tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
Tham khảo một số đề luyện
đề 6
Câu 1. Trong 3 số x, y, z có 1 số dơng, một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết:
3 2
x y y z=
Câu 2. Tìm các cặp số (x; y) biết:
x y 1+3y 1+5y 1+7y
a, ; xy =84 b,
3 7 12 5x 4x
= = =
Câu 3. Tính tổng:
n 1
3 1
S 1 2 5 14 ... (n , n > 0)
2

+
= + + + + + Â
Câu 4. Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó dựng hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB;
AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và
ABC EMA =
c. Chứng minh: MA

BC

Câu 3: Tính nhanh:
1 1 1 761 4 5
3 4
417 762 139 762 417.762 139
ì ì +

ã
à
ã ã
âu 4. ó 2 . ẻ AH BC. ên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH.
Kẻ đường thẳng EH cắt AC ở D.
a. Chứng minh ABC 2 .
. ứng minh DHC cân.
c. ứng minh DHA cân.
C Cho ABC c ABC C K Tr
BHE
b Ch
Ch
=
=


V
Câu 5. Cho 3 số tự nhiên:
{
{
2 / 4 / 8
( 1) / 2
44...4 ; 22....2 ; 88....8
n c s n c s

b. Với giá trị nào của x thì A > 0?
c. Tính giá trị của A sao cho :
a b a c
x 13
+ +
=
và
( )
( ) ( )
2
a c
169
2a b c b c 27
+

=
+ +
Câu 3. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax; By & Mz sao cho:
Ax

AB; Ay

AC; Mz

BC ( M là trung điểm của BC). Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O
1
sao cho AD = AB; AE = AC; MO
1
=MB. Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC tại H và cắt DE ở K. Gọi O
2

a) Xác định a, b ?
b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên: M ( 0;
3
2
) ; N ( 2; -1) ; P
3 2
2 ;
2


ữ

c) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số trên và đồ thị hàm số
2
1 1
2 2
y x x= +
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA.
a) Chứng minh rằng giao điểm I các phân giác của tam giác ABC là giao điểm các đờng trung trực của tam giác DEF
b) Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác ABC. Tính DE theo m
c) Tính số đo góc DIE?
đề 9
Câu 1. a. Tìm các số nguyên x biết
( )
( )
2
x 3 x 4 4 +
b.Tìm x, y, z biết:
2
1 2

ì +
ữ

Câu 4. Cho các số a
1
, a
2
, ...,a
n
mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1. Biết rằng:
1 2 2 3 n 1
a a a a a a 0+ + ììì+ =
Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không?
Câu 5. Cho tam giác ABC có Â = 90
0
. Vẽ phân giác BD và CE ( D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O.
a. Tính số đo góc BOC?
b. Trên BC lấy M, N sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh: EN // DM
c. Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh: tam giác AIM vuông cân.
Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB < MC. Lấy điểm O trên đoạn AM
( O

/
A, O

/
M). Chứng minh rằng
ã
ã
AOB AOC>

b) Gi I l giao im ca BE v CD, AI ct BC M. Chng minh rng cỏc tam giỏc MAB, MAC l cỏc tam
giỏc cõn.
c) T A v D v cỏc ng thng vuụng gúc vi BE, cỏc ng ny ct BC ln lt K v H. Chng minh
rng : KH = KC.
Câu 5. Cho DABC cú AB > AC v A = . ng thng i qua A vuụng gúc vi phõn giỏc gúc A ct ng thng
BC ti M sao cho BM = BA + AC. Tớnh s o B v C ?
Câu 6. Chứng minh rằng: a)
1 1 4
x y x y
+
+
. Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi nào?
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
b)
( )
1 3 5 2 1 1
. . ..... ; 0
2 4 6 2
3 1
n
n n
n
n

>
+
Â
đề 11
Câu1. Cho các đa thức : f(x) = 2x

5
16
x +
Câu 2. a) Tỡm 3 s a, b, c bit : 3a = 2b ; 5b = 7c v 3a + 5c - 7b = 60.
b) Tỡm x bit : |2x - 3| - x = |2 - x|.
Câu3. Tỡm giỏ tr nguyờn ca m, n biu thc :
a)
2
6
P
m
=

cú giỏ tr ln nht. b)
8
3
n
Q
n

=

cú giỏ tr nguyờn nh nht.
Câu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB < AC, AB = c, AC = b. Qua M l trung im ca BC ngi ta k ng vuụng gúc
vi ng phõn giỏc trong ca
à
A
ng thng ny ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti D v E.
a) Chng minh : BD = CE.
b) Tớnh AD v BD theo b, c.

