BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o———————

CHU TRỌNG KÍNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

XUÂN HÒA, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o———————

CHU TRỌNG KÍNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Giải tích, khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, xemina Phương trình vi phân và tích phân,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong
quá trình học tập và làm luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo
Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo của trường THPT Ngô Quyền, Ba Vì, Hà Nội,
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên
cứu sinh.
Đặc biệt, tôi thực sự hạnh phúc và tự hào khi được đại gia đình luôn ở
bên, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án này.
Tác giả

2


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN . . . . . . . . . . . . 63
4.1. Hệ dương bậc phân số dạng kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1. Mô tả hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân số
dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất . . . . 71
4.2.1. Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ . . . . . . . . . 71
4.2.2. Điều kiện hệ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.4. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.5. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4


KÍ HIỆU

Tập n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n}

[n]

Tập các số thực không âm

R+

A≻0
x

y

Rn+

Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j
Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j

xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn

Orthant dương {x ∈ Rn : x

0}

λ(A)

Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

λmax (A), λmin (A)

max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

LMIs

Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính

MNC



D0α f (t)

Đạo hàm Caputo bậc α của hàm f (t)

RL D α f (t)
0

dần tới 0 khi t → ∞

Đạo hàm Riemann-Liouville bậc α của hàm f (t)
5


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích bậc phân số với một lịch sử lâu dài như là một lĩnh vực toán học
thuần túy. Trong vài thập kỉ trở lại đây, các phương trình vi-tích phân bậc phân
số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả bởi các ứng dụng của chúng trong
việc mô tả nhiều bài toán từ các mô hình thực tiễn [32, 38, 42, 54, 61]. Có nhiều
khái niệm đạo hàm bậc phân số. Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo và
đạo hàm Riemann-Liouville được sử dụng rộng rãi hơn do các tính chất đặc thù
của chúng. Chẳng hạn, đạo hàm Caputo có nhiều tính chất quen thuộc, thích
nghi với phép biến đổi Laplace và thuận lợi hơn trong việc biểu diễn nghiệm
của các phương trình vi phân bậc phân số khi biết điều kiện đầu. Gần đây,
các phép tính giải tích bậc phân số được nhiều tác giả phát triển và vận dụng
trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và điều khiển bậc phân
số [29, 37, 83].
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định

nghiên cứu tương tự cho các hệ vi phân bậc phân số trong các không gian vô hạn
chiều gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc ước lượng đạo hàm bậc phân
số. Chính vì vậy, các kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối
với các hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, nhất là trong trường hợp hệ
vô hạn chiều, vẫn còn rất khiêm tốn. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu
về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và
ổn định hóa nói riêng, đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tích
phân bậc phân số, cả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tục
được nghiên cứu và hoàn thiện. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi
chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các phương trình vi
phân và điều khiển bậc phân số.

2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Sự đồng bộ của mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên và
trễ tỉ lệ
Nhiều mô hình trong thực tiễn đời sống được mô tả bởi các hệ phương trình
vi phân có trễ. Các ví dụ tiêu biểu cho những mô hình như thế có thể tìm thấy
7


trong cơ học, điều khiển tự động, các mạng viễn thông, các quá trình vật lí, hóa
học hay sinh học. Một mặt, sự xuất hiện của các độ trễ đó làm thay đổi đáng kể
dáng điệu nghiệm của hệ so với mô hình hệ không có trễ tương ứng, thậm chí
làm mất tính ổn định của hệ [65]. Mặt khác, vấn đề nghiên cứu các tính chất
định tính các hệ có trễ khó khăn hơn rất nhiều so với các hệ vi phân thường bởi
tính vô hạn chiều của không gian pha. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn
định và ổn định hóa các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, đã và đang
được nhiều tác giả quan tâm trong những năm gần đây (xem [19, 31, 48, 59, 75]
và các tài liệu trích dẫn ở đó).
Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã

n

D0α xi (t)

= − di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0,

+

(0.1)

j=1

xi (0) = x0i , i ∈ [n].

