UBND QUẬN ĐỐNG ĐA

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 –
2018

Đề chính thức

MÔN TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài : 90 phút
Ngày kiểm tra : 18 tháng 4 năm 2018

Bài I. (2,5 điểm)
Cho biểu thức A 

x 3 x  4
1
2 x 1
và B 
với x  0, x  4

x2 x
x 2
x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9
b) Rút gọn biểu thức B
c)

Cho P 

B

Chứng minh rằng : a 

11
.
3


HDG:
Bài I. (2,5 điểm)
Cho biểu thức A 

x 3 x  4
1
2 x 1
và B 
với x  0, x  4

x2 x
x 2
x

d) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9
e) Rút gọn biểu thức B
f) Cho P 

B
. Tìm x để P  P
A

Hướng dẫn giải:

x ( x  2)
x 2

B

x 3 x  4 x
x ( x  2)

B

x4 x 4
x ( x  2)

B
B

c) P 



x 2



2

x ( x  2)
x 2
x


Hướng dẫn giải:
Gọi số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm)đk:
x  N *; x  0 thì số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày ở thực tế là x  5 (sản phẩm).
Số ngày theo kế hoạch là:

75
(ngày)
x

Số ngày trong thực tế là:

80
(ngày).
x5

Vì trong thực tế xí nghiệp hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
75 80

 1  75( x  5)  80 x  x( x  5)
x x5
 x 2  10 x  375  0

 x  15 (TMĐK) hoặc x  25 (loại).
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất 15 sản phẩm.
Bài III. (1,5 điểm) Cho parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y   2m  1 x  2m
1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m  1
2) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  ; N  x 2 ; y 2  sao cho

y1  y2  x1x 2  1
Hướng dẫn giải:


 x  x 2  2m  1
Áp dụng định lý Viet:  1
 x1x 2  2m

 y1  x12
M, N   P   
2
 y 2  x 2
y1  y 2  x1x 2  1
 x12  x 2 2  x1x 2  1
  x1  x 2   3x1x 2  1
2

  2m  1  6m  1
2

 4m 2  2m  0
 2m  2m  1  0
 m  0  TM 

 m  1  KTM 

2

Vậy m  0 để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  ; N  x 2 ; y 2  sao cho

y1  y2  x1x 2  1
Bài IV. (3,5 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến
MA, MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB

PA PE

(cạnh tương ứng) => PA.PC  PD.PE
PD PC

PDC (g.g) =>

3) - CM: Tứ giác DCFB có: BDC  BEC  900  900  1800
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác DCFB nội tiếp đường tròn
- Có: APD 

CQD 





 

1
1
sd AD  sd EC  ACD  EAC
2
4

 

1
1
sdCD  sd BF  DBC  BCF

F
B

Gọi G là trọng tâm ABC

N  OM  AB 

CG 2
NG 1
 

CN 3
NC 3

Từ G dựng GI / /OC  I  OM


Mà

GI NG NI 1
1
1


  IG  OC  R không đổi
OC NC NO 3
3
3
NI 1
 , do M, O, A, B cố định nên N cố định  I cố định

 3a 2  14a  11  0   a  1 3a  11  0
1 a 

11
.
3

2

2