GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.

ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D và x0, x1 �D
  a, b 
x : f  x   f  x0  x � a, b  \  x0 
 f(x) gọi là đạt cực tiểu tại điểm x0 nếu:
chứa 0
  a, b 
x : f  x   f  x1  x � a, b  \  x1
 f(x) gọi là đạt cực đạt tại điểm x1 nếu:
chứa 1
 LƯU Ý:
 x0, x1: điểm cực trị của hàm số.
 f(x0), f(x1): (giá trị) cực trị của hàm số.
 N(x0,f(x0), M(x1,f(x1)): điểm cực trị của
đồ thị hàm số.
II. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ:
1) Điều kiện cần
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó:
f(x) có cực trị tại x0

� y' x0   0

 Ý nghĩa hình học
Tiếp tuyến tại các điểm cực trị là các đường thẳng song song với trục Ox.

GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

Cho hàm số y = f(x) liên tục trong (a,b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a,x0), (x0,b).
Khi đó:
 f’(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x0 thì f(x) đạt giá trị cực đại tại x0
 f’(x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x0 thì f(x) đạt giá trị cực tiểu tại x0
Nhận xét:

f’(x) đổi dấu khi đi qua x0 � f(x) đạt cực trị tại x0

b) Dấu hiệu 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trong (a,b) chứa x0 và có đạo hàm cấp 2 tại x0.
�
�f ' x0   0
ĐẶC BIỆT: Đối với hàm y là bâc 2,3
� f  x c�c�
c�
�
i t�
i x0
�
f '' x0   0
�
�f '  x0   0
 �
� f  x  dat CD tai x 0
�
f
''

�
�f ''  x0  �0
LƯU Ý:
f ' x0   0 �
�
��
f '' x0   0�

Không kết luận được về cực trị � Dùng dấu hiệu 1.

BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

2


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

 Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ
- Tính f’(x). Tìm những điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
- Lâp BBT. ( Lưu ý: Đưa miền xác định của hàm số vào BBT)
- Kết luận.
 Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ
- Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 có các nghiệm xi ( i = 1,2,3….)
- Tính f’’(xi)
- Dựa vào dấu của f’’(xi) để kết luận.
Nhắc lại: Công thức cần nhớ khi gặp cực trị của hàm lượng giác

y  x  x  2
b)
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
y  2sin x  sin2x v�
i x � 0, 
c)
....................................................................................................................................................................................

3


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

TRẮC NGHIỆM:
3
2
Câu 1: Cho hàm số y  x  3 x  9 x  11 . Khẳng định nào
đúng?

4


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

A. x  1 là điểm cực tiểu của hàm số.
B. x  1 là điểm cực đại của hàm số.
C. x  3 là điểm cực tiểu của hàm số.
D. x  3 là điểm cực đại của hàm số.
x 2  3x  6
y
x 1
Câu 2: Hàm số
có số điểm cực trị là?
B. 1
A. 0
C. 2
D. 3
Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào không có điểm cực
trị?
1 x
4
2

2
Câu 6: Cho hàm số y  x  x  2 . Kết luận nào đúng?
A. Hàm số không có điểm cực trị.
B. Hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. Hàm số có 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.
D. Hàm số có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.
Câu 7: Phát biểu nào sau đây sai?

5


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046
3
2
A. Hàm số y  ax  bx  cx  d có 2 cực trị hoặc không
có cực trị.
4
2
B. Hàm số y  ax  bx  c có 3 cực trị hoặc 1 cực trị.

ax  b
cx  d luôn không có cực trị.
C. Hàm số
ax 2  bx  c
y
cx  d
D. Hàm số
luôn không có cực trị.
Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh

f�
 x0   0

thì x0 không phải là

y  f  x
điểm cực trị của hàm số
.
y  f  x
(3) Hàm số
đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là
nghiệm của

f�
 x  0

.

(4) Số cực trị của hàm số

y  f  x

bằng số nghiệm của

6


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046


C. 1

B. 2
D. 0

2
Câu 13: Hàm số y  x  3  2x có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 2
A. 3
C. 1
D. 0
5
4
Câu 14: Hàm số y  x  2x  2019 có bao nhiêu điểm cực

trị?
B. 2
D. 4
Câu 15: Cho hàm số y  x  sin2x  3. Khẳng định nào sau
đây đúng?

x
6 là điểm cực đại của hàm số.
A.
A. 3
C. 1


6 là điểm cực đại của hàm số.
B.

là

5
 3
A. 6

 3
C. 6

5
 3
B. 6

 3
D. 6
y  f  x
Câu 18: Cho hàm số
liên tục
và có đạo hàm trên R. Biết đồ thị hàm số
y f�
 x

như hình vẽ
y  f  x
Hàm số
có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 4
B. 3
C. 2

Ví dụ: Tìm m để
1
y  x3  2m2x2   m 2 x  5m 1
3
a)
đạt cực đại tại x = 1.
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

8


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

x2  mx  1
x  m có cực tiểu tại x = 2 (thử lại bằng 2 cách).
b)
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
y

9


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
TRẮC NGHIỆM:
3
2
2
Câu 1: Tìm m để hàm số y  x  2mx  m x  2 đạt cực tiểu

x
3.
A. m 5.
B. m 5.
C. m 6 .
D. m 6.
4
2
Câu 5: Cho đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm cực đại

