CHƯƠNG 1­ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các 
kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến 
thức sau:
Tam giác  A BC  vuông tại  A , đường cao  A H , ta có:
A

1)  a 2 = b2 + c 2 .
2)  b2 = a.b '; c 2 = a .c '

b
c

3)  h 2 = b '.c '
4)  a .h = b.c .

B

h
b'

H

c'

C

a


H

C

AB
AC
AB +AC
=
=
= 3 . Do đó  A B = 3.3 = 9 ( cm ) ;  A C = 3.4 = 12 ( cm ) .
3
4
3+4

Tam giác  A BC  vuông tại  A , theo định lý Pythagore ta có:
BC 2 = A B 2 + A C 2 = 92 + 122 = 225 , suy ra  BC = 15cm .


b) Tam giác  A BC  vuông tại  A , ta có  A H .BC = A B .A C , suy ra  A H =

A B .A C
9.12
=
= 7, 2 ( cm ) .
BC
15

A H 2 = BH .HC . Đặt  BH = x ( 0 < x < 9)  thì  HC = 15 - x , ta có:
2


A

1
1
BC .A H = a b2 - a 2
2
2
K

ￛ A H = b2 - a 2
1
1
b). Ta có  BC .A H = BK .A C = S A BC
2
2
Suy ra  BK =

H

B

C

BC .A H
2a 2
=
b - a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông  A KB  ta có: 
AC
b


b2 - 2a 2
b

 do đó 


Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện 
với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c . 
a) Tính diện tích tam giác  A BC  theo  a
b) Chứng minh:  a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S
Giải:

A

a). Ta giả sử góc  A  là góc lớn nhất của tam giác
A BC ￛ B ,C  là các góc nhọn. Suy ra chân 
đường cao hạ từ  A  lên  BC  là điểm 
B

H  thuộc cạnh  BC .

H

C

Ta có:  B C = BH + HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông 
A HB , A HC  ta có: A B 2 = A H 2 + HB 2 , A C 2 = A H 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
2


=ￛ
ￛ

2a
ￛￛ


thì  A H 2 =
S =

2

2ￛ
ￛ2

ￛb - ( a - c ) ￛ
( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a )
ￛ =
.ￛ
Đặt  2p = a + b + c  
ￛ
ￛ
2a
4a 2
ￛￛ
ￛￛ

16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )
4a


( a + b + c)
12 3

p.

p3
p2
. Hay 
=
27
3 3

2
2

(

)

. Mặt khác ta dễ chứng minh được:  ( a + b + c ) ￛ 3 a 2 + b2 + c 2  suy ra 

(

3 a 2 + b2 + c 2
12 3

)

ￛ a 2 + b2 + c 2 ￛ 4 3S

A? KH = CKB
= 900 ;  KA
(cùng phụ với  A? BC ). Suy ra 

AK
HK
 , do đó  A K .KB = CK .KH    (2)
=
CK
BK

Từ (1) và (2) suy ra  MK 2 = CK .HK  nên  MK = CK .HK ; 
1
1
1
1
S A MB = .A B .MK = A B . CK .HK =
A B .CK . A B .HK = S 1S 2 .
2
2
2
2
Vậy  S = S 1.S 2 .
Ví dụ 5. Cho hình thang  A BCD  có 
? = 900 , B? = 600 , CD = 30cm , CA ^ CB . Tính diện tích của hình 
A? = D
thang.
Giải:

C

2

(

)

Vậy diện tích hình thang  A BCD  bằng  350 3cm 2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  a  (hình) được định nghĩa như sau:
sin a =

AB
AC
AB
AC
; cos a =
; t an a =
; cot a =
B
BC
BC
AC
AB

+ Nếu  a  là một góc nhọn thì 
0 < sin a < 1; 0 < cos a < 1;
t an a > 0; cot a > 0

Cạnh đối

4. Với một số góc đặc biệt ta có:  sin 300 = cos 600 = 1 ; sin 450 = cos 450 = 2
2
2
cos 300 = sin 600 =

3
1
; cot 600 = t an 300 =
t an 450 = cot 450 = 1; cot 300 = t an 600 = 3 .
2
3

Ví dụ 1. Biết  sin a =

5
. Tính  cos a, t an a  và  cot a .
13

Giải:

C

Cách 1. Xét  D A BC  vuông tại  A . 
AC
5
Đặt  B? = a . Ta có:  sin a =
 
=
BC
13

12
;  t an a =
=
=
=
= ; cot a =
=
=
BC
13k
13
AB
12k
12
AC
5k
5

Cách 2. Ta có  sin a =

5
25
 suy ra  sin 2 a =
, mà  sin 2 a + cos2 a = 1 , do đó 
13
169

cos2 a = 1 - sin 2 a = 1 -

t an a =

5
 để tính  sin 2 a  rồi tính  cos a  từ  sin 2 a + cos2 a = 1 . Sau đó ta tính  t an a  và 
13
cot a  qua  sin a  và  cos a .

giả thiết  sin a =

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn  A BC  hai đường cao  A D  và  BE  cắt nhau 
tại  H . Biết  HD : HA = 1 : 2 . Chứng minh rằng  tgB .tgC = 3 .
A

Giải:

E
H

B

D

C


Ta có:  tgB =

AD
AD
. 
; tgC =
BD

AD
  (3). Theo giả thiết 
 hay 
=
=  suy ra 
=
A H + HD
2 +1
AH
2
DH .A D
DH

HD
1
3HD
= , suy ra  A D = 3HD . Thay vào (3) ta được:  t an B . t an C =
=3.
AD
3
DH
Ví dụ 3. Biết  sin a. cos a =

12
. Tính  sin a, cos a .
25

Giải:
Biết  sin a. cos a =
sin a  hoặc  cos a .

