ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

Phạm Thị Thảo

CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

Phạm Thị Thảo

CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số: 9460112.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh


ặ

ẻ ỉ ỉ
é ề ụỉ ề ì ì

ẹứề á ỉ ĩ ề
é
ẹ ề
ụề ề ỉ í ề ựề á ậ èậ ẩ ẹ ề ẩ ậ èậ
ặ íừề ề è ề è ẹ í ẹ ề
é ẹ ề ũề
ì ề
ì
ề ề
ậ èậ ẩ ẹ ề á ề ỉ íạề
ể
é ề
ẹ ỉ é ề ựề ỉệ ề èệểề ì ỉ ế ỉệứề ề ũề
ể ề ỉ ữề
é ề ềá ỉ é ề ề ề
ì ỉệ ễ ỉ á ì
ỷ ể
ề ề
ỉ ề ỉứề á
ỉ ụỉ
è í è ẹ í ẹ ề
é ẹ
ỉệ
ỉ í ỉ á
ẩ ậ èậ ặ íừề ề è ềá ỉ ề ề ề í  ỉ ũề ỉ

á

ề
ỉ ề
ũề
ậ ẹ ề ệ
ì ễ ề ỉệứề ễ ề ỉ
ẹ ề èể ề
èựề ỉể ề èể ề ề ề á ỉệ ề
ể
è ề ũềá
ẫ
ặ ậ ẹ ề ệ
ỉự
ì

ễ ề ễ ễ
ỉể ề ì
ễ á ỉệ ề
ể
è ề ũềá
ẫ


ặ è

ệ ỉ ề ú ỉệểề ì ỉ ế ỉệứề ỉ ẹ
ậ ẹ ề ệá
ữỉ ề ề ề
ụề ề ễ ỉệ ể


ỉ ễ ề ũề
á
ẹ ề

ề
ẹ ề
ề ữễ
ề ỉ
ỉ
ẹ ề èể ềá ỉệ ề
ụề ỉệ
ặ
é ề ỉ ể ẹ ú ữề ỉ ề é
ể ỉ ỉệểề ì ỉ ỉ
ềỉ éẹ
ề ũề
ì ề

ề á ỉ ẹ ề í ỉ é ề ụỉ ề ề ụề
ứề
ẹứề á ề ề ề é ề íũ ỉ ề ề
ỉ ú ữề
ữỉá ỉ ẹ ề
ẹ ề
ề ỉ á ề é ề
ẹ ỉ ề á ì ề ì ề ề
ề
ề ỉ á ỉệ ỉ ỉệểề ì ỉ ề ề ề ẹ ỉ ề ế ử ỉ
ỉ ử ể ề ỉ ề é ề ề ề í

ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø º º º º º º º
½º¾º¾ È Ô ØùÒ ØÓ Ò Ø Ø Ò ÕÙ Ø º º º º º º º º º º º º
½º¾º¿ ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ØÖÓÒ Ñ Ø Ô Ò Ø
Ò¹ØÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¿
Ò Ð Øù
Ú
Ô Ð òÒ ôØ Ú ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò
Ø ºººººººººººººººººººººººººººººº
½º Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½

½½

½½
½½
½¿
½
½
¾½

¾¿
¾
¿¾


½º º½ Ä
Ò õÙ ØÖÓÒ Ñ óÒ ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø º º º º º º ¿¾

¿º½

ôÒ

ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø

Ò
Ñ ØÖ Ò º º º
Ò Ð
Ô ºººººº
ØùÒ
Ø
Ò º º
Ø Ò Ø
ÓÙÒ Ú
Ñ ØÖ Ò Ò
ÖÔ º
Ñ ØÖ Ò Ð òÒ ÕÙ Ò
ººººººººººººº
Ò Ð
Ô ºººº
ØùÒ
Ø
Ò º º
Ò ÑÒ º º º º º º º
Ø Ò Ø

Ô Ò

Ò

Ò Ò ØÖÓÒ Ñ óÒ ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø º º º º º
¿º¿º½ Ä
Ò Ò ØÖÓÒ Ñ óÒ ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø º
¾

º
º
º
º
º
º
º
º
º
º

ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
Ñ
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº

ººººº
ººººº




Ò ØÖøÒ Ð òÒ ÕÙ Ò ôÒ ÐÙ Ò Ò
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ

Ó

¿


Ò
N
Z
R
FT
F RF T
LCD
WD
δ(x)
Hn (x)
φn (x)
ψ(x)
ζ(x)
η(x)
Φn(x)
Lp(R)

.


À Ñ e− x −iax
À Ñ e−i2ax φn(x)
Ã Ò Ò

Ñ × f : R → C : |f (x)|p dx < +∞¸
2

n

2

n

x2
2

2

2

1 2
2

2

2

Øù
Ô Ò Ð Ý Ø Ó
Ù Ò ØÖÓÒ

èí ề ũềá
ễ ỉ ề ẹ ẵ ẳá ẹ
ự
ếíụỉ

ỉể ề ễ ề ỉệứề
ễ ề ễ ề ỉệứề ể ẹ ệ ũề ỉệểề

é ề ỉ á ẻ ặ ẹ ì
ỉ  ề ũề
é ẹ ỉ

ữ ỉ ề ú ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ
ắ ề ỉệểề ỉ
ề á ề ỉể ề

ệ
ệệ ắ ỉ ụễ ỉ
ễ ỉ ỉệ ửề ể ề ỉ ữề

ụỉ ế ề í
ẻ
ặ ẹ ì
ỉ
ẻ ặ ẹ ìá
ệ ệệ ề
ỷ
ệ ề ề ỳ
ề

ệ ỉ ữ ế ỉệểề
ĩ é

ỉựề ữ
ỉề ì ễ ỉ
ỉ
ề ĩ é

ỉựề ữ
ế ề
ặ ú ề ũề
ỉệũề ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ

ỉ
ữề ề ẹ ếíụỉ

ỉể ề ề ề ỉệểề ế ề
á ĩ
é ỉựề ữá ữ ề é

á ế ỉệứề ề ề ề ũề ặ ề ề ẹ ề íá
ụề ề í
ề
ễ ề ệ ề ệ ỉệểề ề ú éỳề

ề
ề ệ ệá ỉ ệẹ ệ ề á ề ề ề ẹ á ẹ ỉ ẹ á ụề é ỉ
ẹ ề ề ệểề á ẵẵá ẵ á á ẻ ữ
ề ũề

ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ ặ ể ệ á ứ ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ é ẹ ỉ
ỉệ ề ễ
ữỉ
ụề
ựề ỉ
ỉíụề ỉựề èàá

ụỉ
ế

ể ụề ề í
ỉ ử
íửề ú ẹ úề ểệ ệ ễ ề ỉ ỉ ể
ẹ ỉề ỳ ề ể
ặ é ẹ ệ ề
ụề
ểệ ệá

é ỉ íụỉ
é ũề ế ề
ề
ễ ỉ ỉệ ửề
ể ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ
ể ẹ é ỉ íụỉ
ễ
ề ỉ
ỉ ử é ữỉ ũ



ề

ề
ỉệểề

ỉể ề é ỉ íụỉ
ề ề ỉ
ề
ỉệũề
ề ề ụỉ ế
ú
ễ
ụề
ểệ ệá

ỉ
ỉ ễ ỉệề
ĩ í ề


ễ
ể ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ ề ề
ề ể
ỉệểề

ỉể ề ĩ é ỉựề ữ ề ỉ ụỉ ụ é
á é í ẹ


ề ỉ ụễ
ề
ề ẵá ẵ á á á á á á ề é é í ẹ
ể é ễ

ỉựề
ữ ề í

ề ẹ ề éề  ỉ ũề ề

ễ ề ỉự
ỉựề
ữ
ỉề
ề ỉ ể ề ỳ ểệ ệ ễ ề ỉ ỉ ề ỉự

ẹ ỉ
ẹ
ệễ ẹ ỉ ỉựề ữ
ỉề
ề ỉ ể ề ỳ ỉ ề ỉ ề á
ỉ
ễ ề ề é é í ẹ ậ ềềểềạặíế ìỉ è ụễ á ề ẹ ẵ á
í ệ

