Chương I: PHƯƠNG TR̀NH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LƯ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π
:

+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −
=


[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
4. Phương tŕnh lượng giác cơ bản

khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +


= ⇔ = ⇔

α π
π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +
5. Phương tŕnh thường gặp
a. Phương tŕnh bậc 2

sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
1 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
2 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ
bản theo sin hoặc cos.
c. Phương tŕnh đẳng cấp
1 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
2 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không.
3 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương tŕnh bậc 2
theo tanx.
4 Có thể thay v́ xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
5 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
6 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không.
7 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương tŕnh bậc 3

1.
cos sin 2 0
3
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
2.
cos cos 1
3 3
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
3.
tan 2 .tan 1x x = −
4.
2 2 2
sin sin .tan 3x x x+ =
5.
2 2
5cos sin 4x x+ =
3.
1
3sin cos
cos

2
cos cos2 cos4
16
x x x
−
=
15.
( )
sin sin 1x
π
=
16.
2 2
cos sin
1 sin 1 cos
x x
x x
=
− −
17.
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
18.
3 2
4sin 2 6sin 3x x+ =
Bài 2 : Cho phương tŕnh
( ) ( )
tan cos cot sinx x
π π

   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
2.
5
cos2 4cos 0
2
x x− + =
3.
4 4
sin cos cos2x x x+ =
4.
4 4
1
cos sin sin 2
2
x x x+ = −
5.
( )
2
2 2 cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + =
6.
4 4
cos sin 2sin 1
2 2
x x
x+ + =
7.
( )

1
2tan cot 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +
12.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
13.
4cos cos4 1 2cos2x x x− = +
14.
5 5 2
4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = +
15.
2 2
cos4 cos 3 cos 1x x x= − +
16.
sin3 cos2 1 2sin cos2x x x x+ = +
Bài 2 : Cho phương tŕnh
sin3 cos2 ( 1)sin 0x m x m x m− − + + =
1. Giải phương tŕnh khi m = 2.
2. Xác định m để phương tŕnh có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
Dạng 3 : Phương tŕnh bậc nhất theo sinx, cosx.

8.
4cos3 3sin3 5 0x x− + =
9.
2
sin cos sin cos2x x x x− =
10.
( )
tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = +