§7: Thế lưu
Bài giảng của TS. Nguyễn Quốc Ý
[email protected]

Ngày 14 tháng 1 năm 2013

Nội dung cần nắm

ng.com

PT Navier-Stokes, Euler
Hàm dòng, hàm thế và các tính chất
Tính chất các dòng thế cơ bản và chồng nhập
https://fb.com/tailieudientucntt
1 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

δF

✏ δm a

✩
✩
✬
✬
✬
✬
✫Fbx

✬
✪g
z

1 ,2

δ Fn
δ Fs
δA

a✏

ng.com

dV
dt

✏ ❇❇Vt   u ❇❇Vx   v ❇❇Vy   w ❇❇Vz

δ F2

δ F1
Arbitrary
surface

https://fb.com/tailieudientucntt
2 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng

B

B'
A

A'
(b)

(a)

x

z

ng.com

σx

✏ σxxi   τxy j   τxz k

https://fb.com/tailieudientucntt
3 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

(τ

yx

∂x 2

(σ

(

zx +

∂τz x __
δz δx δy
____
∂z 2

∂σxx δ__x
____
δ y δz
∂x 2

(

δz

(

δx

y

xx +




Bảo toàn động lượng thẳng
PT Navier-Stokes

✂
ρ

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✡ ✏ ❇σxx   ❇τyx   ❇τzx   ρ g
x
❇t ❇x ❇y ❇z
❇x ❇y ❇z

Lưu chất Newton:

✏ ✁p   µ ❇❇ux
✂
❇u   ❇v ✡
τxy ✏ τyx ✏ µ
❇y ❇x
σxx

nên

✂

ρ

ng.com


Viết cách khác:

Ñ
Ý

DV
Dt

ÝV
Ý∇p   g   ν∇2Ñ
✏ ✁ ρ1 Ñ

PT Navier-Stokes

ng.com

https://fb.com/tailieudientucntt
6 / 25


Bảo toàn động lượng thẳng
PT Euler

Bỏ qua tính nhớt:

❇u   u ❇u   v ❇u   w ❇u ✏ ✁  ❇p   g
x
❇t ❇x ❇y ❇z
ρ ❇x
❇v   u ❇v   v ❇v   w ❇v ✏ ✁  ❇p   g

Bảo toàn động lượng thẳng

Bàn luận:

ng.com

Có bao nhiêu biến trong PT động lượng thẳng?
Cần bao nhiêu PT để giải các biến đó, là các PT nào?
Tại sao hầu như không thể tìm nghiệm tổng quát của PT
Navier-Stokes hay Euler?
Khi nào thì có thể bỏ qua tính nhớt?

https://fb.com/tailieudientucntt
8 / 25


Nội lưu- Ngoại lưu

U

D

x

Viscous forces
important throughout
Re = UD/v = 0.1
(a)

Viscous

important

Fully developed
flow

Entrance region
flow

(b)

Boundary layer separation

r
x

Viscous effects
important

(1)

(2)

(3)

e

Wake
region

δ

PT liên tục:

Tìm hàm vô hướng ψ ♣x, y q:

✏ ❇❇ψy
❇ψ
v ✏✁
❇x

❇u   ❇v ✏ 0
❇x ❇y
ψ ♣ r , φ q:
✏ 1r ❇❇ψθ
❇ψ
uθ ✏ ✁
❇r

u

ur

thay vào PT liên tục: OK!
Vậy, có thể mô tả 2 biến u ♣x, y q, v ♣x, y qbằng 1 hàm ψ ♣x, y q
hàm vô hướng ψ ♣x, y q được gọi là hàm dòng
Bàn luận: có hàm dòng 3D?

ng.com

https://fb.com/tailieudientucntt

u

ur

thay vào ĐK không quay ωz ✏ 0: satisfied!
vậy có thể mô tả hai biến u ♣x, y q, v ♣x, y q bằng 1 hàm φ♣x, y q
φ♣x, y q được gọi là thế vận tốc
Bàn luận: có hàm thế vận tốc 3D?

ng.com

https://fb.com/tailieudientucntt
11 / 25


Thế lưu
không nén được + không quay

✩
✬
✬
✬
✬
✬
✬
✫
✬
✬
✬
✬

ñ ❇❇xφ2   ❇❇yφ2 ✏ 0

Vậy φ và ψ đều thỏa PT Laplace

ng.com

✏ ❇❇ψy
❇ψ
v ✏✁
❇vx ❇u
❇
ωz ✏
❇x ✁ ❇y ✏ 0
u

2
2
ñ ❇❇xψ2   ❇❇yψ2 ✏ 0

https://fb.com/tailieudientucntt
12 / 25


Dòng thế
chồng nhập

Như vậy, cho dòng thế 2D:
có thể dùng φ hoặc ψ để miêu tả
φ1 : thế vận tốc cho dòng thế 1
φ2 : thế vận tốc cho dòng thế 2

