Chơng I: Định thức
Nội dung: Trình bày định nghĩa các tính chất của định thức và các ph-
ơng pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phơng tiện để nghiên cứu không
gian vectơ và lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính.
Yêu cầu chính của chơng này là:
* Hiểu rõ và nắm vững các tính chất của định thức;
* Nắm vững các phơng pháp tính định thức để có tính thành thạo những
định thức cần thiết.
Cụ thể:
- Ta đã dùng phép thế để mô tả khái niệm định thức.
- Định thức có 7 tính chất
- Các phơng pháp cơ bản
+ Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột
+ Phơng pháp Sarus
+ Phơng pháp đa về dạng tam giác
+ Phơng pháp quy nạp và phơng pháp truy hồi
ứng dụng: giải hệ phơng trình Gramer
Tìm ma trận nghịch đảo
Ta sẽ thấy khi khái niệm định thức cấp n (n là một số nguyên dơng tuỳ
ý) đợc xây dựng, thì nó có một vai trò rất to lớn. Nó góp phần đa vấn đề giải
hệ phơng trình bậc nhất trở thành một lý thuyết.
Chơng II: Ma trận
Nội dung: Nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không
gian vectơ. Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tính đợc nghiên cứu sâu sắc hơn.
Cụ thể:
- Các phép toán trên các ma trận
- Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông
- Giá trị riêng, vectơ riêng
- Chéo hoá một ma trận
Ta đã biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phơng
trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục hiểu ma trận sâu hơn nữa: đặc biệt nghiên

X
n
đợc gọi
là một phép thế trên tập X
n
.
Nói riêng song ánh đồng nhất đợc gọi là phép thế đồng nhất.
b. Chuyển trí:
Một phép thế //////////// trên tập X
n
đợc gọi là một chuyển trí hai phần tử
i, j thuộc X
n
nếu I (i) = j và I (K) = k , k X
n
, k i, k j. Đợc ký hiệu bởi
(i, j).
VD
X
n
=
}{
n
X3,2,1

( ) ( ) ( ) ( )





7,6,5








=
765
765

1








=
675
765

2





=
657
765

5








=
576
765

6
1.2. Nghịch thế
a. Định nghĩa: giả sử là một phép biến trên tập X
n
. với i, j X
n
, i j
ta nói cặp (
(i)
;
(j)
) là 1 nghịch tế của nếu i < j nhng

(i)

ji
ji;
)(Sgn


=






2.
).Sgn(u)Sgn(u),(Sgn
=
3. Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ
II. Khái niệm ma trận, định nghĩa tính chất của định thức
1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa 1: Một bảng gồm m.n số đợc viết thành m dòng n cột nh sau










VD:










=
90417
84525
83717
A
là ma trận cấp 3; m = n = 3

















nnnjn2n1
njij2j1j
n2i22212
n1i12111
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
là ma trận chuyển vị của ma trận
A: KH A
t
VD:








=
1243
6521
A
; A




=
nnnjn2n1
2n2j2221
1nij1211
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
A
ta thấy tổng
(2)2
Sn
(1)1
a)aSng(D


=
Tổng đợc gọi là định thức của ma trận A






















+














=
nn'nj'n2n1
2n'2j'2221

−
+
−
=
−+
++
=
3.2. TÝnh chÊt 2
NÕu ∀ thµnh phÇn thø i, cã thõa sè chung lµ C th× ta cã












=












=












=
10987
5432
7654
4321
2
10987
10864
7654
4321
D
3.3. TÝnh chÊt 3: Trong ®Þnh thøc nÕu ®æi chç 2 dßng cho nhau th× ®æi
dÊu.
VD

t
=
tức là 2 mà trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.
III. Khai triển định thức
1. Định thức con - Phần bù đại số
a. Định nghĩa: Cho định thức D cấp N
+ Nếu chọn dòng i
1
, ...., i
r
và r cột j
1
, ....j
r
(r<n) thì các thành phần nằm
ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành 1 định thức con cấp r của D.
+ Nếu xoá đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành 1
định thức kí hiệu bởi
r1
r1
...jj
....ii
~
M
và gọi là định thức con bù của định thức
r1
r1
...jj
....ii
M

65
42
M
11
~
=
là định thức con bù của 1
8M.)1(
11
~
11
11
==
+
A
là phần bù đại số của 1
2. Khai triển định thức theo dòng
Định ý: cho định thức A cấp n có các thành phần là a
ij
. Với mỗi i
}{
n.....2,1
ta đều có

=
=+++=
n
1j
ijijinini2i2i1i1
Aa.Aa......Aa.AaA

... M
s
là tất cả các định thức on cấp r của D chọn trong r dòng này và
A
1
, A
2
là những phần bù đại số tơng ứng thì.

=
=
s
1j
jj
AMD
VD: XÐt ®Þnh thøc:
5670
0302
2413
1201
A
=
Chän dßng thø nhÊt vµ dßng thø 3 ta cã 6 ®Þnh thøc cÊp 2
03
12
M;
00
10
M
30

1
M
1
+ A
2
M
2
+ ...+A
6
M
6
Mà ta có M
2
, M
3
, M
6
0 nên ta chỉ tính 3 phần bù đại số của chúng
- M
2
đợc tạo thành từ dòng 1,3 các cột 1, 3 nên
9
57
21
1)(A
3131
2
==
+++
- M

17020
2-354
8053
2-111
2. Tính định thức dùng định lý Paplace.
a.
1100
1230
0-213
0021
b.
310916
10-5-131
012156
00032-
00048
Ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc
1. TÝnh ®Þnh thøc cÊp 3
Quy t¾c Sarus
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
D
−−+++==
§îc tÝnh theo s¬ ®å sau:

=++=

2. áp dụng phép triển khai định thức dòng hoặc cột
Để phép tính đợc đơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có
nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số đơn giản.
Ví dụ:
VD1: Tính định thức
9204
10001
3607
0523


=
D
Giải: Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần bằng 0. Khai triển định
thức theo cột này ta không cần tính phần bù đại số của những thành phần
bằng 0. Vậy :
D = (-1)
1+2
(-2). A
Trong đó:
924
1001
367
A

=
D = 2 [6.10. (-4) + 3.1.2 - 6.1.9 - 7.10.2] = -856
VD2. Tính

+
Giữ nguyên cột thứ hai, cộng cột thứ 2 vào cột thứ nhất, nhân cột thứ
hai với 6 rồi cộng vào cột thứ 3, ta đợc.
935248)61(5
618
311
51)(
6128
3161
050
D
21
−=+−−=
−−
−=−−=
+
VD3.

3
613
353
4107
1
1052
1013
4107
1
1052
613
353

= 0 nếu i <j)
Định thức dạng tam giác trên là định thức dạng
nn
inii
2n2i22
1n1i1211
......a....0..............00
...............................................
........a.......a0.......0
................................................
.........aa..........a0
.........aa..........aa
D
=
(a
ij
= 0 nếu i > j)
Khi đó nhờ phép khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột ta có
D = a
11
a
22
......a
nn
Ví dụ:
VD 1:
42)3.(2.7
264
031
007

D
=
Trong cột 1 giữ nguyên số 1 và triệt tiêu các thành phần khác thuận lợi.
Nhân dòng 1 lần lợt với -1 và 2 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ 3 và thứ 4 ta đ-
ợc:
9780
-31-10
6-100
4231
D
=
Đổi chỗ dòng 2 và dòng 3 cho nhau
9780
6100
3--110
4231
D

=
Nhân dòng 2 với 8 rồi cộng và dòng 4
151500
6100
3110
4230
D



=
Có thể tiếp tục nhân dòng 3 với 15 rồi cộng vào dòng 4, song có thể áp