Áp dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong
nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện cho tính đồng bộ toàn cục
với tốc độ đa thức của mô hình (0.1). Cụ thể hơn, từ các điều kiện đặt ra, chúng
tôi chỉ ra sự tồn tại của các hằng số dương β và γ sao cho hai nghiệm bất kì x(t)
và x˜(t) của (0.1) thỏa mãn đánh giá
x(t) − x˜(t)

∞



u(0) = g(u),

(0.4c)

ở đó α ∈ (0, 1), A, B là các toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không

gian Banach X và F (.) là một ánh xạ phi tuyến đa trị, Ik (.) là hàm trạng thái
xung tại thời điểm nhảy tk và g(.) là hàm biểu thị điều kiện đầu không cục bộ.
Sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình
vi phân, phương trình đạo hàm riêng với điều kiện không cục bộ đã được nghiên

cứu trong vài thập kỉ gần đây. Trong thực tiễn, điều kiện không cục bộ thường
cho những mô tả tốt hơn so với điều kiện ban đầu cổ điển. Ví dụ, các điều kiện
m

u(0) = u0 +
i=1

1
u(0) = u0 +
b

ci u(ti ), ci ∈ R, ti > 0,
b

k(s)u(s)ds, b > 0, k(.) là một hàm thực,

0


thuyết điểm bất động dựa trên ý tưởng mà Burton và Furumochi đề xuất [11,12].
Sử dụng cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact chính
quy và áp dụng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ đa trị nén. Từ đó chúng
tôi chứng minh sự tồn tại của một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn
cục đối với bài toán (0.4a)-(0.4c). Một áp dụng đối với các phương trình đạo
hàm riêng bậc phân số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả nhận được.

2.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ
dương bậc phân số dạng kết nối
Thuật ngữ hệ kết nối (interconnected systems) thường được sử dụng để chỉ
các hệ điều khiển được cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng
thời và ảnh hưởng lẫn nhau thông qua các kênh kết nối (interconnections). Để
minh họa, ta xét mô hình hệ kết nối trong điều khiển tần số hệ thống điện (chi
tiết, mời độc giả xem trong [60]) bao gồm N khu vực sử dụng điện năng. Ở mỗi
khu vực, mô hình điều khiển được mô tả bởi hệ điều khiển tuyến tính dưới đây
mà ta gọi là hệ địa phương (local systems)
x˙ i (t) = Aii xi (t) + Bi ui (t) + Γi di (t), i = 1, 2, . . . , N,

(0.5)

ở đó xi (t) ∈ Rni là vectơ trạng thái (tần số) ở khu vực thứ i, ui (t) là tín hiệu điều

khiển và di (t) là nhiễu đầu vào. Các khu vực sử dụng điện được kết nối bằng

các đường truyền tải (tie-line) tạo thành một hệ thống điều khiển dạng kết nối
11


được mô tả bởi hệ
N

hành. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, thiết kế các bộ điều khiển phân quyền ổn
định hóa toàn hệ thống khó khăn hơn rất nhiều so với việc thiết kế điều khiển
dạng trung tâm. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu ổn định hóa các hệ điều khiển
dạng kết nối bằng kĩ thuật điều khiển phân quyền thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả với nhiều kết quả quan trọng đối với các hệ điều khiển bậc nguyên
đã được công bố. Gần đây, hướng nghiên cứu này cũng đã được phát triển cho
một số lớp hệ điều khiển bậc phân số. Chẳng hạn, bài toán ổn định hóa và điều
khiển H∞ bằng điều khiển phản hồi trạng thái dạng phân quyền đã được xét
cho một số lớp hệ điều khiển tuyến tính bậc phân số chứa tham số không chắc
chắn trong [47, 53]. Dựa trên điều kiện ổn định của hệ vi phân tuyến tính bậc
phân số, các điều kiện thiết kế được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính. Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trên
bài báo [3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán
ổn định hóa các hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi

12


phân bậc phân số sau đây sau đây
N

D0α xi (t)

Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0,

= Aii xi (t) +
j=1,j=i

(0.9)



ở đó τij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j ,
0 ≤ τij (t) ≤ τi+ . Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, các

điều kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.10) cũng được chúng tôi thiết

lập thông qua các bài toán LP. Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợp
các ma trận hệ số biết chắc chắn.

