Giải tích tổ hợp Xác suất
phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng
trình chứa
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
Với
P
n
là số các hoán vị của n phần tử : P
n
= n! = 1.2.3n
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử :
k
n
A
=
n !
(n k) !
( 0 k n )
k
n
A
và
k
n
C
thì điều kiện :
0 k n
k, n N
B ớc 2 : Dùng các công thức sau để rút gọn :
+ P
n
= n! = 1.2.3n
+
k
n
A
= ( 0 k n )
+
k
n
C
=
n !
x x x
5 6 7
5 2 14
- =
C C C
4/
4 3 2
n -1 n -2 2
5
C C A 0
4
n
=
9/
2 2
x x x x
P A + 72 = 6(A + 2P )
5/
2 n-2 2 3 3 n-3
n n n n n n
C .C 2C .C C .C 100+ + =
10/
n + 1 n
n + 4 n +3
C - C = 7(n + 3)
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
1
Phần 1
Giải tích tổ hợp Xác suất
Giải
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
12n + 32 = 0
n 4
n 8
=
=
(thoả mãn)
3/
Điều kiện : n 2 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
15n = 0
n 0 ( )
n 3
loai=
=
4/
Điều kiện : n 5 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
9n 22 = 0
n 2 ( )
+ =
(Vô nghiệm) .
7/
Điều kiện : x 3 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x(x
2
9x + 14) = 0 x = 0 ; x = 7 ; x = 2
x = 7
8/
Điều kiện : 0 x 5 , x N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x
2
14x + 33 = 0
11 ( )
3
x loai
x
=
=
x=3
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
2
Giải tích tổ hợp Xác suất
9/
Điều kiện : x 2 , x N
23
n
n n
A
A C
+
=
2/
1 x-2 x-3 x-1 2
x x x x
C + 6C 6C 46C 14x
+ =
4/
2 2
x x x x
P A + 180 = 6(A + 5P )
5/
3 x-2
x x+1 x+1 x
P + 60 = 2(3C + 5P )C
Đáp số
1/ x = 2 3/ n = 5
2/ x = 5 ; x = 9 4/ x = 3 ; x = 6
5/ x = 3 ; x = 4
Bài 3 : Giải các bất phơng trình sau :
1/
1 3
x x +1
Bài 4 : Giải các bất phơng trình sau :
1/
x x x
5 6 7
5 2 14
-
C C C
2/
2 2 3
2x x
6
C - A 10
x
C
x
+
3/
2 3 2
x+2 x +2
5
C + C
2
x
A>
4/
4 3 2
x-1 x -1 2
5
4/
5 11x
x N
Bài 5 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
=
2/
y + 1 y y - 1
Đa về hệ pt sau :
y + 1
x + 1
y
x + 1
y
x + 1
y - 1
x + 1
C 5
C 5
C 5
C 3
=
=
2 0
3 8 6
x y
x y
=
2 2
( ) ( ) 36 3
54
y y
x x x x
y y
x x x x
A C C A
A C C A
+ + =
+ + =
3/
y + 1 y y - 1
x + 1 x x -1
C : C : C 6 : 5 : 4=
Đáp số
1/ x = 5 , y = 2
2/ Gợi ý :
+ ĐK : x 2 ; x y ; x , y N
+ u =
y
x
A
; v =
2
x
C
hạng đứng giữa .
+/ Nếu n chẵn thì số hạng đứng thứ
n
2
+ 1 trong khai triển là số hạng đứng giữa
*/ Tổng các hệ số trong khai triển (ax + b)
n
là : (a + b)
n
với a , b R .
(Cho x = 1)
3/ Một số khai triển đặc biệt của nhị thức Newton
* Dạng 1 : (1 + x)
n
=
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C + C .x +...+ C .x + ... + C .x + C .x
* Dạng 2 : (1 - x)
n
=
0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n
n n n n n
C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
Thay x = 1 ; x = - 1 vào Dạng 1 , ta đợc :
+ )
0 1 k n-1 n
n n n n n
C + C +...+ C + ... + C + C
= 2
1/ Tìm hệ số của x
7
trong khai triển nhị thức
: (1 + x)
19
(k = 7)
8/Tìm hệ số của x
8
trong khai triển nhị thức
n
5
3
1
+ x
x
ữ
biết
n+1 n+1
n+4 n+3
C - C = 7(n +3)
(n = 12 ; k = 8)
2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai
triển
19
1
+ 2 x
x
ữ
( k = 6)
10/Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
10
3
5
1
+ x
x
ữ
(số hạng đứng thứ 6)
4/ Tìm số hạng không chứa x trong khai
triển
n
3
4
1
+ x
x
ữ
biết
3 1
n n
C = 5C
)
10
12/ Cho khai triển
(x+2)
4
(x+1)
5
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tìm hệ số a
6
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
6
k n k k
k + 1 n
U = C .a .b
Xác định hệ số hoặc số hạng
trong một khai triển
Giải tích tổ hợp Xác suất
- 15
2
x
(0 k 15)
Số hạng không chứa x ứng với :
3k
15 0
2
=
k = 10
Vậy hệ số cần tìm là :
10
15
C
.2
10
5/
Viết lại : (1+ x + x
2
)
10
= [ 1+(x + x
2
) ]
10
= [ 1 + x.(1 + x) ]
10
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
=
Theo giả thiết , ta có : m + k = 3 , m , k Z và 0 m k . Do đó , ta chọn :
+ m = 0 , k = 3
+ m = 1 , k = 2
Vậy hệ số của x
3
trong khai triển là :
3
10
C
+
2
10
C
.