ệ ụỉ ế ẹ
ể ề é é í ẹ ỉệểề
ẹ úề ểệ ệ ễ ề ỉ ễ ễ
ề ẹ ề ì ề ụề é ệỉ

ể ụề
ựề ỉ
ỉíụề ỉựề ẵ


Æ Ó Ö ¸ ØÖÓÒ ¿ ℄ ËØ ÖÒ
Ò Ñ Ö Ò Ò Ð Ð Ý Ñ Ù

Ó
Ñ óÒ
ùÒ Ø
ØÙÝôÒ ØùÒ º ÌÖÓÒ ¿℄¸

Ø
× Ò Ò Ø Ò
ÕÙ Ø
Ò Ø
È Ö× Ú Ð
Ó
Ù ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ö
Ö ÑØ


Ò ÑÒ

Ó Ò Ð Ð Ý Ñ Ù Ò Ë ÒÒÓÒ
ØùÒ ÷Ù

ØÒ
Ò Ø Ó Ò ú ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø º

Ô Ð òÒ ôØ Ú ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø Ú Ò Ò º

¾º Å
ù
Ú Ô Ñ Ú Ò òÒ
Ù
•

•

•

Å
ù
Ô ÒØ
Ñ Ø×
Ú Ó Ø ôØ
Ô
ØùÒ
ÓÙÖ Ö Ô

Ý Ò Ú Ò òÒ
Ù


Ô
Ó ôÒ
ÓÙÖ Ö
Ø ôØ Ð Ô Ø Ò Ø

Ñ ØÖ Ò Ð òÒ ÕÙ Ò ôÒ Ñ Ù×× Ú Ñ À ÖÑ Ø
Ó
ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
ØÓ Ò
Ô
ØùÒ ÷Ù Ø Ñ Ù óÙ
Ó

ØùÒ ÷Ù
ØÒ
Ò ØÖÓÒ Ñ óÒ ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
ØÓ Ò Ø ôØ ô Ð
Ò Ò ØÖÓÒ Ñ óÒ Ò Ýº
È Ñ Ú Ò òÒ
Ù

ôÒ

ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ¸
Ô Ð òÒ ôØ Ú


ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ á ỉựề ữ
ỉề
ề ỉệểề ẹ úề
ểệ ệ ễ ề ỉ á é
ề ừ ỉệểề ẹ úề ểệ ệ ễ ề ỉ


ểễ ềễ ềề
é ề ẽ ề ệá é í ẹ ú ếí ỉệứề
ễ
é ỉựề ữ ỉ
ẹ ú
ỉ ề ữẹ ì

ỉệ

é ề ề

é ễ ỉệứề ỉệũề ễ ề ẹúẹ ỉé

ặ ề
é ề ềá ề ể ễ ề ẹ  ễ ề ụỉ é ềá ẹ

ề
ề ẵ ỉệứề
í

ụề ỉ
ềúề ỉ ề
ụề
ểệ ệ ễ ề
ỉ
ể ẹ ề ề ỳ á

ỉựề
ỉ ễ ễ ỉựề ỉể ề ỉ ỉ ề ế ỉá
ử ừề ỉệểề ẹ ỉ ễ ề ỉ

ễ
ẹ ỉệ ề ề ìì ể
ệẹ ỉ ề ề ỉ éữ
ệễá
ễ ỉ ề
ế ỉ
ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ ụề ề
ẹ ỉệ ề


À ÖÑ Ø º ÌÖÓÒ
Ò Ò Ý¸ ÐÙ Ò Ò
Ò ØÖøÒ Ý

ØùÒ
Ø
Ò
Ó


Ô Ò Ý¸ ×Ó × Ò Ú


Ô
Ò Ø × Ò


Ô
Ñ ó ÜÙ Ø ö

Ò Ð
Ô
Ò ¾¸
Ò Ø
Ð ÝÑ ÙÚ
Ô

Ó ØùÒ ÷Ù
ØÒ
Ò Ø Ó Ò ú ÓÙÖ Ö
Ô ÒØ

Ò ÑÒ Ú ÑÒ
ÕÙ Úù
Ð
Ò Ò ØÖÓÒ
Ñ óÒ ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
Ü Ý Ò Ø Ò ÕÙ
Ô ØÖÓÒ Ñ óÒ Ø
Ò
Ò Úù Ñ Ò
Ú ×Ó × Ò Ø
Ò ØùÒ ØÓ Ò Ú
Ð
Ø Ò
Ø Òº