3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một
số phương pháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích
đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa
nhóm toán tử. Chẳng hạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn
13


tích phân bậc phân số và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng
tôi phát triển kĩ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điều
kiện đồng bộ của hệ. Trong một số trường hợp đặc biệt, các điều kiện đó được
xác định bởi tính chất phổ của các M-ma trận. Đối với nội dung 2, lý thuyết
nửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân số được sử dụng trong việc biểu
diễn các công thức nghiệm của bài toán. Từ đó, lý thuyết độ đo không compact
và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và
nghiệm hút toàn cục.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:
1. Thiết lập được các điều kiện đồng bộ với tốc độ lũy thừa cho một lớp hệ
phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạng


thức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất
động, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bày nội
dung các chương sau của luận án.

• Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ của mạng nơron Hopfield bậc phân số

với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất.

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phân

bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều.

• Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đối

với hai lớp hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi
phân bậc phân số.

15


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về giải tích
bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm
và một số kết quả bổ trợ.

1.1. M-ma trận
Ma trận A ∈ Rn×n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử ngoài


đó ρ(B) = max{|λk (B)|} là bán kính phổ của B ;

(iv) Tồn tại một vectơ χ ∈ Rn , χ ≻ 0, thỏa mãn Aχ ≻ 0.

1.2. Một số không gian hàm
Cho Ω là một tập bị chặn trong Rn . Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các

hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn trên Lp (Ω) được xác định bởi [43]
u

Lp (Ω)
Ω

|u|p dx

1
p

.

Chú ý rằng Lp (Ω) là một không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.
L∞ (Ω) là không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn
u

esssupx∈Ω |u(x)|.

L∞ (Ω)

Lploc (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phương


k ∈ Λ, tồn tại các giới hạn

+
u(t−
k ) = lim u(t), u(tk ) = lim u(t)
t→t+
k

t→t−
k

và u(tk ) = u(t−
k ). Khi đó, PC([0, T ]; X) là một không gian Banach với chuẩn
u

PC

:= sup
t∈[0,T ]

17

u(t) .


Không gian PC([0, ∞); X) được định nghĩa tương tự PC([0, T ]; X) khi T = ∞ và

PC 0 = {u ∈ PC([0, ∞); X)| limt→∞ u(t) = 0} với chuẩn u



tính bị chặn trên X .

Định nghĩa 1.3.1 ([58], Định nghĩa 1.1). Một họ ánh xạ {S(t)}t≥0 ⊂ L(X) được
gọi là một nửa nhóm toán tử trên X nếu (i) S(0) = I , ở đó I là toán tử đồng
nhất trên X , và (ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2 ([58], Định nghĩa 1.1). Một toán tử tuyến tính A được gọi là
toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu Ax = limt→0 S(t)x−x
với mọi x ∈ D(A),
t
} là miền xác định của toán tử A.
ở đó D(A) = {x ∈ X|∃ limt↓0 S(t)x−x
t

Định nghĩa 1.3.3 ([58], Định nghĩa 2.1). Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa
nhóm liên tục mạnh, C0 -nửa nhóm, nếu limt→0 S(t)x = x với mọi x ∈ X .

Định lí 1.3.1 ([58], Hệ quả 2.5). Giả sử A là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm.
Khi đó, A là một toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật.
Định lí 1.3.2 ([58], Định lí 2.2). Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi đó,
tồn tại các hằng số ω và M ≥ 1 sao cho

S(t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0.

Nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là ổn định mũ. Nếu ω ≤ 0,

M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.