1
2
C
12/
Viết (x+2)
4
(x+1)
5
=
4 5
k k 4 - k m m
4 5
k = 0 m = 0
C .x .2 C .x
Chọn :
m 2 3 4 5
k 4 3 2 1
Vậy hệ số phải tìm là : a
6
=
4
4
C
.
2
5
C
.2
0
+
3
4
C
.
3
5
C
.2
1
+
2
4
n
.x
n
+
1
n
C
.a
n-1
.b.x
n-1
+ +
k
n
C
.a
n-k
.b
k
.x
n-k
+ +
n
n
C
.b
n
Tổng các hệ số trong khai triển là :
S =
0
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C + C .x +...+ C .x + ... + C .x + C .x
S =
0 1 k n-1 n
n n n n n
C + C +...+ C + ... + C + C
= 2
n
( Cho x = 1)
(1 - x)
n
=
0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n
n n n n n
C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
S =
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C - C +...+(-1) .C + ... + (-1) .C + (-1) .C
= 0 ( Cho x = 1)
* Chú ý : Khi tính tổng các hệ số trong khai triển ta cho tất cả các ẩn bằng 1 .
B - Bài tập
1/ Tính tổng các hệ số trong các khai triển sau :
a/ (x + 2)
10
c/ (2x + 3y)
2009
e/ (1 2x)
24
2
+ + a
16
x
16
Tính tổng : S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ + a
16
3/ Cho khai triển : (x+2)
4
(x+1)
5
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tính tổng : S = a
k n - k k
n
C a b
Chọn khai triển (x + b)
n
, sau đó chọn
x = a .
Đặc biệt khi mỗi số hạng có dạng
k k
n
C a
hoặc
k n - k
n
C b
Chọn khai triển (x + 1)
n
sau đó
chọn x = a .
2/Bài tập
Bài 1 :
1/ Tính tổng
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C
Giải
Chọn khai triển (1 + x)
n
, ta có :
Chọn khai triển (x+1)
2n
và (x-1)
2n
với x = 1 .
5/ Tính tổng
1 0 3 3 5 5 99 99
100 100 100 100
S = 3 C + 3 C + 3 C +...+ 3 C
Chọn khai triển (x+1)
n
và
(x-1)
n
với x = 3 .
6/ Tính tổng
0 0 2 2 4 4 78 78
79 79 79 79
S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C
Chọn khai triển (x+1)
79
và
(x-1)
79
với x = 2 .
Bài 2 : Chứng minh rằng
1/
0 n 0 1 n-1 1 2 n-2 2 n 0 n n
n n n n
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
9
tính tổng và chứng minh đẳng thức
tổ hợp
Giải tích tổ hợp Xác suất
Dạng 2 : Dùng đạo hàm cấp 1 , cấp 2
1/ Nhận dạng
Khi trong tng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm
cấp một .
Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta
dùng đạo hàm cấp hai ; hoặc tổng đó mất
o
n
C
hoặc
1
n
C
2/ Phơng pháp
B ớc 1 : Chọn khai triển (x + b)
n
khi mỗi số hạng trong tổng có dạng
k k - 1 n - k
n
k.C .a .b
B ớc 2 : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2 .
B ớc 3 : Chọn x = a Kết quả
3/ Bài tập
Bài 1 : Tính các tổng sau :
1/
n 1
.
n
n
C
Chọn x = 2 , ta đợc : S = n(1 + 2)
n 1
= n.3
n - 1
2/
0 n 1 n-1 2 n-2 n-1 1
n n n n
S = n.3 .C + (n-1).3 .C + (n-2).3 .C + ... + 1.3 .C
Chọn khai triển (x+3)
n
,
lấy đạo hàm cấp 1 và chọn x = 1 .
3/
2 3 4 n
n n n n
S = 1.2.C + 2.3.C + 3.4.C + ... + n.(n-1).C
Giải
Chọn khai triển (1 + x)
n
, ta đợc :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 n n
n 1
.
n
n
C
(*)
Lấy đạo hàm cấp 2 cả hai vế của (*) , ta đợc :
n.(n 1).(1 + x)
n 1
= 0 + 1.2.x
0
.