10


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

A 0; 3

B 1; 5
và điểm cực tiểu
. Tính a  b  c .
A. 9.
B. 5.
C. 3.
D. 1.
Câu 6: Cho hàm số y  a sin x  bcosx  x (0  x  2 ) đạt cực
trị tại

x


4
2
Câu 9: Tìm m để hàm số y  x  mx  1 đạt cực tiểu tại
x  0.
A. m 0.
B. m�0.
C. m�0 .
D. m��.
Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ( cực trị )

11


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

-

Tìm TXĐ
Tổng quát: Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm bậc lẻ của phương trình y’ = 0

ax2  bx  c  a �0
 Nếu dấu của y’ là dấu của
LƯU Ý: Nếu a có chứa tham số thì xét a = 0 trước.
 TH: D  �
Hàm số có CĐ, CT � y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt �  >0
D  �\  x0
 TH:
0
�

�� 2
��
�
b 0
2a.0  b  0 �
�
ab�0
 LƯU Ý:
 CM hàm số có CĐ, CT m
Đưa về dạng 3 và có kết quả m��
 Tìm m để hàm số không có CĐ, CT
Giải bài toán dạng 3 rồi lấy phủ định kết quả.
Ví dụ:

y    m2  5m x3  6mx2  6x  6
a) Tìm m để hàm số có cực trị
.
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

12



....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
4
2
d) y  mx  (m 1)x  1 2m. Tìm m để:

+ chỉ có 1 cực trị.
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

13


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046


3
2
3
Câu 2: Tìm m để hàm số y  x  3mx  3m có cực đại và
cực tiểu.
A. m 0.
B. m 0.
C. m 0.
D. m�0 .
4
2 2
Câu 3: Tìm m để hàm số y  x  2m x  5 có đúng 1 cực trị.
A. m 0.
B. m�0 .
C. m 0.
D. m��.
x 2  mx  1
y
x 1
Câu 4: Tìm m để hàm số
có cực trị.
A. m 0.
B. m 0.
C. m 0.
D. m��.

Câu 5: Tìm m để hàm số
cực đại và cực tiểu.
A. m 0.


1 cực đại.
A. 1�m 0 .
B. 1�m�0 .
C. 1 m 0 .
D. 1 m�0 .
Câu 9: Tìm m để hàm số
A. m 1.
B. m 1.
C. m�1.
D. m�1.

y  mx 4   m  1 x 2  m 2  3

có 2

y  mx 4   m  1 x 2  m 2  3

có đúng

y  x 5

Câu 10: Tìm m để hàm số
A. m 0.
B. m 0.
C. m 0.
D. m��.

y

m 1

y  ; y'=
v
v2
③ Hàm số hữu tỉ
� u
� u
y
� u
�
�y  v
y

u'
�
� v
�
��
� y
� v��
v'
�
�u'v  uv'  0 �u  u'
�y'  0 �
2
�
v
v v'
Tọa độ điểm CĐ, CT thỏa
�
o h�

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
Dạng 5: Tìm m để hàm số có cực tri thỏa điều kiện ()

16


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

-

Tìm m để hàm số có cực trị ( Dạng 3)
y'  ax2  bx  c  a �0
 Xét các hàm số có

 � ax2  bx  c  0
Khi đó xCĐ, xCT là nghiệm cả phương trình y’ = 0
Áp dụng định lí Vi-et:
b
c
xC �  xCT 
, xC �.xCT 
a

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
y y 4
b) 1 2

17


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
4
2
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2mx  1

18


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

a) Có 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông.
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
b) Có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
G  0;1

0336639046

CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
y  ax4  bx2  c a �0
a 0
�
:1 CT
�
b �0
�

1 cực trị ab�0
a 0
�
: 1 C�
�
b �0
�

 Một số dạng toán thường gặp
Dữ kiện
V
ABC
1.
có góc BAC  



VABC đều (hoặc VABC có 1 góc 60o


�
�b  0

Công thức thỏa ab
�5 �
m�� ;2�
�4 �.
A.
�5
�
m�� ;  ��
�4
�.
B.
� 5�
m��
2; �
� 4 �.
C.
m� �; 2
D.
.
x 2  2mx  1  3m 2
y
xm
Câu 2: Tìm m để đồ thị hàm số
có 2
điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
m� �;1
A.
.
m� �; 1 � 1; �
B.
.

cho AB  2 .
A. 2 .
B. 0.
C. 1.
D. 3.

21


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số
y   x3  3 x2  3  m2  1 x  3m2  1
có các điểm cực trị cách
đều gốc tọa độ.
A. 2 .
B. 3.
4
C. .
D. 5.
Câu 6: Tìm m để hàm số
cực trị cùng dấu.
A. 1 m 0 .
B. m 1�m 0 .
C. m 0.
D. m 1.

y  x3  3x 2  3  1  m  x  m  1


20 .
A. m 1.
B. m��.
C. m 1.
D. m��.
y

4
2
Câu 10: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2mx  1 có các
điểm cực trị lập thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán

22


GV. THÁI THỊ MỸ LÝ
0336639046

kính bằng 1.
1� 5
2 .
A.
1 5
m 1; m
2 .
B.
1 5
m 1; m
2 .
C.

�
m

0
A.
.
B. m 1.
C. m 0.
D. m 0.
y

2 3
x   m  1 x 2   m2  4m  3 x
3
có

Câu 13: Cho hàm số
2 điểm cực trị x1 ; x2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A  x1x2  2 x1  x2 
A.
B.
C.
D.

.

9
2.
4.
1.