Định lí 1.3.3 ([58], Định lí 5.3). Một toán tử tuyến tính A trên không gian Banach X là toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 thỏa mãn S(t) ≤ Meωt
18

1
=
Γ(α)

(t − s)α−1 f (s)ds

0

∞ α−1 −t
t
e dt.
0

ở đó Γ(.) là hàm Euler gamma, Γ(α) =

Định nghĩa 1.4.2 ([42], trang 97). Cho N là một số nguyên dương. Đạo hàm
bậc α ∈ (N − 1, N) theo nghĩa Caputo của một hàm f ∈ C N ([0, T ]; X) được định
nghĩa bởi

D0α f (t)

1
=
Γ(N − α)

t
0

(t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds.


dn
1
dn
= n I0n−α f (t) =
dt
Γ(n − α) dtn

0

f (s)
ds, t > 0,
(t − s)α−n+1

ở đó n = ⌈α⌉ là giá trị trần của α, đó là một số nguyên thỏa mãn n − 1 < α ≤ n.
Với một hàm f (.) ∈ C 1 [0, ∞) và một số thực 0 < α < 1, mối liên hệ giữa

đạo hàm Riemann-Liouville

RL D α f (t)
0

và đạo hàm Caputo D0α f (t) được cho bởi

công thức sau (xem [42], trang 91)
D0α f (t) = RL D α f (t) −

f (0) −α
t .
Γ(1 − α)


(−1)n (t − α)n−α+1
n!Γ(−α)

Γ(α+1)
k!Γ(α−k+1)
1

và

1

Fα (t, u, v)dudv
0

0

với Fα (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1) (t(u + v − uv)).
Định nghĩa 1.4.4. Hàm Mittag-Leffler một tham số Eα (z) được định nghĩa bởi
∞

Eα (z) =
k=0

zk
Γ(αk + 1)

ở đó α > 0 và z là biến thực hoặc phức.
Chú ý rằng chuỗi ở trên hội tụ trên toàn mặt phẳng phức z ∈ C và Eα (z)

là một hàm nguyên trên C với mọi α > 0 [28]. Hơn nữa, vì Γ(k + 1) = k!,

β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ B(X),

ở đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Hơn nữa, MNC β được gọi là
i) đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ B(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ).
ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X).
iii) bất biến compact nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi tập compact tương đối K ⊂ X
và Ω ∈ B(X).

iv) nửa cộng tính dưới nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với bất kì Ω0 , Ω1 ∈ B(X).
v) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.
Một ví dụ quan trọng của MNCs là độ đo không compact Hausdorff χ(·)
xác định bởi
χ(Ω) = inf{ε| Ω được phủ bởi một ε-lưới hữu hạn}.

Độ đo không compact Hausdorff còn có thêm một số tính chất:
• Nửa đồng nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với bất kì Ω ∈ B(X) và t ∈ R.
• Trong không gian Banach tách được X , χ(Ω) = limm→∞ supx∈Ω d(x, Em ), ở

đó {Em } là một dãy các không gian con hữu hạn chiều của X thỏa mãn

Em ⊂ Em+1, m ≥ 1, và ∪∞
m=1 Em = X .

21


Dựa trên độ đo không compact Hausdorff χ trong X , ta có thể định nghĩa
độ đo không compact χ0 như sau
χ0 (Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)},


(1.3)

Khi đó (xem [39, Định nghĩa 2.1.2])
• T

χ

= χ(T (B1 )), với B1 là hình cầu đơn vị trong X .

• T

χ

≤ T

• T

χ

= 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact.

L(X) .

Mệnh đề 1.5.1. Cho χ là độ đo không compact Hausdorff trên X và Ω ⊂ X là

một tập con bị chặn. Khi đó, với bất kì ǫ > 0, tồn tại một dãy {xn } ⊂ Ω thỏa
mãn

χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + ǫ.


X

≤ ν(t) với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ [0, T ];

(2) χ(D(t)) ≤ q(t) với với hầu khắp t ∈ [0, T ],
ở đó ν, q ∈ L1 (0, T ). Khi đó,

t

χ(
0

với

t
D(s)ds
0

={

t
ξ(s)ds
0

t

D(s)ds) ≤ 4

q(s)ds,
0