Träng t©m kiÕn thøc to¸n 12 (Ban cơ bản)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/

dcxbxax
x
+++
−∞→
=



<∞+
>−∞
)0(
)0(
a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y

y +
∞

−
∞
y +
∞
CĐ
CT −
∞

Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ? điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−

+
+
−→
/
lim
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
dcx
bax
x
+
+
∞→
lim
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y

3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4

2
+
∞
y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y
+
∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞

; f(x
0
)) có phương trình là :
Từ x
0
tính f(x
0
) ; • Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)

(x
0
).
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
W: Hoµng Kh¾c Lỵi _ 0915124546
3
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
CĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng
dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT

1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ

=
?
min y
[a;b]
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
min y y
ct
[a;b]
= * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
max y
[a;b]
=
y
CĐ

đổi dấu qua x
0
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
*Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ∞
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0

=
→∞
;
[ ]
b f (x) ax
lim
x
= −
→∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a

( )
x
y
y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1

a
B + log
a
C
log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
Clog
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log

2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

W: Hoµng Kh¾c Lỵi _ 0915124546
5
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/

x ∈(0;+∞) −> (lnu)
/
=
u
u
′
(log
a
x)
/
=
1
x ln a
−> (log
a
u )
/
=
u
u. ln a
′
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
v(x)

alog v(x)
u(x)
= b ⇔
[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b
v(x) u(x)
> > ≠
=





• Đặt ẩn phụ :
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f (x)

f (x)
a.b + γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
1
0

f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <




•log
a
f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) >
b
a
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) <
b
a
•log
a
f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) <
b
a

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) >
b
a
•
( )
v(x)
u(x)
> 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
•
( )
)(
)(
xv
xu
< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý: