Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
Phần I: T VN
Mụn Toỏn l mụn hc cú tớnh thc t rt cao, nú nh hng ln n i sng
con ngi. Cỏc cụng trỡnh nghiờn cu khoa hc u cho rng: Tt c cỏc mụn
khoa hc khỏc u cú liờn quan mt thit vi Toỏn hc. S phỏt trin mnh m
ca tt c cỏc ngnh khoa hc c bn cng nh cỏc ng dng ca nú vo cỏc
ngnh cụng nghip then cht u khụng th thiu Toỏn hc. c bit trong thi
i ngy nay vi s bựng n ca cụng ngh thụng tin phỏt trin nh v bo ó
vn dng cỏc ng dng ca Toỏn hc a li hiu qu to ln trong cỏc lnh vc
ca i sng xó hi. Chớnh vỡ nhng lớ do ú m ngnh giỏo dc t ra mc tiờu
cho mụn Toỏn trong nh trng THCS l:
* V kin thc:
- Cung cp cho hc sinh nhng kin thc v s (t s t nhiờn n s
thc), v cỏc biu thc i s, v phng trỡnh bc nht, bc hai, v h phng
trỡnh v h bt phng trỡnh bc nht, v tng quan hm s, v mt vi dng
hm s n gin v th ca chỳng
- Mt s hiu bit ban u v thng kờ
- Nhng kin thc m u v hỡnh hc phng, quan h bng nhau v quan
h ng dng gia hai hỡnh phng, mt s yu t ca lng giỏc, mt s vt th
trong khụng gian
- Nhng hiu bit ban u v mt s phng phỏp Toỏn nh: D oỏn v
chng minh; quy np v suy din; phõn tớch v tng hp. . .
* V k nng: Hỡnh thnh v rốn luyn cỏc k nng tớnh toỏn v s dng bng
s, mỏy tớnh b tỳi; thc hin cỏc phộp bin i cỏc biu thc; gii phng trỡnh
v bt phng trỡnh bc nht mt n, gii phng trỡnh bc nht hai n; gii h
phng trỡnh bc nht hai n; v hỡnh, o c, c lng. Bc u hỡnh thnh
kh nng vn dng kin thc Toỏn vo trong i sng v cỏc mụn hc khỏc.
* V thỏi : Hỡnh thnh cho hc sinh kh nng quan sỏt, d oỏn, phỏt trin
trớ tng tng khụng gian; kh nng suy lun lụgớc; kh nng s dng ngụn
ng chớnh xỏc, bi dng cỏc phm cht ca t duy nh linh hot, c lp v
sỏng to; bc u hỡnh thnh thúi quen t hc, din t chớnh xỏc v sng sa ý

b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về áp dụng phơng
pháp chứng minh quy nạp nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới
nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ
động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết,
chứng minh đẳng thức, BĐT) giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán.
3, Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh và
giáo viên.
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 2 Trờng THCS D-
ơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
Phần ii. Nội dung
Phơng pháp chứng minh quy nạp
I. phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn
toàn:
Ví dụ 1. Quan sát các kết quả sau:
1
3
- 1 chia hết cho 3
2
3
- 2 chia hết cho 3
3
3
- 3 chia hết cho 3

Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 2
9
- 2 = 510 không chia hết cho 9
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:
1, Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a
3
- a chia hết cho 3 với mọi
số nguyên dơng a
2, Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k N) để kết luận rằng a
3
- a chia
hết cho 3 với mọi số nguyên dơng a
3, Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2
n
- 2 chia hết cho n với mọi số
tự nhiên lẻ n
Ba phép suy luận trên đợc gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi từ các trờng
hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 3 Trờng THCS D-
ơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trờng hợp riêng, chẳng
hạn trong phép suy luận 2 ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tự nhiên a
cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2)
Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trờng hợp riêng chứ
cha xét đầy đủ mọi trờng hợp riêng. Chẳng hạn trong phép suy luận 1 ta mới xét a
bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dơng a, trong phép suy luận 3 ta mới
xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n.
Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một tính chất toán
học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Phép quy nạp 1 cho một khẳng

Với n = 2
5
= 32 thì 2
n
+ 1 = 2
32
+ 1 = 4294967297, Fecma không phân tích đợc ra
thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đa ra giả thuyết tổng
quát rằng công thức 2
n
+ 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số nguyên tố.
- Một thế kỉ sau, năm 1732, Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra rằng
2
32
+ 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641
Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại đúng với một số rất lớn các trờng hợp đầu
tiên:
- Nhà toán học Gravơ đa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có: 2
p-1
- 1 không
chia hết cho p
2
. Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000, nhng chẳng
bao lâu sau ngời ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 2
1093
- 1 chia hết cho
1093
2
- Một dự đoán khác: Số 911n
2

pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải ba dạng toán đó là: Chứng minh sự chia
hết, chứng minh đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Hy vọng với một số kinh
nghiệm nhỏ này sẽ góp phần vào phơng pháp dạy học, đặc biệt là công tác bồi dỡng
học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện đợc kỹ năng giải toán và t duy giải toán có
hiệu quả hơn.
III. Vận dụng phơng pháp quy nạp Toán học vào chứng
minh
Dạng 1. Chứng minh quan hệ chia hết:
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia
hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên dơng liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2
Ta phải chứng minh: [n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
]

9 (1)
+ Với n =1, ta có: 1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 1 + 8 + 27 = 36

9

3
+ k
3
+ 9k
2
+27k + 27
= [k
3
+ (k + 1)
3
+ (k + 2)
3
] + 9(k
2
+ 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp: k
3
+ (k + 1)
3
+ (k + 2)
3


9
còn 9(k
3
+ 3k + 3)

9 với


3
= 343 + 512 = 19.45

A
(1)


19
Vậy A
(n)
đúng với n = 1
Giả sử A
(n)
đúng với n = k
Ta có: A
(k)
= 7
k + 2
+ 8
2k + 1


19
Ta chứng minh A
(n)
đúng với n = k + 1
A
(k + 1)
= 7
k + 3

(k)


19 (Theo giả thiết quy nạp)

7. A
(k)


19
19

19

19.3.8
2k + 1

19

A
(k + 1)


19
Theo nguyên lí quy nạp A
(n)


19 Với


225

A
(1)


225
+ Giả sử A
(n)
đúng với n = k
Ta có: A
(k)
= 16
k
- 15k - 1

225
Ta phải chứng minh A
(n)
đúng với n = k + 1
Ta có: A
(k + 1)
= 16
k + 1
- 15(k + 1) - 1
= 16.16
k
- 15k - 16
= (16
k

15(16
k
- 1)

15.15

15(16
k
- 1)

225

A
(k + 1)


225
Theo nguyên lí quy nạp thì A
(n)


225 với

n N
+ Kết luận: Vậy 16
n
- 15 - 1

225 với


= 10.10
k
+ 18 + 17
= (10
k
+ 18k - 1) + 9.10
k
+ 18
= A + 9(10
k
+ 2)
Theo giả thiết quy nạp ta có: A

27
Ta có: 10
k
+2

10 + 2 = 12

9(10
k
+ 2)

12.9 = 4.27

27

9(10
k

- 1 = 10 - 1 = 9

9
Vậy 10
n
- 1

9 với n = 1
+ Giả sử đúng với n = k (k N) tức là 10
k
- 1

9
Ta phải chứng minh A = 10
n
- 1 đúng với n = k + 1, tức là:
A
(k + 1)
= 10
k + 1
- 1 = 10.10
k
- 1 = (10
k
- 1) + 9.10
k
Theo giả thiết quy nạp ta có: A = 10
k
- 1


n
+ 8 = 10 + 8 = 18

9. Vậy B đúng với n = 1
+ Giả sử B đúng với n = k (k N) tức là 10
n
+ 8

9
Ta phải chứng minh B = 10
n
+ 8 chia hết cho 9 đúng với đúng với n = k + 1
Thật vậy: B
(k + 1)
= 10
k + 1
+ 8 = 10.10
k
+ 8 = (10
k
+ 8) + 9.10
k
Theo giả thiết quy nạp: (10
k
+ 8)

9 (k N)
Lại có 9

9

2
+ 6n chia hết 24
Giải:
a) Với n = 1 thì S
1
= (1 + 1).(1 + 2) ... (1 + n) = 2.3 ... (1 + 1)

2
n
Vậy S
n
đúng với n = 1
Giả sử S
n
đúng với n = k, tức là: S
k
= (k + 1).(k + 2) ... (k + k)

2
n
Ta phải chứng minh S
n
đúng với n = k + 1
Tức là S
k + 1
= (k + 2).(k + 3) ... (k +1 + k + 1)
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 7 Trờng THCS D-
ơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
= (k + 2).(k + 3) ... (2k + 2)

2
n
đúng với n = k + 1
+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì S
n

2
n
b) Với n = 1 thì A
(n)
= 3
3n + 2
+ 5.2
3n + 1
= 3
5
+5.2
4
=243 + 80 = 323 chia hết cho 19

A
(n)
đúng với n = 1
+ Giả sử A
(n)


19 đúng với n = k, tức là: A
(k)
= 3

3k + 5
+ 5.2
3k + 4
= 3
3k + 2
.3
3
+ 5.2
3k + 1
.2
3
= 27(3
3k + 2
+ 5.2
3k + 1
) - 19.3
3k + 1
= 27.A
k
- 19.3
3k + 1
Theo giả thiết quy nạp có: A
k

19

27A
k

19

+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n

24.
+ Với n = 1 thì A = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24

24
Vậy A

24 đúng với n = 1
+ Giả sử A

24 đúng với n = k
Tức là: A
(k)
= k
4
+ 6k
3
+ 11k
2

+ 18k
2
+ 18k + 6 + 11k
2
+ 22k + 11 + 6k + 1
A
(k + 1)
= (k
4
+ 6k
3
+ 11k
2
+ 6k) + 24(k
2
+ 1) + 4(k
3
+ 11k)
Dễ thấy: k
4
+ 6k
3
+ 11k
2
+ 6k

24 (Theo giả thiết quy nạp)
Và 24(k
2
+ 1)

= (m
3
+ 11m) + (3m
2
+ 3m + 12)

6
Do đó k
3
+ 11k

6

4(k
3
+ 11k)

24
Vậy A
(k + 1)
= (k
4
+ 6k
3
+ 11k
2
+ 6k) + 24(k
2
+ 1) + 4(k
3

Ta cần chứng minh rằng (1) cũng đúng với a = k + 1,
Tức là phải chứng minh (k + 1)
5
- (k + 1) chia hết cho 5
Ta có: (k + 1)
5
- (k + 1) = k
5
+ 5k
4
+ 10k
3
+ 10k
2
+ 5k + 1 - k - 1
= (k
5
- k ) + [5k
4
+ 10k
3
+ 10k
2
+ 5k]
Ta thấy k
5
- k chia hết cho 5 do giả thiết quy nạp, còn biểu thức trong dấu móc
hiển nhiên chia hết cho 5, do đó (k + 1)
5
- (k + 1) chia hết cho 5

p
- 0 chia hết cho p
+ Giả sử (2) đã đúng với a = k tức là ta đã có A
k
= k
p
- k chia hết cho p. Ta cần chứng
minh rằng A
k+1
= (k +1)
p
- (k + 1) cũng chia hết cho p
Xét hiệu:
( )
1 2 3 2
1
1 2 3 2
( 1) ( 1)( 2) ( 1)
1 1
1.2 1.2.3 1.2
( 1) ( 1)( 2) ( 1)
(3)
1.2 1.2.3 1.2
p p p p p
k k
p p p
p p p p p p p
A A k pk k k k pk k k k
p p p p p p p
pk k k k pk

+ Kết luận: Mệnh đề (2) đúng với mọi số nguyên a
* Một số bài tập giải t ơng tự :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a:
a) a
2
- a chia hết cho 2 b) a
3
- a chia hết cho 3
c) a
5
- a chia hết cho 5 d) a
7
- a chia hết cho 7
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 9 Trờng THCS D-
ơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
a) 3
2n + 1
+ 40n - 67 chia hết cho 64 b) 2
n + 2
.3
n
+ 5n - 4 chia hết cho 25
c) 7
n + 2
+ 8
2n + 2
chia hết cho 57 d) 10
n

=
k
11...1
3
.
k
100...1
3
.
k
100...01
3
chia hết cho 3
Vậy với mọi số nguyên dơng n thì gồm 3
n
chữ số 1 chia hết cho 3
n
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n:
a) 7
4n
- 1

chia hết cho 5 b) 3
4n +1
+ 2 chia hết cho 5
c) 2
4n +1
+ 3 chia hết cho 5 d) 2
4n +1
+ 1 chia hết cho 5

3
+ ... + 99
3
+ 100
3
; B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
b) A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + 99
3
; B = 1 + 2 + 3 + ... + 99
Bài 7: Chứng minh rằng nếu n là lập phơng của một số tự nhiên thì
(n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 504
Bài 8: Chứng minh rằng số
72
14
2
+
+
n
chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n:
a) 6
2n
+ 3
n+ 2

6
- b
6
chia hết cho 9
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 10 Trờng THCS
Dơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
Bài 13: Chứng minh rằng 4a
2
+ 3a + 5 chia hết cho 6 nếu a là một số nguyên
Bài 14: Chứng minh rằng n
2
+ 3n + 39 và n
2
+ n + 37 chia hết cho 49 với mọi số tự
nhiên n
Bài 15: a) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập
phơng của chúng chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của hai số lẻ thì chia hết cho 8
Bài 16: Cho tổng của năm số nguyên bằng 0. Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc
năm của năm số nguyên đó chia hết cho 25
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng:
a) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (2n) chia hết cho 2
n
b) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (3n) chia hết cho 3
n
Bài 18: Chứng minh rằng:
a) 2n
3
+ 3n

b) Số n
2
+ n + 1 không chia hết cho 9
Bài 20: Chứng minh rằng A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên
n
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
S
n
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
=
+
2
n(n 1)

+ +
2
(k 1)(k 2)
2
Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh 11 Trờng THCS
Dơng Thủy
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán
Ta phải đi chứng minh (1) đúng với n = k +1
Tức là: S
K + 1
=1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + (k + 1)
3
=
+ +
2
(k 1)(k 2)
2
Thật Vậy: S


2
(k(k 1)
2
Do đó: S
k + 1
=
+
2
(k(k 1)
2
+ (k + 1)
3
=

+2
2
k (k 1)
4

+ (k + 1)
3
=
2 2

=
2
(k 1).(k 1)
2
+ +
đúng
Vậy (1) đúng với n = k + 1
+ Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dơng n
Bài 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì:
S
n
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
n(n 1).(2n 1)
6
+ +
(1)
Giải:
+ Với n = 1, vế trái của (1) bằng 1
2

2
+ ... + (k + 1)
2
=
(k 1).(k 2).(2k 3)
6
+ + +
Thật vậy: S
k + 1
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + k
2
+ (k + 1)
2
= S
k
+ (k + 1)
2 (Do giả thiết quy nạp S
n
= 1
2
+ 2