Câu 2. Tỡm x tha món : 1) 2003 - |x - 2003| = x. 2) |2x - 3| + |2x + 4| = 7.
Câu 3. V th hm s sau : y = |1 - |1 - x||.
Câu 4. Tỡm cỏc cp s nguyờn (x ; y), sao cho 2x - 5y + 5xy = 14.
Câu 5. Cho
V
ABC cú cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc B v C ct nhau I, cỏc ng phõn giỏc ngoi ca cỏc gúc B v C
ct nhau K. Gi E l giao im ca cỏc ng thng BI v KC.
1) Tớnh cỏc BIC, BEC , BKC khi gúc A = 60
o
.
2) Tớnh cỏc BIC, BEC, BKC khi A = a
o
( 0
o
< a
o
< 180
o
).
Câu 6. Chứng minh rằng: n
3
+ 3n
2
n 3 chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên lẻ.
một số vấn đề bổ sung
I. ĐạI Số
1. Tính giá trị của biểu thức : 22, 23, 128, 138, 139/ BTT7 T
1
; 10, 155 / NCPT T
1

11 12 3 3 7 13 6
A B
+ + +
+
= + = ì +
+ + +
Bài 3 Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x + 2xy y với
x
= 2,5 và y =
3
4

;
b) B = 3a 3ab b và C =
5 3
3
a
b

với
1
; 0,25
3
a b= =
Bài 4. Tính
a) A =
1 1 1 1 1 0 3
(2 3 ):(2 3 ) (2 .2 ):2

+ += + ì ì

ữ
d)
6 5 9
2 2
4 12 11 2
4 .9 6 .120 1 1
3 . .81 .
8 .3 6 243 3
D
+
= +

e)
( )
5 3
1 1
1 1 1
4.2 : 2 .

a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
1) 2) 3) 4) ( ) 5) 6)
n n n n
n n n n
a b c d a b c d a b a b a b a b a b c d a c
n
b d b d c d c d c d c d a c a b c d
+ + + + + +
= = = = = =
+ + + +
Ơ

Bài 2 . Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
2 2 2 2
2 2 2 2
a
( ới k )ta có thể suy ra được:
b
k k k k
k k k k
a b a b c
v
c d c d d
+
= =
+
Ơ

= = = = =
ữ
+ + + +

B i 5. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
a b b c a b
ta suy ra
a b b c b c

= =
+ +
.
B i 6. Chứng minh rằng nếu
2 2
2 2 2 2
5a +3b 5 3 7 3 7 3
ì a) )
5a 3b 5 3 11 8 11 8
a c c d a ab c cd
th b
b d c d a b c d
+ + +
= = =

B i 7. Cho 4 số khác không thoả mãn điều kiện:
2
2
a
= a
1

2c b d

= +
ữ

. Chứng minh rằng 4
số đó lập nên 1 tỉ lệ thức.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu:
a b
b c
=
thì
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
với b, c

0
Bài 11. Biết
( ới a, b, c 0). Chứng minh rằng
bz cy cx az ay bx x y z
v
a b c a b c

= = = =
.

+ +
=
+ +
Bài13. Tìm x, y biết:
a)
7 3
x y
=
và 1) x + y = 110
2) x y = 50
b)
4 4
& . 16
2 4
x y
x y= =
c)
2 2 2 2
10 10
& . 1024
3 5
y x x y
x y
+
= =
d)
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x

) & 12
1 2 2
b xyz
x y z
= = =
+ +
) & 90
2 3 5
x y z
c x y z= = + + =
d) 2x = 3y = 5z & x y + z = -33 e) x:y:z = 3:5: (- 2)
& 5x- y+3z = 124
f) 2x = 3y; 5y =7z & 3x 7y+5z =
-30
g) 2x = y; 3y = 2z & 4x-3y+ 2z = 36 h) x:y:z = 3:4:5
&2x
2
+2y
2
3z
2
= -100
Bài 15. Tìm các số a
1
, a
2
, a
3
, , a
9

.
Mỗi lần tìm đợc một giá trị của x ta đợc 1 đáp số
Ví dụ . 2 1 5x =


2 1 5 3
2 1 5 2
x x
x x
= =



= =Dạng 2.
( ) ( )
f x g x=
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 & ặc g x f x g x ho f x g x = =
Ví dụ
3 1 2 3 4x x + = +


