Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Phần i
phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình chứa
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
Với
P
n
là số các hoán vị của n phần tử : P
n
= n! = 1.2.3 n

k
n
A
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử :
k
n
A
=
n !
(n k) !
( 0 k n )

k
n
A
và
k
n
C
thì điều kiện :
0 k n
k, n N





B ớc 2 : Dùng các công thức sau để rút gọn :
+ P
n
= n! = 1.2.3 n
+
k
n
A
= ( 0 k n )
+
k
n
C
=
n !

x x x
5 6 7
5 2 14
- =
C C C
4/
4 3 2
n -1 n -2 2
5
C C A 0
4
n
=
9/
2 2
x x x x
P A + 72 = 6(A + 2P )
5/
2 n-2 2 3 3 n-3
n n n n n n
C .C 2C .C C .C 100
+ + =
10/
n + 1 n
n + 4 n +3
C - C = 7(n + 3)
Giải
1/
Điều kiện : n 3 , n N
Pt đã cho

12n + 32 = 0
n 4
n 8
=


=

(thoả mãn)
3/
Điều kiện : n 2 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
15n = 0
n 0 ( )
n 3
loai=


=


4/
Điều kiện : n 5 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : n
2
9n 22 = 0
n 2 ( )
n 11
loai=


(Vô nghiệm) .
7/
Điều kiện : x 3 , n N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x(x
2
9x + 14) = 0 x = 0 ; x = 7 ; x = 2
x = 7
8/
Điều kiện : 0 x 5 , x N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : x
2
14x + 33 = 0
11 ( )
3
x loai
x
=


=

x=3
9/
Điều kiện : x 2 , x N
Sau khi biến đổi , ta đợc phơng trình : (x! - 6)(x
2
x 12) = 0

2

+
=

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
2/
1 x-2 x-3 x-1 2
x x x x
C + 6C 6C 46C 14x
+ =
4/
2 2
x x x x
P A + 180 = 6(A + 5P )
5/
3 x-2
x x+1 x+1 x
P + 60 = 2(3C + 5P )C

Đáp số
1/ x = 2 3/ n = 5
2/ x = 5 ; x = 9 4/ x = 3 ; x = 6
5/ x = 3 ; x = 4
Bài 3 : Giải các bất phơng trình sau :
1/
1 3
x x +1
72C - A 72
2/
1 2 3 2
x x x

5 6 7
5 2 14
-
C C C

2/
2 2 3
2x x
6
C - A 10
x
C
x
+
3/
2 3 2
x+2 x +2
5
C + C
2
x
A>
4/
4 3 2
x-1 x -1 2
5
C - C 0
4
x
A

x N





Bài 5 : Giải các hệ phơng trình sau :
1/
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =

=

2/
y + 1 y y - 1
x + 1 x +1 x +1
C : C : C 5 : 5 : 3=
Giải
1/
Điều kiện : 0 < y x , x ; y N (*)
Đặt : u =
y

x + 1
y - 1
x + 1
C 5
C 5
C 5
C 3

=




=



2 0
3 8 6
x y
x y
=


=


6
3
x

x x x x
A C C A
A C C A

+ + =

+ + =

3/
y + 1 y y - 1
x + 1 x x -1
C : C : C 6 : 5 : 4=
Đáp số
1/ x = 5 , y = 2
2/ Gợi ý :
+ ĐK : x 2 ; x y ; x , y N
+ u =
y
x
A
; v =
2
x
C
+ Nghiệm : x = 4 ; y = 2
3/ x = 5 ; y = 4
phần II
Nhị thức newton
và các dạng toán liên quan
I/ Lý thuyết chung

n
với a , b R .
(Cho x = 1)
3/ Một số khai triển đặc biệt của nhị thức Newton
* Dạng 1 : (1 + x)
n
=
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C + C .x +...+ C .x + ... + C .x + C .x
k n k k
k + 1 n
U = C .a .b

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
* Dạng 2 : (1 - x)
n
=
0 1 k k k n-1 n-1 n-1 n n n
n n n n n
C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
Thay x = 1 ; x = - 1 vào Dạng 1 , ta đợc :
+ )
0 1 k n-1 n
n n n n n
C + C +...+ C + ... + C + C
= 2
n
+ )
0 1 k k n-1 n-1 n n

n
5
3
1
+ x
x

ữ

biết
n+1 n+1
n+4 n+3
C - C = 7(n +3)
(n = 12 ; k = 8)
2/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
19
1
+ 2 x
x

