BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài tập Nâng cao Chương 1
Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên
(a) (b)
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các
tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của
góc C.
b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn: sin24
0
; cos35
0
; sin54
0
; cos70
0
; sin78
0
.
c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn:
cotg25
0
; tg32
0
; cotg18
0
; tg44
0

1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm,
µ
$
0 0
D 40 , F 58= =
. Kẻ đường cao EI của tam giác
đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng
µ
0
A 90=
, AB = 5, BC = 7.
3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là
13 : 21.
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy
điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân
giác của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vò độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
Page 1
5
4
z

= AB.DC
Bài 9: Cho ABC có
µ
0
A 60=
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 10: Cho ABC có
µ
A
là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=
1
2
AB.AC.sinA. p dụng: a) Tính
(ABC)
S
biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và
µ
0
A 60=
b) Biết
(ABC)
S
=
5 2
(cm
2
), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của
µ

A D 90= =
), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O.
Tính
·
sin AOD
.
Bài 13: Cho ABC (
µ
A
< 90
0
). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm
C’. Chứng minh:
(ABC)
(AB'C ')
S
AB.AC
S AB'.AC '
=
.
Bài 14: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc
µ
µ µ
A , B, C
theo thứ
tự là a, b, c. Chứng minh:
a b c
sin A sin B sin C
= =
.

B
và S
(ABC)
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo
AC = 14 cm,
Page 2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
·
sin AOD 0,6=
. Tính
·
tgADB
và độ dài các cạnh hình chữ nhật.
Bài 19: Cho tam vuông ABC (
µ
A
= 90
0
), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết
·
sin AMB 0,8=
Tính tgB và S
(ABC)
.
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD (
·
0
ACD 90<
).
a) Chứng minh :

·
2
sin KBC
3
=
, tính sinA.
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC (
µ
B
= 90
0
). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥
BM, CK ⊥ BM.
a) Chứng minh :
·
CK BH.tgBAC=
.
b) Chứng minh :
·
2
MC BH.tg BAC
MA BK
=
.
Bài 23: Cho ABC có
µ
A
= 60
0
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.

a) Chứng minh CKH ~ BCA.
b) Chứng minh
·
HK AC.sin BAD=
.
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết
·
0
BAD 60=
, AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Page 3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 27: Cho ABC (
µ
A
= 90
0
). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF
và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính
·
sin AOB
.
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB
và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
a) Chứng minh CM ⊥ DN.
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc
·

= 90
0
). Kẻ đường thẳng song song với cạnh
BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm,
trung điểm của MN và BC là E
và F .
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của
EFG.
c) Chứng minh EFG ~ ABC.
Bài 32: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên
AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao
cho
AM OP ON 2
AB OB OC 5
= = =
. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN.
Page 4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài tập Nâng cao Chương 2
1. Đònh nghóa và sự xác đònh đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho
MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước.
a) Tìm tập hợp điểm N.
b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON.
c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của
MON.
Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố đònh AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của

) không kể hai điểm A và D đều nằm
trong (O).
c) CMR mọi điểm nằm trên (O
2
) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O
1
)
và (O
3
)
Bài 5: Cho hai điểm A và B cố đònh. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối
xứng của B qua d.
a) Tìm q tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A.
b) Xác đònh vò trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất.
Bài 6 : Cho hình thang cân ABCD (AD // BC);
1
BC CD AD a
2
= = =
.
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác đònh tâm O và
bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ⊥ OB.
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.
Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ
đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E,
cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
Page 5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9

mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của
miệng tháp ấy.
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai
đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây
bằng nhau.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo.
Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I,
A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C.
Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường
phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D
và F. Chứng minh ADEF là hình thoi.
Bài 7: Cho góc
·
0
xOy 60=
. Lấy điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot của góc xOy làm
tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau
qua Ot). Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy.
a) Chứng minh DA = EB.
Page 6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác
đều. Xác đònh vò trí của T một cách nhanh nhất.
c) Tìm q tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn
cắt Ox, Oy).
d) Tìm q tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c).
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng
HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán
kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm
thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:

bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm.
Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ
dài bằng a và tạo với nhau một góc
α
.
a) Tính bán kính R theo a và
α
.
b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột
hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước.
Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao
cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM.
Page 7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và
·
AOB
α
=
, một đường tròn (O ;
R) với R < OA. Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến
AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH.
Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng minh rằng độ lớn góc
AIB không phụ thuộc vào R.
Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường
cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số
3
12

Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB.
Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại
C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E.
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H.
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By
với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp
tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là
giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB
2
.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
Page 8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax
chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường
tròn đã cho.
a) Chứng minh:
·
·
BOC DAE=
.
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
·

xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A.
• R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm.
• R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm.
• R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm.
Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O
1
; r
1
) tiếp xúc trong với (O ;
R) và một đường tròn (O
2
; r
2
) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với
(O
1
; r
1
).
a) Tính chu vi tam giác OO
1
O
2
theo R.
b) Dựng hai đường tròn (O
1
; r
1
) và (O
2

nhau tại A. Đường thẳng d
1
qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d
2
vuông góc với d
1
tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’.
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố đònh.
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm q tích điểm I khi d
1
và
d
2
thay đổi vò trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau).
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay
xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.
a) Chứng minh OB // O’C.
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.
c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M. Tìm q tích điểm M khi các dây AB, AC
thay đổi vò trí nhưng vẫn vuông góc với nhau.
Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC có bán kính lần lượt
là R và r. Tính diện tích ABC biết rằng
µ
µ
$
µ
A C B A− = −
.
Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán

c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA =
QB.
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tun xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i
mét ®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng.
c) Cho hai ®êng th¼ng song song d
1
, d
2
c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét
®iĨm M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d
1
, d
2
vµ c¸ch d
1
mét kho¶ng b»ng 1 cm.
H·y dùng mét ®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d
1
, d
2
.
Bµi 5: Cho 2 ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®êng th¼ng a c¾t
(O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC //
B’C’.
Bài tập Nâng cao Chương 3
(Góc với đường tròn)
§1. Góc ở tâm - Số đo của cung - Liên hệ giữa cung và dây
Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có 5 điểm A, B, C, D, E trong đó AB là đường kính;