3 1 3 2x x = +


2

+









= + =



=



+



=








= + = =


Dạng 4.
( ) ( )
0f x g x+ =
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện:
( ) ( )
0 & 0f x g x= =
Ví dụ Tìm x biết rằng:
( ) ( )
2
3 1 3 0x x x x + + =
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
: ó 3 0; 1 3 0
0 0
3 0 3
3 0
3 0
ên 3 1 3 0 3
1 3 0




= =4. Bất dẳng thức xem phần chuyên đề Bất đẳng thức / NCPTT
1
5. Hàm số 94 -105/ NCPTT
1
6. Đa thức 182- 189; 207-211/NCPTT
1
7. Phần nguyên, phần lẻ của 1 số hữu tỉ:
Cho x
Ô
, phần nguyên của 1 số x kí hiệu là
[ ]
x
là số nguyên lớn nhất không vợt quá x:
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
Ví dụ:
[ ] [ ]

[ ]
x
biết: 1, x 1 < 5 < x 2, x < 17 < x + 1 3, x < -10 < x + 0,2
d) Tìm
{ }
X
biết: x =
3
2
; x = -3,75; x = 0,45
Bài 2. Chứng minh rằng:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
) 1 , ếu x không là số nguyên. )a x x n b x y x y = + +
Hớng dẫn: a) Ta có :
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
vì x không nguyên nên:
[ ]
x
<
x <
[ ]
1x +

[ ]
( )

y



[ ]
x y+
8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Xem chuyên đề trong sách NCPTT
1
Bài 140, 141/ 23 ( BTT7 tập 1)
9. Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn Xem chuyên đề trong sách NCPTT
1
II. HìNH HọC
1. Chứng minh tam giác bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau:
46, 47, 48, 62, 63, 64, 65, 66/ BTT7 T
1
; 24-39 / NCPTT
1

2. Các đ ờng đồng qui trong tam giác Xem các ví dụ và bài tập trong sách NCPTT
2
3. Tính số đo góc

Xem phần Chuyên đề trong sách NCPTT
2
.
4. Đ ờng trung bình 149 - 158 / NCPTT
2
.
5. Định lí Py ta go
1. Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 15cm. Tính độ dài các cạnh

Bi toỏn 2 :
Cho ABC cú gúc B = 90
o
; ng cao BH. Gi M l trung im ca BH v K l im i xng vi C qua B.
Chng minh : KH vuụng gúc vi AM.
Li gii :
Gi N l trung im ca HC, theo chng minh trờn, ta cú pcm.
* Hon ton l bi toỏn 2 nhng vi cỏch phỏt biu khỏc i, ta cú bi toỏn 3.
Bi toỏn 3 :
Cho ABC cõn ti A, ng cao AH. H HI vuụng gúc vi AC, M l trung im ca HI. Chng minh rng BI
vuụng gúc vi AM.
* Tip tc phỏt trin theo hng trờn : to ra ng thng song song vi AM, ng thng ú ct vuụng gúc
vi BN.
Bi toỏn 4 :
Cho hỡnh ch nht ABCD. Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC, I v N ln lt l trung im ca AD v HC.
Chng minh rng BN vuụng gúc vi IN.
Li gii :
trờng THCS hải hậu
tham kh¶o «n tËp hÌ 2008 GV biªn so¹n: Lu tuÊn nghÜa
Gọi M là trung điểm của BH (hình 3).
Ta có AM vuông góc với BN (bài toán 1). Ta còn phải chứng minh AM // IN, thật vậy :
Do MN là đường trung bình của ΔHBC nên MN // = 1/2BC , mặt khác, ABCD là hình chữ nhật và I là trung
điểm của AD nên IA // = 1/2 BC . Do đó IA // = MN => MNIA là hình bình hành => AM // IN, bài toán được
chứng minh xong.
* Bài toán 4 còn nhiều cách giải khác. Kết hợp bài toán 3 và bài toán 4 ta có bài toán mới khó hơn chút xíu.
Bài toán 5 :
Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK ; HI vuông góc với AC. M và N lần lượt là
trung điểm của IC và AK. Chứng minh rằng MN vuông góc với BI.
Lời giải :
Gọi J là trung điểm của HI (hình 4). áp bài toán 3 ta có BI vuông góc với AJ ; mặt khác, theo chứng minh của