ữ

(k = 10)
9/Cho khai triển
n
3
2
1
+ x
x


ữ

(số hạng đứng thứ 6)
4/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
3
4
1
+ x
x

ữ

biết
3 1
n n
C = 5C

(n = 7 ; k = 4)
11/ Cho khai triển
(x+1)(x+2)
15
= a
0
+ a
1
x + a
2
x

x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tìm hệ số a
6
Giải
1/
k n k k
k + 1 n
U = C .a .b

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
=
k
19
C
.x
k
( 0 k 19)
Hệ số của x
7
ứng với k = 7 Hệ số của x
7

10
5/
Viết lại : (1+ x + x
2
)
10
= [ 1+(x + x
2
) ]
10
= [ 1 + x.(1 + x) ]
10
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển : U
k+1
=
k
10
C
.x
k
(1 + x)
k
( 0 k 10)
Ta lại có : (1 + x)
k
=
k
m m
k
m = 0

.
1
2
C
12/
Viết (x+2)
4
(x+1)
5
=
4 5
k k 4 - k m m
4 5
k = 0 m = 0
C .x .2 C .x

=
4 5
k m 4 - k m + k
4 5
k = 0 m = 0
C .C .2 .x

Ta thấy hệ số a
6
là hệ số của x
6
, do đó ta có :
6
0 4

.2
0
+
3
4
C
.
3
5
C
.2
1
+
2
4
C
.
4
5
C
.2
2
+
1
4
C
.
5
5
C

k
.x
n-k
+ +
n
n
C
.b
n
Tổng các hệ số trong khai triển là :
S =
0
n
C
.a
n
+
1
n
C
.a
n-1
.b + +
k
n
C
.a
n-k
.b
k

C - C .x +...+(-1) .C .x + ... + (-1) .C .x + (-1) .C .x
S =
0 1 k k n-1 n-1 n n
n n n n n
C - C +...+(-1) .C + ... + (-1) .C + (-1) .C
= 0 ( Cho x = 1)
* Chú ý : Khi tính tổng các hệ số trong khai triển ta cho tất cả các ẩn bằng 1 .
B - Bài tập
1/ Tính tổng các hệ số trong các khai triển sau :
a/ (x + 2)
10
c/ (2x + 3y)
2009
e/ (1 2x)
24
b/ (2x 5)
15
d/ (x -
1
x
)
5
f/ (x + 3x
2
)
19
Đáp số
a/ S = 3
10
c/ S = 5

(x+1)
5
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
9
x
9
Tính tổng : S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ + a
9
Đáp số
2/ S = 2.3
15
3/ S = 3
4
.2
5


0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C

Giải
Chọn khai triển (1 + x)
n
, ta có :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Với x = 2 S = (1 + 2)
n
= 3
n
2/ Tính tổng
0 0 1 1 2 2 2n 2n
2n 2n 2n 2n
S = 5 C + 5 C + 5 C +...+ 5 C

Chọn khai triển (x+1)
2n
với x = 5 .
3/ Tính tổng
100 0 99 1 98 2 1 99 0 100
100 100 100 100 100
S = 2 C - 2 C + 2 C - ... - 2 C 2 C+

S = 2 C + 2 C + 2 C +...+ 2 C
Chọn khai triển (x+1)
79
và
(x-1)
79
với x = 2 .
Bài 2 : Chứng minh rằng
1/
0 n 0 1 n-1 1 2 n-2 2 n 0 n n
n n n n
2 3 C + 2 3 C + 2 3 C +...+ 2 3 C 5=
Chọn khai triển (x + 3)
n
, sau đó chọn x = 2 .
2/
n
0 0 1 1 2 2 0 0
n n n n
n n - 1 n - 2 0
2 C 2 C 2 C 2 C 7
+ + +...+ =
3 3 3 3 3

ữ

Chọn khai triển (x +
1
3
)

B ớc 3 : Chọn x = a Kết quả
3/ Bài tập
Bài 1 : Tính các tổng sau :
1/
0 1 1 2 2 3 n-1 n
n n n n
S = 1.2 .C + 2.2 .C + 3.2 .C + ... + n.2 .C

Giải
Chọn khai triển (x+1)
n
, ta đợc :
(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 n n
n n n n
C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc :
n(1 + x)
n 1
= 0 + 1.x
0
.
1
n
C
+ 2.x
1
.

(1 + x)
n
=
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 n n
n n n n n n
C .x + C .x + C .x + C .x + C .x +...+ C .x
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế , ta đợc :