ĐỀ THI ONLINE – KIỂM TRA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN - CÓ LỜI GIẢI CHI
TIẾT.
Mục tiêu:
+) Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, hai hệ phương trình
tương đương, giải hệ phương trình, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
+) Sau khi làm đề này học sinh có thể luyện tập một số phương pháp để giải hệ phương trình.
Câu 1 (Nhận biết): Cho các cặp số sau (0;-1), ( 3; 2  3) , (1; 3  3) , ( 3  1;1) . Cặp số nào không là nghiệm
của phương trình ( 3  1)x  y  1 ?
A. (0;-1)

B. ( 3; 2  3)

C. (1; 3  3)

D. ( 3  1;1)

Câu 2 (Nhận biết): Tìm giá trị của m để đường thẳng (m  1)x  (m  1)y  2m  1 đi qua điểm A(2;-3).
A. m = -2

B. m = 2

C. m = 1

D. m = -1

ax  y  1
x  y  2
Câu 3 (Nhận biết): Tìm giá trị của a, b để hai hệ phương trình 
và 
tương đương.
3x  y  1


Câu 5 (Thông hiểu): : Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d1): (3a  1)x  2by  56 và đường thẳng
(d2=): 0,5ax  (3b  2)y  3 cắt nhau tại điểm M(2;-5).
A. a  2, b  3

B. a  8, b  1

C. a  5, b  1

D. a  3, b  4

 1 x
2y  1

2

Câu 6 (Thông hiểu): Nghiệm của hệ phương trình  2y  1
là:
1 x
x  y  1

3
1
A. x  ; y 
4
3

B. x 

4


x  y  1
Câu 8 (Thông hiểu): Hệ phương trình 
có vô số nghiệm khi :
ax  2y  a
A. a = -4

B. a = 0

C. a = 2

D. a = 8

Câu 9 (Vận dụng): Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 433 và số lớn chia số nhỏ được thương là 5 và
dư 37.
A. 532 và 99

B. 555 và 122

C. 603 và 170

D. 628 và 195

Câu 10 (Vận dụng): Một đội thuỷ lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn đê trong một thời gian quy định .
Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải kéo dài thêm 6 ngày, còn nếu thêm 2 người thì đội hoàn thành trước
thời gian 2 ngày . Hỏi đội có bao nhiêu người và kế hoạch dự định là bao nhiêu ngày, nếu năng suất mỗi người
như nhau.
A. 6 công nhân; 12 ngày

B. 8 công nhân; 10 ngày

ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là:
A. 12 km/h; 1km/h

B. 11 km/h; 1,5 km/h

C. 10 km/h; 2 km/h

D. 15 km/h; 3km/h

Câu 14 (Vận dụng cao): Có hai loại sắt vụn , loại I chứa 5% niken, loại II chưa 40% niken . Hỏi cần bao nhiêu
sắt vụn mỗi loại để được 140 tấn sắt chứa 30% niken.
A. Loại I: 110 tấn; loại II: 30 tấn

B. Loại I: 45 tấn; loại II: 95 tấn

C. Loại I: 90 tấn; loại II: 50 tấn

D. Loại I: 40 tấn; loại II: 100 tấn

Câu 15 (Vận dụng cao): Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng . Biết nếu tăng chiều
rộng thêm 3m và giảm chiều dài đi 5m thì chiều dài vẫn hơn chiều rộng là 20m. Tính diện tích thửa ruộng.
A. 360m 2

2

B. 588m2

C. 363m2

D. 580m 2

13. C

14. D

15. B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1:
Phương pháp: Thay các cặp số đã cho vào phương trình. Cặp nào thỏa mãn thì là nghiệm của phương trình đã
cho.
Hướng dẫn giải chi tiết:

( 3  1)x  y  1 (1)


Thay x = 0, y = -1 vào vế trái của (1) ta được: ( 3  1).0  (1)  0  1  1 .
Vậy (0; -1) là nghiệm của (1).



Thay ( 3,2  3) vào vế trái của (1) ta được: ( 3  1). 3  (2  3)  3  3  2  3  1 .
Vậy ( 3,2  3) là nghiệm của (1).



Thay (1; 3  3) vào vế trái của (1) ta được: ( 3  1).1  ( 3  3)  3  1  3  3  2  1.
Vậy (1; 3  3) không là nghiệm của (1).



Hai hệ phương trình tương đương khi có cùng tập nghiệm.
x  y  2
Giải hệ 
để tìm nghiệm.
3x  y  1

ax  y  1
Thay nghiệm vừa tìm được vào hệ 
để tìm giá trị của a và b.
 x  by  2

Cách giải:

3
3


x

x

x  y  2
x  y  3x  y  2  1 4x  3


4
4





 
 4 4
a 



3 .


5
5
3

5

5
3




  b.

b. 
b  1
 4   2 b.  4   2  4

 4




6a  b  7
6a  7  b
6a  7  b
b  5
b  5
b  5



6a  7  (5)
6a  12 a  2
Vậy với a  2, b  5 thì hệ (2) có nghiệm (x, y)  (3, 1) .