½¼



ặ

ì é ỉ íụỉ ẹ ệ
éỉ
ề
ẹ
ề í

ẵẵẵ

ỉ ẹ

ề ề ỳ

ể ỉệểề ỉ é ữ ẵắ

ẹ ệ
éỉ

ề ề ỳ ẵẵẵ ề

ề ậ
ệỉị S(R)
ề ề ỳ é
ề
ề

ẹ f : R C ề éề xD f (x) 0 x
ẹ
ễ

ề ề

ẹ ẹ ề ề ậ
ệỉị ỉệ ẹ ỉ ỉệểề
é ệỉ L2(R)

ề

ề

ề

ề

ề ề ỳ ẵẵắ ẩ ụẹ ẹ ỉíụề ỉựề é ũề ỉ
T : S(R) C



2

ẻự

ề ề ỳ é ẹ ìí ệ ề ỉệũề R ề ề
ỉ

ẹ ìí ệ ề
ự ữ S (R) ặụ T,
ữ ỉệ
T ỉ

L2(R) ử
T, =




f (x)(x)dx

ẹ

L2(R).

ễ ề ề é ử ỉ ấ ìị ễ ụẹ ẹ ỉíụề ỉựề é ũề ỉ
á
ỉ ề ỉ í ề ỉ ẹ ỉ ẹ ì L2(R) ì ể
ể
, =




(x)(x)dx.

ẵắ


Ó ¸ Ø Ò Ý ØÖ ¸
Ò Ø ó
Ô ôÒ Ñ Ö
ÐØ δ Ø ø Ò


ÜÒ

•

ÌùÒ
Ø Ø Ð÷

δ(x)dx = 1,
δ(x − x0)f (x)dx = f (x0).

δ(−x) = −δ(x)

δ(ax) =

ØÖÓÒ
•

a = 0º

º
δ(x)
,
|a|

ÌùÒ
Ø Ñ Ô
δ (x − xn)
,
′


½¿

g(xn )
.
′
n |f (xn )|


•

À Ñ Ö
ÐØ Ð
δ(x), ØÖÓÒ
Ó Ñ

•

Ó Ñ

Ñ

H(x) =

1
x
1+
.
2
|x|

δ (n) (x − x0)f (x)dx = (−1)n f (n) (x0).

½º½º¿º ÌùÒ Øù
Ô Ò

Îù

∞

Ä


Ó
∞
−∞

Îù

º

Ë

−∞

δ(x3 − x)e−x dx.

Ò ØùÒ
Ø Ñ Ô
δ(x3 − x) = δ(x) +


−x

−x

½º½º º ÌùÒ Øù
Ô Ò
4
−4

2

e−(x−2) δ

1
1
dx.
− x+
3
2

′

½

∞
−∞

δ(x − 1)e−xdx



′

1 2

e−(3t+ 2 ) δ (t) 3dt
′

−5/6

=2×3×3× 0+

1
2

× e−1/4 = 9e−1/4.

½º½º º ÌùÒ Øù
Ô Ò

Îù

∞
−∞

Ä

º

2


4
2
e−x δ (3) (x − 1)dx = (−1)3 f (3) (1) = .
e
−∞

½º¾

ôÒ

½º¾º½

Ò Ò ú

ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
ôÒ

ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø

ÌÖ
ôÒ Ò Ò ú
ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ¸ ôÒ
ôØ ôÒ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ö Ò
ôÒ
ÓÙÖ Ö¸
Ò Ø × Ø
Ù Ò Ú ÷
Ò
Ð


Ú ôØ Ð Ò × Ù

∞

Ú

ôÒ

F

´½º¿µ

g(u)eiuxdu,

−∞

Ü Ñ Ð ôÒ
º ÙÝöÒ × Ò

1
F π2 [f ] (u) = √
2π
− π2

´½º¾µ

f (x)e−iuxdx,

∞

π
2

´½º µ

π

F π2 [φn ] (x) = e−in 2 φn (x),

ØÖÓÒ

Ñ À ÖÑ Ø

φn (x)