2
n
C
+ 2.3.x
1
.
3
n
C
+ 3.4.x
2
.
4
n
C
+ + (n 1)n.x
n 2
.
2
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
10
Giải tích tổ hợp Xác suất
6/
1 2 3 100
100 100 100 100
S = 2.C + 3.C + 4.C + ... + 101.C
Gợi ý : Phân tích 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; ; 101 = 1 + 100 , sau đó phân tích S = S
1
+ S
2
Bài 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :
1/
1 2 3 n n-1
n n n n
1.C + 2.C + 3.C + ... + n.C n.2=
2/
1 2 3 4 5 6 99 100 99
200 200 200 100
2.2 .C +4.2 .C + 6.2 .C + ... + 100.2 .C 50(3 1)= +
Gợi ý : Chọn khai triển (x+1)
100
, lấy đạo hàm cấp 1 , thay x = 2 , x = - 2 .
Lấy (1) (2) ta đợc kết quả .
Bài 3 : 1/ Tìm số nguyên dơng n thoả mãn :
B ớc 3 : Tính giá trị của mỗi vế Kết quả
3/ Bài tập
Bài 1 : Tính các tổng sau :
1/
1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1 2 1
S ... C
1 2 3 n 1
C C C
+
= + + + +
+
Giải
Chọn khai triển (1+ x)
n
, ta đợc :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 , ta đợc :
0 1 2 n
n n n n
3 2 2 1 2 1 2 1 2 1
C C C ... C
n + 1 1 2 3 n 1
= + + + +
+
Vậy S =
n + 1 n + 1
3 2
n + 1
2/
1 2 3 n + 1
0 1 2 n
n n n n
2 2 2 2
S = C + C + C + ... + C
1 2 3 n + 1
Chọn khai triển (1+ x)
n
và lấy tích phân cận từ 0 đến 2 .
3/
1 2 3 101
0 1 2 100
100 100 100 100
3 3 3 3
...
1 2 3 101
+ + + + =
+ +
Chọn khai triển (1+ x)
n
và lấy tích phân cận từ 0 đến 1 .
2/
1 2 3 1 1 1
0 1 1 2 2 0
3 1 3 1 3 1 2 1 5 3
.2 . .2 . .2 . ... .2 .
1 2 3 1 1
n n n
n n n n
n n n n
C C C C
n n
+ + +
+ + + + =
+ +
Chọn khai triển (2 + x)
n
và lấy tích phân cận từ 1 đến 3 .
3/
1 2 3 2 1
0 1 2 2
2 2 2 2
5/ 1 +
1
n
1
C
2
+
2
n
1
C
3
+
3
n
1
C
4
+
4
n
1
C
5
+... +
n
n
1
C
n + 1
C
5
+... +
n + 1
n
n
(-1)
C
n + 1
=
n
n + 1
Chọn khai triển (1- x)
n
và lấy tích phân với cận từ 0 đến 1 .
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
12
Phần 3
Giải tích tổ hợp Xác suất
Các quy tắc đếm cơ bản
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
I Các quy tắc đếm cơ bản
1/ Quy tắc cộng
Một công việc A đợc chia ra k công việc A
1
, A
2
, , A
k
2/ Quy tắc nhân
Một công việc A đợc thực hiện lần lợt qua k giai đoạn A
1
, A
2
, , A
k
.
Trong đó :
+ Giai đoạn A
1
có n
1
cách thực hiện
+ Giai đoạn A
2
có n
2
cách thực hiện
+ Giai đoạn A
3
có n
3
cách thực hiện
+ Giai đoạn A
k
có n
k
cách thực hiện .
( 0 k n )
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
13
Giải tích tổ hợp Xác suất
Chú ý : Hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau
P
n
=
n
n
A
=
n !
(n n) !
= n !
IV tổ hợp
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một tổ hợp chập k của
n phần tử (0 k n , k N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của
X .
2/ Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử
k
n
C
=
n !
k!(n k) !
( 0 k n )
3/ Các tính chất của tổ hợp
7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4 .
8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8 .
9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0 .
Giả sử số phải lập có dạng : N =
1 2 3 4 n
a a a a ...a
. Khi chọn các chữ số a
1
, a
2
, , a
n
ta
chọn những chữ số bị ràng buộc trớc .
Ví dụ
+ a
1
phải khác 0
+ Nếu N lẻ thì a
n
phải chọn các số lẻ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 .
B . Bài tập
Bùi Thái Nam THPH Lục Ngạn số 2
14
Dạng 1 : Bài toán tập hợp số
Copyright: Tài liệu đại học ©