PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
-Nếu
c
0
a

2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm
phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có
nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <

-Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P
≥
thì u, v là
hai nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
-Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
=-1; x
2
=

>

-(1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
(1) vô nghiệm khi
∆
< 0
(1) có hai nghiệm đối nhau khi



<
=
0
0
P
S
Với P = x
1

+ B
2
= (A + B)
2
– 2AB
2/ A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB(A + B)
3/ A
3
- B
3
= (A – B)
3
+ 3AB(A – B)
4/
AB
BA
BA
+
=+
11
5/ (A – B )
2
= (A + B)
2

1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2

với a
1
≠ 0; a
2
≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a
1
= a
2
và b
1
≠ b
2
.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a
1
= a
2
và b
1
= b
2

) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
2
.
4.Vị trí của đường thẳng và parabol
*Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax
2
:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am
2
).
*Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax
2
:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x =
m
a
±
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
-Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) và parabol y = ax
2
:
+) Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình
hoành độ ax
2
= mx + n. (1)
* Đường thẳng và parabol cắt nhau khi

B2: Phân tích mẫu thức về dạng tích, qui đồng mẫu thức hai vế
rồi khử mẫu
B3: giải pt vừa nhận được
B4: trong các giá trị vừa tìm được của ẩn, loại các giá trị
không thỏa mãn điều kiện, các giá trị thỏa mãn là nghiệm của
pt đã cho.
7. PT ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH :



=
=
⇔=
0B
0A
0 A.B

.

C.MT S BI TP C BN
1.Cho (P): y = ax
2
a) Xỏc nh a th hm s i qua A(1; 1). Hm s
ny ng bin, nghch bin khi no.
b) Gi (d) l ng thng i qua A v ct trc Ox ti
im M cú honh m ( m 1). Vit phng trỡnh (d) v tỡm
m (d) v (P) ch cú mt im chung.
2.Trong mt phng ta Oxy cho im A (-2; 2) v ng
thng (d
1

1 v 2. Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi AB
v tip xỳc vi (P).
III.PHNG TRèNH BC HAI MT N
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh
2 2 2 2
a) 3x 12x 0 b) 5x 10x 0 c) 3x 12 0 d) 3x 1 0
+ = = = =
2 2 2
e) x 5x 4 0 f ) 3x 7x 3 0 g) 5x 31x 26 0+ + = + = + + =
2 2 2
h) x 15x 16 0 i) 19x 23x 4 0 k) 2x 5 3x 11 0 = + = + + =
( ) ( )
2 2 2
2
1 1 27
n) 3x x 14 2 p) x x 1 x x 12 12 q) x x
x x 4
+ = + + + + = + + + =
2 2 2 3 2
y 3 1 9x 12 1 1
l) m)
y 9 6y 2y y 3y x 64 x 4x 16 x 4
+
+ = =
+ + +
n)
2
2
2x x x 8

2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
x x 1 1
a) x x x x b) c) x 2x 2x x d) x x
x x x x

+ + + + + +
ữ ữ

Bi 3. Gi s x
1
, x
2
l hai nghim ca phng trỡnh
2x
2
7x 3 = 0. Hóy lp phng trỡnh cú nghim l:
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 x x
a) 3x ; 3x b) ; c) x x ; x x d) ; e) ; f ) x 2x ; 2x x
x x x x x x
+ +
Bi 4. Cho phng trỡnh x
2

+2 = 0
a. Vi giỏ tr no ca m thỡ pt cú 2 nghim phõn bit ?
b. Tớnh E = x
1
2
+ x
2
2
theo m
c. Tỡm m pt cú 2 nghim thoó món : x
1
x
2
= 4
Bi 6 Cho phơng trình x
2
-2( m+2 )x + 2m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = - 1
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
,x
2
không phụ

- 4x +9 =0 là:
A.-3 B.3 C,-
3
4
D.
3
4
4/ Hai số có tổng là 15 và tích là -107 là nghiệm PTBH :
A.x
2
+ 15x – 107=0 B.x
2
- 15x – 107=0
C.x
2
+ 15x +107=0 D.x
2
- 15x + 107=0
5/ Biệt thức
∆
của PTBH : 5x
2
+13x - 7 = 0 là :
A.29 B.309 C.204 D.134
6/ PTBH : -3+2x+5x
2
= 0 có tích hai nghiệm là :
A.
3
2

hòanh độ là :
A.- 2 B.2 C.2 hoặc -2 D.4 hoặc – 4
10/ Biệt thức
∆
của PTBH : 2x
2
- (k-1)x+ k = 0 là:
A. k
2
+6k-23 B.k
2
+6k-25 C.(k-5)
2
D..(k+5)
2
11/ Một nghiệm của PTBH: 2x
2
- (k-1)x+ k = 0 là:
A.
2
1
−
k
B.
2
1 k
−
C.
2
3

D.
5
-
2
14/ Phương trình có x
2

+3x – 5 = 0.Biểu thức(x
1
-x
2
)
2
có giá trị
là: A,29 B,19 C.4 D.16
15/ Cho hàm số y= -
2
2
x
. Kết luận nào sau đây là đúng :
A.Hàm số luôn luôn đồng biến
B,Hàm số luôn luôn nghịch biến
C. Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x >0
D. Hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x <0
16/ PTBH ẩn x : x
2
-(2m - 1)x + 2m = 0 có hệ số b bằng :
A,2(m - 1) B.1 – 2m C.2 - 4m D.2m – 1
17/ Điểm P(- 1: - 3) thuộc đồ thị hàm số y = mx
2

2
và y = - 2x + 1
C.y = 3x
2
và y = - 2x - 1 D.y = - 3x
2
và y = 2x - 1
20/ Nếu PT : ax
2
+bx+c=0(a
≠
0) có một nghiệm là 1 thì tổng nào
sau đây là đúng : A.a+b+c = 0 B.a-b+c = 0
C,a – b - c = 0 D.a+b - c = 0
21/ Chọn câu trả lời đúng
Trong các hàm số sau chỉ ra các hàm số đồng biến khi x < 0
1) y = 2x
2
2) y = - 2x
2
3) y =
2
4
1
x
−
A. 1); 2) B. 1); 3) C. 1); 2); 3) D.2); 3)
22/ Chọn câu trả lời đúng. Tìm a, biếtđồ thị hàm số y = ax
2
đi

– 9x + m
2
= 0
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 1
A. m = 4 B. M = - 4 C. m = ±
14
D. m = ± 2