung nghiên cứu về các công thức tìm nguyên hàm của các hàm số
thường gặp và hai phương pháp tìm nguyên hàm là đổi biến và từng phần. Cụ
thể là SKKN trình bày bảng tìm nguyên hàm mới các hàm số thường gặp và nêu
dấu hiệu nhận biết khi nào sử dụng phương pháp đổi biến, khi nào sử dụng

5.
6.
7.
Bảng 1

* Chú ý:
1. Kết quả nguyên hàm không phụ thuộc vào kí hiệu biến:
;;…
2. Khi tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng
khoảng xácđịnh của nó.
2


3. Nếu k là một hằng số khác 0 thì
2.1.2. Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số.
Định lí 1.
Nếu là hàm số cóđạo hàm liên tục thì
* Hệ quả.
Với u = ax + b(a 0) ta có:
* Chú ý: Khi sử dụng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) thì kết quả cuối cùng
phải viết theo biến x.
2.1.3. Tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần.
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
* Chú ý: Vì nên đẳng thức trên còn được viếtở dạng:
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
Trước khi áp dụng SKKN này trong giảng dạy thì học sinh rất khó khăn trong
việc đưa ra kết quả nguyên hàm khi gặp các bài toán tìm nguyên hàm của hàm
số thường gặp cho dù các em có thuộc bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
trong sách Giải tích 12(Bảng 1), chẳng hạn như khi yêu cầu tìm thì các em chỉ

- Đạo hàm vế phải: ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Ta có thể chứng minh Bảng 2 sau khi có phương pháp đổi biến số, chẳng hạn
để chứng minh ta đặt u = ax + b
suy ra du = adx. Khi đó ta được:

Hoặc có thể hiểu Bảng 2 có được là sự kết hợp giữa Bảng 1 với hệ quả .
2. Khi học sinh đã học thuộc bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) thì sẽ
dễ dàng hơn rất nhiều trong việc tìm ra kết quả nguyên hàm các hàm số thường
gặp và khi đó học sinh có thể “tạm quên” Bảng 1 cũng được.
b. Các ví dụ áp dụng bảng nguyên hàm mới.
Ví dụ 1: Tìm:
a.

c.

b.

d.

Hướng dẫn: Áp dụng các công thức tìm nguyên hàm trong Bảng 2.
4


Ví dụ 2:
a.

c.

b.

Ví dụ 4: Tìm
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 1 du = 2xdx, khi đó:

Ví dụ 5: Tính
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 3x + 1 du = (2x + 3)dx, khi đó ta có:

*Chú ý:
1. Không phải bài nào cũng cho dấu hiệu ngoặc, có bài lại có nhiều ngoặc hoặc
có ngoặc và cả mẫu số, có bàiđòi hỏi phải biến đổi hàm số dưới dấumới đổi biến
được. Do vậy cần vận dụng linh hoạt phương pháp đổi biến.
Ví dụ 6: Tìm
a. b.
Hướng dẫn:
a. Viết lại . Từ đó đặt u = sinx suy ra du = cosxdx, ta có kết quả là
b. Viết lại . Từ đó đặt u = lnx suy ra , ta có kết quả là.
+ C.
Ví dụ 7: Tính I =
Hướng dẫn: Lưu ý cho học sinh nếu vận dụng máy móc phương pháp là đặt u
bằng mẫu số hoặc đặt u bằng phần mũ thì không tính được I, khó khăn ở đây là
phần mũ của e là (-x), ta phải xử lý chỗ này.
Biến đổi như sau: I =
Đếnđây ta đặt u = , từ được kết quả I =
2. Ngoài nhận dạng phương pháp đổi biến theo các dấu hiệu như đã trình bày ở
bước 1, nên rèn luyện cho học sinh cách xét mối liên hệ giữa các biểu thức dưới
dấunhư: liên hệ giữa cosx với sinxdx; sinx với cosxdx; lnx với; ; tanx với; cotx
với

6



2.3.3. Kinh nghiệm trong dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần.
a. Dấu hiệu và các bước làm.
Thường thì khi gặp 4 dạng sau ta sử dụng phương pháp từng phần
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dạng 4:
Các bước làm: Đối với dạng 1, dạng 2, dạng 3 ta tiến hành như sau:
Bước 1: Đặt u = f(x); dv = phần còn lại dưới dấu
Bước 2: Tính du và tìm v.
Bước 3: Áp dụng công thức từng phần (3)
Trong đó nguyên hàm mới xuất hiện là sẽ đơn giản và dễ tìm.
Riêng đối với dạng 4 thì ta tiến hành như sau.
Bước 1: Đặt: u = lnx; dv = f(x)dx
Bước 2 và bước 3 như trên.
b. Các ví dụ áp dụng.
Ví dụ 11: Tính I =
Hướng dẫn:
Đặt u = 2x+ 1; dv = sinxdx, khi đó du = 2dx, v = -cosx.
Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta được kết quả:
I = -(2x+1)cosx + = -(2x+1)cosx + 2sinx + C.
Ví dụ 12: Tính I =
Hướng dẫn:

8


Đặt u = lnx; dv = (1 - x)dx, khi đó
Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta được kết quả:
I=

Hướng dẫn: Học sinh phải thấy được khó khăn đầu tiên khi tính I là có kí hiệu
căn, vì vậy ta sử dung phương pháp đổi biến trước để khử căn.
Đặt u =
Đến đây sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt v = u 2; dw = sinudu,
khi đó dv = 2udu, w = -cosu. Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta có
)
Tiếp tục tính I1 theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta được

Vậy
2.4. Hiệu quả của SKKN.
Trước khi SKKN đượcáp dụng tại trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc thì học sinh
rất ngại học phần nguyên hàm, khả năng tìm các nguyên hàm dạng cơ bản
thường gặp rất yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm là đổi biến
và từng phần còn lúng túng , số lượng học sinh làm được bài chỉ từ 15% đến
20%. Trong những năm gầnđây, khi đượcáp dung SKKN này vào trong giảng
dạy thì các em học sinh cảm thấy dễ dàng hơn trong bài toán tìm nguyên hàm,
số lượng học sinh làm được bài tăng lên rõdệt(đã có khoảng 80% học sinh làm
được bài) và các em không còn sợ phần nguyên hàm – tích phân nữa, thậm chí
còn thích học phần này. Đối với đồng nghiệp trong trường thì sau khi tham khảo
vàáp dụng SKKN này vào trong giảng dạy cũngđã công nhận tác dụng và hiệu
quả cao của SKKN.

III. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.

10


Từ bảng các công thức tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp trong sách
Giải tích 12 kết hợp với phương pháp đổi biến, SKKN nàyđã trình bày thêm một


11