ÝV

★
i

i

u
v

✏ ➦ni ui
✏ ➦ni vi

https://fb.com/tailieudientucntt
13 / 25


Như vậy, đã có u và v khi biết φ hoặc ψ,
Làm sao để tìm p?
ñ Dùng Pt Bernoulli cho dòng thế và ổn định::
❇V   ✁V ☎ ∇✠ V ✏ ✁ 1 ∇p,
Từ PT Euler cho dòng lý tưởng:
❇t
ρ
✠
✁
1
1
với V ☎ ∇ V ✏ ∇♣V ☎ V q ✁ V ✂ ♣∇ ✂ V q ✏ ∇♣V ☎ V q cho dòng thế.
2


Qua hệ giữa φ và ψ?

ng.com

✏ const. là đường dòng (cho dòng ổn định).
Đường với φ ✏ const. là các đường Đẳng Thế.
Đường với φ= const. ❑ với các đường ψ=const.
Đường với ψ

ψ + dψ

C

dq

ψ2

ψ

q
u dy

Equipotential line
( φ = constant)

A

y


✏ udy ✁ vdx ✏ ❇❇ψy dy   ❇❇ψx dx ✏ dψ
q

https://fb.com/tailieudientucntt

✏

➺ ψ2

dψ
ψ1

✏ ψ2 ✁ ψ1
15 / 25


ng.com

Do đó,
Nơi nào đường dòng dày hơn
vận tốc lớn hơn

ñ

const. ✏ ∆ψ ✏ q ✏
vận tốc ✂ khoảng cách

vận tốc tăng, khoảng cách giảm

https://fb.com/tailieudientucntt


=

φ = φ2

x

và
ψ

✏ Uy

ng.com

4

φ = φ2
φ = φ1

x

(a)

❇φ ✏ U ❇φ ✏ 0
❇x
❇y
vậy, φ ✏ Ux   C or
φ ✏ Ux

3

ψ = constant

φ = constant

vr

r
θ

x

q
♣2πr qur ✏ q, hoặc, ur ✏ 2πr
và, uθ ✏ 0 vậy,
❇φ ✏ q 1 ❇φ ✏ 0
❇r 2πr r θy
rồi

→ 0 cho điểm nguồn
q ➔ 0 cho điểm giếng

φ✏

và,

q

ψ

q

➽

Ñ
Ý ✏ ➺ 2π u rdθ

V ☎ ds

0

C

✏ 2πr uθ ,

φ = constant

Xoáy tự do:

✏0
uθ ✘ 0
K
uθ Ó khi r Ò, ví dụ, uθ ✏
r
ur

θ

or

Γ
ñ uθ ✏ 2πr

và
r
q0 sin θ
ψ✏✁
r
https://fb.com/tailieudientucntt
20 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + nguồn= dòng qua ’nửa vật rắn’

y

U

ψ = π bU
Stagnation point

Stagnation
point

r

πb

θ

x


b

✏U
✏U

q
✏ 2πU
21 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + nguồn + giếng= dòng qua ’vật rắn’

y

Stagnation
point

U
r2
θ2

θ

r

θ1

+m



✏ ψuniform flow   ψsource @ ♣✁a,0q   ψsink @ ♣a,0q

@ điểm dừng bên trái ur ⑤source
@

ng.com

✏ U   ur ⑤sink
điểm dừng bên phải ur ⑤sink ✏ U   ur ⑤source
ψ ✏ 0 trên bề mặt vật thể (tìm được bằng phương pháp trial-error)
https://fb.com/tailieudientucntt
22 / 25


Một số dòng thế cơ bản và chồng nhập
dòng đều + lưỡng cực= dòng qua trụ tròn tĩnh

ng.com

U

2U

Ψ=0

r

θ


ở điểm dừng:
uθ

Γ
✏ 0 Ñ sin θ ✏ 4πUa

xem xét 4 trường hợp của

Γ
4πUa

như trên hình!

https://fb.com/tailieudientucntt
24 / 25


Lực tác dụng lên bề mặt trụ tròn

ng.com

y

trụ tĩnh
ps
dθ

Fx

Fy

CT Kutta-Joukowski, hiện
tượng Magnus
Bàn luận: tại sao F❑dòng

✘ 0?

https://fb.com/tailieudientucntt
25 / 25