CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ
Tổng hợp dạng và các bài toán liên quan
Lovebook.vn sưu tầm và giới thiệu
29/10/2013
Phạm Hồng Phong

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 1
Mục lục
§1. Các phương pháp tìm cực trị 2
A. Tóm tắt lý thuyết 2
B. Một số ví dụ 3
C. Bài tập 5
D. Đáp số 5
§2. Cực trị của hàm bậc ba 7
A. Tóm tắt lý thuyết 7
B. Một số ví dụ 7
C. Bài tập 10
D. Đáp số 11
§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương 12
A. Tóm tắt lý thuyết 12
B. Một số ví dụ 12
C. Bài tập 15
D. Đáp số 15

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§1. Các phương pháp tìm cực trị
A. Tóm tắt lý thuyết


.
b)
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của
f
nếu tồn tại khoảng
 
;ab
sao cho
 
       
0
00
;
;\
x a b D
f x f x x a b x




  


.
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
0

f

Cực trị của
f

Điểm cực trị của đồ thị hàm số
f

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
f
có đạo hàm tại
0
x
. Khi đó: nếu
f
đạt cực trị tại
0
x
thì

 
0
'0fx
.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
 Nếu
 
'fx

 
0
0
'0
"0
fx
fx










f
đạt cực đại tại
0
x
;

 
 
0
0
'0
"0
fx

' 2 3y x x  
,
'0y 



1x 
hoặc
3x 
.
Bảng biến thiên:
+
∞
-
∞
f
x
( )
f '
x
( )
+
+
_
0
0
-
23
3
3


. Ta có
 
2
2y x x



 
 
2
2
'2
xx
x
y x x
xx

   
(
0x 
).
Ta thấy với mọi
0x 
, dấu của
'y
chính là dấu của tam thức bậc hai
2
xx
. Nên ta có bảng

, giá trị cực tiểu tương ứng là
 
00y 
.
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
32
14
3
33
y x x x   
.
Giải. TXĐ

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 4

2
' 2 3y x x  
,
'0y 



1x 
hoặc
3x 
.

" 2 2yx


.

' 1 2cos2yx
,
'0y 



1
2
cos2x 



22
3
xk


  



6
xk


  


y k k




    


.
+)
4sin 2 2 3 0
63
y k k


   

       
   
   


hàm số đạt cực đại tại các điểm
6
xk



, giá trị cực tiểu tương ứng là
3

Giải. Ta có
22
' 3 2y ax bx c  
. Từ giả thiết suy ra
 
 
 
 
' 0 0
00
' 1 0
11
y
y
y
y

























.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 5
Khi đó
32
23y x x  
,
2
' 6 6y x x  
,
" 12 6yx  
. Ta có
 
" 0 6 0y 


hàm số đạt cực
tiểu tại
0x 
,

9
3
2
yx
x
  

;
5)
2
2
8 24
4
xx
y
x



;
6)
2
4
x
y
x


;
7)

.
Bài 3. Tìm
p
,
q
sao cho hàm số
1
q
y x p
x
  

đạt cực đại tại điểm
2x 
và
 
22y   
.
D. Đáp số
Bài 1 Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực đại tại điểm
1x 
,
 
18y 
và đạt cực
tiểu tại điểm
2x 
,
 
27y 

1x 
,
 
15y 
và đạt cực đại tại điểm
4x 
,
 
42y 
; Error! Reference source not found. Hàm số
đạt cực tiểu tại

điểm
2x 
,
 
1
2
4
y   
và đạt cực đại tại điểm
2x 
,
 
1
4
4
y 
; Error!
Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại

đạt cực tiểu tại các điểm
2xk


,
 
2 2 3yk


và
2xk


,
 
2 2 3yk

  
. Hàm
số đạt cực đại tại các điểm
5
2
6
xk


  
,
51
2



  
,
23
2
yk



   


. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
2
6
xk



,
3
2
62
yk






Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 7
§2. Cực trị của hàm bậc ba
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hàm
 
32
y ax bx cx d C   
(
0a 
).
1. Điều kiện có cực trị
 Hàm số có cực trị

hàm số có hai cực trị


 
C
có cực trị


 
C
có hai điểm
cực trị


'y
có hai nghiệm phân biệt.


00
y x ax b
.

: y ax b  
là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của
 
C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
m
để hàm số
 
32
2 3 5y m x x mx    
có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có
 
2
' 3 2 6y m x x m   
.
y

có cực đại, cực tiểu thì trước hết
20m


2m 
. (1)

   
3; 2 2;1m    
.
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2
22
2 3 1
33
y x mx m x    
có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
sao cho
 
1 2 1 2
21x x x x  
.
Giải. Ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 8
   
2 2 2 2
' 2 2 2 3 1 2 3 1y x mx m x mx m       
,






. (1)
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
 
tx
nên theo định lý Vi-ét, ta có
12
2
12
31
x x m
x x m



  

.
Do đó
 
1 2 1 2

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      
có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Giải. Ta có
   
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 12y x x m x x m       
,
 
22
2 1mtx xx 
là tam thức bậc hai có
2
' m
. Do đó:
y
có cực đại cực tiểu


'y
có
hai nghiệm phân biệt




 
 
2
2
23
1 4 1OA m m   
;
 
3
1 ; 2 2OB m m  



 
 
2
2
23
1 4 1OB m m   
.
A
và
B
cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
OA OB




.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 9
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
1
2
m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
33y x mx m  
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao
cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
48
.
Giải. Ta có
 
2
' 3 6 3 2y x mx x x m   
,
'0y 

 
3
0;3OA m



3
3OA m
. (2)
 Ta thấy
A Oy



OA Oy



   
, , 2d B OA d B Oy m
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
4
1
;3
2
OAB
S OA d B OA m   
.

22t x x x  
có
' 3 0  
nên
 
tx
có hai nghiệm phân biệt, suy ra
'y
có hai nghiệm
phân biệt. Do đó
 
C
có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của
'y
là
12
1 3 1 3xx    
.
'y
đổi dấu từ dương sang âm khi
x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại,
'y
đổi dấu từ âm sang dương khi

1
6 1 3 6 6 3yx     


tọa độ điểm cực đại của
 
C
là
 
1 3;6 3
.
Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của
 
C
là
 
1 3; 6 3
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 10
Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của
 
C
cùng thỏa mãn phương trình
66yx  
nên phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
66yx  
.
Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia

có
' 1 0  
nên
 
tx
có hai nghiệm phân biệt và đổi
dấu tiên tiếp khi
x
đi qua hai nghiệm này. Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu.
Thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
ta có
   
2
2y m x t x x m m    
. Giả sử
0
x
là điểm cực trị
nào đó của hàm số, ta có
     
22
0 0 0 0 0
22y x m x t x x m m x m m       
(do
 
0

C
luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi
1
x
,
2
x
là hoành độ
các điểm cực trị của
 
m
C
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  
22
1 2 1 2
11S x x x x    
.
2) Tìm
m
để các điểm cực đại, cực tiểu của
 
m
C
cách đều trục tung.
Bài 3. Cho
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      


.
Bài 5. Tìm
m
để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
 
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m    
;
2)
 
 
 
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m       
.
Bài 6. Tìm
m
để đồ thị hàm số
1)
   
32
2 3 1 6 2 1y x m x m x     
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
41yx  
;
2)
   

 
32
11
1
32
y x m x mx   
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
72 12 35 0xy  
.
D. Đáp số
Bài 1
1
1
4
m
. Bài 2 1)
19
min
4
A 
, đạt được


3
2
m 
; 2)
0m 
. Bài 3 1)
1m

2
m





35
2
m


,
phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2 3 2
2 2 2 8 8 2
2
3 3 3 3 3 3
y m m x m m m

       


.
Bài 6 1)
5m 
; 2)
1m 
; 3)
3 10

b
f x ax bx ax x
a

   


.
Trường hợp 1:
0ab 
. Khi đó
 
tx
vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
0x 



 
'fx
có
nghiệm duy nhất
0x 
và
 
'fx
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0

f
có một cực trị


0ab 
;

f
có ba cực trị


0ab 
;

f
có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu


0
0
a
b





;

f

có một cực tiểu và hai cực đại


0
0
a
b





.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm
m
để hàm số
 
4 2 2
9 10y mx m x   
có
3
điểm cực trị.
Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc
4
, tức là
0m 
. Ta có
 
 




2
9
0
2
m
m





 
2
90mm



03
3
m
m





.

1m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

10m



1m 
. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc
4
có
   
 
32
' 4 1 2 4 1
21
m
y m x mx m x x
m

     



.
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại


'y
có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số
 
42
21y x m x m   
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị
A
,
B
,
C
sao cho
OA BC
; trong đó
O
là gốc tọa độ,
A
là điểm cực trị thuộc trục tung,
B
và
C
là hai điểm cực trị còn lại.
Giải. Ta có
   
 
32
' 4 4 1 4 1
tx

*

Khi đó, ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 14
'0y 



0
1
1
x
xm
xm



  







 
 
 
2

Ta có
 
0;OA m



OA m
;
 
2 1;0BC m



21BC m
.
Do đó

OA BC



21mm



2
4 4 0mm  
(
'8
)

3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



10m


1m
.
 
*

Khi đó, ta có
'0y 




,
B
và
C
đối xứng nhau qua
Oy
nên tam giác
ABC
cân tại
A
. Do đó tam giác
chỉ có thể vuông tại
A
.
Ta có
 
 
2
1; 1AB m m   
,
 
 
2
1; 1AC m m  



   
4
. 1 1AB AC m m   






1
0
m
m





, kết hợp với điều kiện
 
*
ta có
0m 
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm
m
để hàm số
 
42
1 1 2y x m x m    
chỉ có đúng một cực trị.
Bài 2. Cho hàm số
4 2 4

A
,
B
,
C
sao cho ba điểm này cùng với
 
7;3D
cùng thuộc một đường tròn.
D. Đáp số
Bài 1
1m 
. Bài 2 1)
3
4
4
m 
; 2)
3
2 18
3
m 
; 3)
2
5
503
4