25

ￛ 25 cos2 a - 35 cos a + 12 = 0 ￛ 5 cos a ( 5 cos a - 4) - 3 ( 5 cos a - 4) = 0
ￛ

( 5 cos a - 4) ( 5 cos a - 3) = 0 . Suy ra  cos a = 4  hoặc  cos a = 3 .
5

+ Nếu  cos a =

4
12 4 3
 thì  sin a =
: = .
5
25 5 5

+ Nếu  cos a =

3
12 3 4
 thì  sin a =
: = .
5
25 5 5

Vậy  sin a =

5


B

A H = A B . sin B = A B . sin 600 = 16.

H

1
=8
2

3
= 8 3 . Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông 
2

A HC  ta có:

(

HC 2 = A C 2 - A H 2 = 142 - 8 3

)

2

= 196 - 192 = 4 . Suy ra  HC = 2 . Vậy 

BC = CH + HB = 2 + 8 = 10 .
b) Cách 1.  S A BC =

Cách 2.  S

giác vuông bằng cách. Dựng các đường 
thẳng qua C , B  lần lượt vuông góc với 

C

600

450

H

D

B


A C , A B . Gọi  D  là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Khi đó tam giác  A BD  và  A CD  là các tam giác
vuông và 4 điểm  A , B ,C , D  cùng nằm trên đường tròn đường kính  A D = 2R .                                          
Ta có:  A B = A D . sin 600 = A D . 3 = R 3 . Kẻ đường cao  A H  suy ra  H ￛ BC .Tức là: 
2
BC = BH + CH . Tam giác  A HB  vuông góc tại  H  nên 
A H = BH = A B . sin 450 =

AB 2
3 2
R 6 . Mặt khác tam giác 
A CH  vuông tại  H  
= AD
.


4

Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện 
với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c . Chứng minh rằng:
a) a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b) Gọi  D  là chân đường phân giác trong góc  A . Chứng minh: 
ￛA ￛ
2bc. cos ￛￛ ￛￛￛ
ￛￛ 2 ￛￛ
AD =
b +c
Giải:

B

a). Dựng đường cao  BH  của tam giác 
c

ABC  ta có: 

a

Cách 1: Giả sử  H  thuộc cạnh  A C .
Ta có:  A C = A H + HC .

A

H



BC 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + ( A C - A H ) = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .A H Ta có: 
A H = CB . cos A  suy ra  BC 2 = BH 2 + A H 2 + A C 2 - 2A C .CB . cos A  hay 
ￛ BC 2 = BA 2 + +A C 2 - 2A C .CB . cos A ￛ a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau: 
+  sin 2a = 2 sin a. cos a
1
+  S = ab sin C
2
*) Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H . 
? CB = a ￛ A? MB = 2a . 
Đặt  A
A

Ta có  sin a = sin C =

AH
h
=
AC
b

b
h

cos a = cosC =

AC
b
=

1
1
BE .A C = BE .b  (1)
2
2

Mặt khác trong tam giác vuông  A EB  
ta có: sin A =
thay vào (1) 

BE
ￛ BE = c. sin A  
AB

B

C


1
Ta có:  S = ab sin C
2
Trở lại bài toán: 
A

Ta có  S A BD

ￛA ￛ
1
1

ￛ 2 ￛￛ
2

ￛA ￛ
A D sin ￛￛￛ ￛￛￛ ￛￛc + b = bc sin A ￛ A D =
ￛ 2 ￛￛ

bc sin A
=
ￛ A ￛￛ
( b + c ) sin ￛￛￛￛ 2 ￛￛￛￛ

2bc cos
c +b

A
2

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:  cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a . 
Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H . 
? CB = a ￛ A? MB = 2a . 
Đặt  A
A

Ta có :  cos a = cos C =

AC
b
AB
c

2
+ - c2
ￛ c ￛￛ
ￛ b ￛￛ
a 2 - 2c 2
a 2 - b2
4
4
ￛ
ￛ
=
=
= 1 - 2 ￛￛ ￛￛ = 1 - 2.
= 2 ￛ ￛￛ - 1 .   Từ   đó   suy   ra 
a a
a2
a2
ￛa ￛￛ
ￛￛ a ￛￛ
2 .
2 2
cos 2a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a                                                                           
ￛ
ￛ
2
2
2
2
2
2

(b + c)

2

- a2

4bc
b +c

bc

=

(b + c - a) (b + c + a)
b +c

(b + c - a) (b + c + a)

ta có:  bc ￛ b + c ￛ A D ￛ
2

. Áp dụng bất đẳng thức Cô si 

= p( p - a )  với  2p = a + b + c .

2

Áp dụng công thức:  a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong 
hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là: 
‘’Cho điểm  D  nằm trên cạnh  BC  của tam giác  A BC  khi đó ta có: 


Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng 
sin 750 =

6+ 2.
4

Giải:

A

Vẽ tam giác  A BC  vuông tại  A  
với  BC = 2a  ( a  là một độ dài tùy ý)
, C? = 150 , suy ra  B? = 750 .
Gọi  I  là trung điểm của  BC , ta có 

B

H

I

C


IA = IB = IC = a . Vì  A? IB  là góc ngoài tại đỉnh  I  của tam giác cân  IA C  nên  A? IB = 2C? = 300 . 
a
Kẻ  A H ^ BC  thì  IH = A I . cos 300 = a 3 ;  A H = A I . cos 300 = ; 
2
2


ra  A C = a 2 + 3 .  sin 750 = sin B =

=

(

)

3 +1
2 2

sin 750 =

2

=

3 +1
2 2

6+ 2.
4

2
=

(

)

2a
2

4 +2 3
2 2

(

 

6 + 2 .                                              Vậy 
4

)