I
F
E
K
M
N
O
C
A
B
D
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
Bài 1
Cho tam giác ABC. E là trung điểm đoạn AB, M nằm trên đường thẳng CE thoả
mãn
·
·
ACE EMB
=
. Đặt
·
CEB
ϕ
=
. Tính tỉ số
CM
AB
theo
ϕ
.
Lời giải :

IN và NK
⊥
FI (do IF // BD) nên K là trực tâm
∆
IFN

⇒
IK
⊥
NF (2)
Từ (1) và (2) suy ra ME
⊥
IK

Cách 2
• Nhận xét :
Cho
∆
ABC ,
∆
A’B’C’.
M thuộc đoạn BC, M’ thuộc đoạn B’C’ thoả
mãn
' '
' '
MB M B
MC M C
=
Khi đó 3 mệnh đề sau tương đương :
a)

0
90MDN MBN
= =

⇒

·
·
ADM CDN=

⇒

∆
ADM ~
∆
CDN (g-g).

⇒

∆
DEM ~
∆
DFN (theo nhận xét)

⇒
(EM, FN) = (DE, DF) =
2
π
Bài 3
Cho tam giác nhọn ABC. M là 1 điểm thuộc miền trong tam giác thoả mãn

=


:
1
ON O NBM⇒ ∆ ∆:
(theo nhận xét bài 2)
·
·
·
·
·
·
1
1
O
O
2
ON MNB
MN ONB
ANM ONB
⇒ =
⇒ =
⇒ =
Bài 4
Cho tam giác ABC, M chạy trên đoạn BC. Dựng hình bình hành APMN ( P thuộc
đoạn AB, N thuộc đoạn AC). Chứng minh rằng : đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán phụ :
Cho tam giác ABC cân tại A. M chạy trên đoạn BC. Dựng MH

≡
B thì N
≡
A, P
≡
B, đường tròn (ANP)
tiếp xúc với AC tại A
Khi M
≡
C thì P
≡
A, N
≡
C, đường tròn (ANP)
tiếp xúc với AB tại A
Chứng minh bài 4
Dựng đường tròn (O
1
) qua A, B, tiếp xúc với AC tại A
Dựng đường tròn (O
2
) qua A, C, tiếp xúc với AB tại A
Gọi K là giao điểm của 2 đường tròn đó. Ta cần chứng minh tứ giác APKN nội
tiếp
Ta có :
·
·
BAK ACK=
(chắn cung
»

A+NC AB
PB NA PB NA PB
PB PA N AC NA AC
= ⇒ = ⇒ =
+

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
KB PB
KA NA
=
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
∆
KPB ~
∆
KNA (c – g – c)
⇒

·
·
BPK ANK=
⇒
tứ giác APKN nội tiếp
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP luôn đi qua điểm Kcố định.
Bài 5
Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân ABE, AFC. Chứng
minh rằng : BF, CE, EF là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và tính các góc của tam giác đó
theo
,

2
2 2 2
FCK ACF ACB BCK
ACB ABC BAC
π
π π π
π
⇒ = − − −
= − − − − = +
Do đó
·
·
( . . )EAF FCK EAF KCF c g c= ⇒ ∆ = ∆

F=FKE⇒
Vậy ∆ BFK có 3 cạnh thoả mãn yêu cầu.
Bài 6
Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O; R). Điểm M nằm trong (O;R). Đặt OM = d.
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tính diện tích tam giác
đó theo R, d
Chứng minh :
Ý 1 : chứng minh MA, MB, MC là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Cách 1: Dựng ∆ MBN đều
∆ ABM = ∆ CBN (c-g-c) ⇒ NC = MA.
Vậy ∆ MNC có 3 cạnh thỏa mãn yêu cầu.
Cách 2: Qua M dựng các đường thẳng lần lượt song song
với các cạnh của tam giác ABC ( như hình vẽ ). Khi đó
MTAV, MVBY, MYCT là các hình thang cân nên
MA = TV
MB = VY

MB '''
=
Do đó
''
.
'
.
'.
....
22
CB
BCMA
MB
MCMA
MBMB
MCMBMA
dR
MCMBMA
===
−
Ý 2: Tính diện tích
∆ ABC đều ⇒ AB = BC = CA nên
)(3
..
''''''
22
dRR
MCMBMA
BA
MC

)..(
'''.''.'
..
dRR
MCMBMA
ACCBBA
MCMBMA
−
=
⇒
3 2 2 3 2 2 2 3
2 2 2
' ' '
3 3 .( ) 3 3 .( )
. .
' '. ' '. ' ' 4
A B C
R R d R R d
MA MB MC
A B B C C A S
− −
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
2 2 2 3
2 2
' ' '
( )
2 2 2 2 2 2 2 2

Gọi S là diện tích tam giác ABC
Ta có :
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
2
2
2 . (1 ). . (1 ).
( 1).
1 3 3
[(k - ) ].S
2 4 4
AME ABCD ABM MCE AEB
S S S S S
S k S k k S k S
k k S
S
= − − −
= − − − − −
= − +
= + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
k =
Vậy khi
1
2
k =
thì tam giác tạo được có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8

' '
2
CMA CBA sdC BA− =

·
·
¼
1
' '
2
AMB ACB sd A CB− =
⇒ B’C’ = C’A’ = A’B’ (1)
Ta có:
. . .
(2)
' ' ' ' ' '
MA MB MB CA MC AB
B C C A A B
= =
( đã biết )
Từ (1) & (2) ⇒ MA.BC = MB.CA = MC.AB
Bài 9:
Cho hình chữ nhật OABC, đường tròn (O ; OA) cắt BC tại D, tiếp tuyến tại D của
(O ; OA) cắt OC tại E. Chứng minh : AE
⊥
OB
Chứng minh :
Cách 1
Ta có:
2