Ú

n∈N


Ó

Ò Ø

x2

φn (x) = e− 2 Hn (x),

Ú



1 d2
1 2 1
+
x − ,
2 dx2 2
2

Ò Ò ú Ð ØÓ Ò Ø ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
½

Ú
´½º µ

αº


ỉựề
ỉ
í
ỉể ề ỉ ểệ ệ ễ ề ỉ
ẹ ề ỉệểề
ề ề ẹ ẹ ề ề ậ
ệỉị ỉ ẹ
ề ề L2(R) ỉ ẹ ể ắ à
ẵ F

bk fk (u) =
k



ụỉ

ễ à

ẹ ệ ũề

à

ề ỉể ề ỉ ẹ
ề ỉệểề ề ũề
é ỉ íụỉ ề ề
ệỉ
ử ì ề ể ỉựề ỉể ề ử
ỉ
ỉệ ữỉ ử ụề ẹ á
ỉể ề ỉ ề í
ề
ử ừề é
ề ỉự
ễ ề ửề ừề
ề ỉự
ễ ề
ểệ ệ ễ ề ỉ
ỉ
ẻ ặ ẹ ì ĩ í ề
éề  ỉ ũề ỉệểề
ể ắ ỉ ụễ ỉ

ề ũề


ẵ

x2

Hn (x)e 2 f (x)dx.


Ì
Ò ØÓ Ò Ø

Fα

ÐòÒ Ñ f Ø

fα := Fα [f ] = Fα

∞



an φn =

n=0

∞
n=0

an Fα [φn ] =


−∞

+∞

φn (x)f (x)dx e−inα φn (p)

−∞

e−inα Hn (p)Hn(x) −(x2 +p2 )/2
√
e
f (x)dx
n=0
2nn! π
∞

1
=√ √
π 1 − e−2iα
∞

exp

−∞

ØÖÓÒ

2xpe−iα − e−2iα x2 + p2
1 − e−2iα


2xpe−iα
= −ixp csc α, ØÖÓÒ
1 − e−2iα
i π
e− 2 ( 2 α−α)
1
=
,
√ √
π 1 − e−2iα
2π |sin α|
e−2iα
1
i
+ = − cot α,
−2iα
1−e
2
2
α = sgn(sin α).

f (x)dx,

Ò
Ò Ø
Å Ð Ö ℄

∞

ö Ò

fα (p) = (Fα f ) (p) =

π

i 2

−∞

Ð

cot α

2π |sin α|

∞

×

ØÖÓÒ
ÌÖÓÒ

öÙ õÒ Øù
Ô Ò Ø Ù

exp −i

i
xp
+ x2 cot α f (x)dx,
sin α 2

ØÖÓÒ

Ò Ò

ôÒ

Ð

∞

α∈
/ πZ Kα (x, p) = δ (x − p)

α ∈ π + 2πZº

´½º µ

f (x)Kα(x, p)dx.

−∞

ixp
i(x2 + p2)
Kα (x, p) = cα exp −
+
sin α
2

Ú
Ú

Ú ôØ Ð Ò × Ù


c(α)


√ exp ia(α) x2 + p2 − 2b(α)xp

2π






ÒôÙ α Ò Ð



ÒôÙ α Ð



δ (x − p),







ÙÝòÒ ×Ù Ø ÐÙ Ò Ò¸ ö Ò Ò ¸ a(α)¸ b(α) Ú c(α) ÐÒ Ð Ø
ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø
Ò Ò ú Ú
÷Ù Ð a¸ b Ú cº Å
Ñ α Ø
Ò Ò Ó ØùÒ ØÙÒ Ó Ò


Ñ Ð Ò
Ð òÒ ÕÙ Ò
Ð Ý ØÖòÒ Ó Ò [−π, π]º Î α = 0¸ ôÒ
ÒòÒ ØÖ

αØ Ò
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ØÖ Ø Ò ØÓ Ò Ø Ò Ò Ø (F0f ) (p) = f (p)¸ Ú
α = ±π ¸ Ò ØÖ Ø Ò ØÓ Ò Ø
Ò Ðð (Fπ f ) (p) = f (−p)º Î α = π/2
Ú α = −π/2 ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø ÐÒ Ð Ø ØÖ Ø Ò ôÒ
ÓÙÖ Ö Ú ÓÙÖ Ö Ò
º Æ òÒ
Ù
ÐÙ Ò Ò
Ò ØÖÓÒ
ØÖ Ò Ô ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø Ú
α Ò Ð
πº ôÒ
ÓÙÖ Ö Ô Ò Ø Ø Ò Ø ØÖÓÒ

ôÒ

ÓÙÖ Ö Ô

ÒØ

Ø ø