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Chọn A.
Câu 5:
Phương pháp giải:
Đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại điểm M(2; 5) nên tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ

(3a  1)x  2by  56

0,5ax  (3b  2)y  3
Thay x  2; y  5 vào hệ phương trình trên ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a, b. Giải hệ đó tìm được

b  1
b  1




a  7  15b
a  7  15b
a  7  15.(1)
a  8
Vậy với a = 8, b = -1 thì hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại điểm M(2; -5).
Chọn B.
Câu 6:
Phương pháp giải: :
+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa.
+) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp
theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y.
+) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Cách giải:

5

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


 1 x
x  1
 2y  1  0






1
 0 
y 
 1  x

2y

1

0
1
 
2

 y 
2

x  1

 1 x
2y  1

 2 1

1 x
, từ  2 suy ra: x  1  y thay vào 1 ta có:

y
1
1 4
 1  2y  1  y  3y  1  y   x  1  
2y  1
3
3 3

t

1
1
2
 2  t  2   4  t 2  2t  1  0   t  1  0  t  1 tm 
t
t

Suy ra:

y
1
1
4
 1  2y  1   y  y   tm   x   1   ktm 
2y  1
3
3
3

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.


7a  2b  32 35a  10b  160 6a  10b  35a  10b  4  160
6a  10b  4 10b  6a  4 a  4
a  4
a  4(tm)





41a  164
a  4
10b  6.4  4 10b  20 b  2(tm)
Thay a = 4, b = 2 ta có :

 4x  2y  4 4x  2y  16 4x  2(2x  4)  16



2x  y  4
 y  2x  4
 2x  y  2
4x  4x  8  16 8x  24
x  3
x  3




 y  2x  4

Hiệu hai số là 433 nên ta có phương trình: a – b = 433 (1).
Số lớn chia số nhỏ được thương là 5 và dư 37 nên ta có phương trình a = 5b + 37 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

7

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


a  b  433 5b  37  b  433 4b  396



a  5b  37 a  5b  37
a  5b  37
b  99
b  99(tm)


a  5.99  37 a  532(tm)
Vậy hai số đó là 532 và 99.
Chọn A.
Câu 10:
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn, lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các ẩn, đưa về bài toán
giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) Giải hệ phương trình tìm được ẩn, sau đó kiểm tra điều kiện và chọn giá trị thỏa mãn.
Cách giải:
Gọi số công nhân của toàn đội là a (người), đk: a  3, a  Z .


8

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Gọi thời gian ô tô đi quãng đường AB là x (giờ), thời gian ô tô đi quãng đường AC là y (giờ)

 0  x  y; y  0,5
Ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h trong x (giờ) nên quãng đường AB dài là: 50x  km .
Ô tô đi quãng đường BC với vận tốc 45km/h trong y (giờ) nên quãng đường BC dài là: 45y  km .
Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km nên ta có: 50x  45y  165  10x  9y  33 1
Thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút = 0,5 giờ nên ta có:

x  y  0,5  2
Từ 1 và  2 ta có hệ phương trình:

x  y  0,5
10x  9y  33 
x  y  0,5 x  1,5



 tm

10  y  0,5  9y  33 19y  38
x  y  0,5
y  2


x  360  y
x  200




 tm

1,12  360  y   1,1y  400 403, 2  0,02y  400 y  160
1,12x  1,1y  400 

9

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Vậy theo kế hoạch xí nghiệp I làm được 200 dụng cụ và xí nghiệp II làm được 160 dụng cụ.
Chọn C.
Câu 13:
Phương pháp giải:
-

Đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn, lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các ẩn, đưa về bài
toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải hệ phương trình tìm được ẩn, sau đó kiểm tra điều kiện và chọn giá trị thỏa mãn.
Áp dụng các công thức: vận tốc xuôi = vận tốc thực + vận tốc nước và vận tốc ngược = vận tốc thực vận tốc nước.

Cách giải:
Đổi: 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ, 1 giờ 20 phút =


4
giờ.
xy

Thời gian ca nô ngược dòng 8km là:

8
giờ.
xy

Nếu ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết

4
4
8
4
giờ nên ta có:

  2
3
xy xy 3

12
 12
 x  y  x  y  2,5

Từ 1 và  2 ta có hệ phương trình: 
 4  8 4
 x  y x  y 3


12u

24v

4
12u

12v

2,5


4u  8v  3
u  1
 12

 1
 x  y  12 x  y  12 2x  20
x  10

Suy ra: 



 tm
1
x

y

Khối lượng niken chứa trong số sắt vụn loại I là:

5x
 0, 05x tấn.
100

Khối lượng niken chứa trong số sắt vụn loại II là:

40y
 0, 4y tấn.
100

Khối lượng niken chứa trong 140 tấn sắt vụn của cả hai loại là:

140  30
 42 tấn
100

Ta có phương trình: 0,05x  0, 4y  42  2
Từ 1 và  2 ta có hệ phương trình:

x  140  y
x  y  140
x  140  y
x  40




 tm

a  b  28 b  14


 tm 

a  b  28 2b  28
a  42
Vậy chiều dài của thửa ruộng đó là 42m và chiều rộng là 14m.
Diện tích của thửa ruộng đó là: 14  42  588(m2 ) .
Chọn B.

12

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!