§Ò thi häc sinh giái
M«n: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi : 150 phót.
Phần I : Đề bài
Câu 1 (4 đ): Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
+ 6x + 5 b) x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
c) (x
2
– x + 1 )( x
2
– x +2 ) – 12 d) 2x
4
– 7x
3
– 2x
2
+ 13x + 6
Câu 2 (4 đ): Giải các phương trình sau :
a)
9
694
37
83

+−
+
+−
+
+−
xxxxxx
Câu 3 (2 đ): Tìm x nguyên để biểu thức :
12
5552
23
−
+−+
=
x
xxx
A
là số nguyên.
Câu 4 (5 đ): Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (không trùng
với A và C). Tia Bx vuông góc với đoạn thẳng AC. Trên tia Bx lần luợt lấy các điểm D
và E sao cho BD = BA , BE = BC.
a) Chứng minh rằng : CD = AE và CD
⊥
AE.
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE , CD. Gọi I là trung điểm cảu MN. Chứng
minh rằng : Khoảng cách từ điểm I đến đoạn thẳng AC không đổi khi điểm B di
chuyển trên đoạn thẳng AC.
c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và
BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
Câu 5 (3 đ): Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Các đường thẳng song
song với AM vẽ từ B và C cắt AC và AB tại D và E. Chứng minh :

+ z
3
3xyz = (x + y)
3
+ z
3
3xy(x + y + z)
= (x + y + z)
( ) ( )
[ ]
2
2
zzyxyx
+++
- 3xy(x + y +z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
xy yz xz)
c) Đặt t = x
2
x + 1. Khi đó :
(x
2
x + 1)( x
2
x + 2) 12 = t(t + 1) 12 = t

3
9x
2
+ 7x + 6) = (x + 1)(2x
3
6x
2
3x
2
+ 9x 2x + 6)
= (x + 1)[2x
2
(x 3) 3x(x 3) 2(x 3)] = (x + 1)(x 3)(2x
2
3x 2)
= (x + 1)(x 3)(2x + 1)(x 2)
1
0,25
75,0





0,25
75,0



5,0





+
+






+
+

1
9
694
1
37
83
1
15
452
1
13
2 xxxx

9
604




++
x

015
=+
x
( vì
9
4
15
3
15
2
13
1
+


0 )

x = -15.Vậy PT có tập nghiệm S =
{ }
15

b) (PT)

(x + 1)(x 2)(x 3) = 0







+
+
+
8
5;3
2
085
053
032
04013
0158
065
2
2
2
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx

+


xxxxxx
+




2
1
3
1
xx
7
6
5
1
8
1
3
1
5
1
=



+


( )
09)1(
=
xx
9;1
==
xx
(TMĐK)
Vậy PT có tập nghiệm S =
{ }
9;1
C âu 3 : Ta có: A = x
2
+ 3x 1 +
12
4
+
x
Vì x

Z thì x
2
+ 3x 1

Z nên để A là số nguyên thì
12
4
+
x


0,25
5,0



1









0,25
Câu 4:
GT
Cho AC = m. Lấy B

AC; Bx

AC.
D,E

Bx \ BD = AB; BE = BC.
MA = ME (M

AE);ND = NC (N


1
= 90
0
nên D
1
+ Ê
1
= 90
0
.Do đó:

DKE = 90
0
hay AE

CD
b) Gọi M,N,I lần lợt là hình chiếu của M,N,I trên AC.
Xét

ABE (

ABD = 90
0
) có BM là đờng trung tuyến => MA = ME = BM =
2
1
AE
Xét

BCD (


E
1
+

D
2
= 90
0
hay

MBN = 90
0
.
C/m đợc

BMM =

NBN(cạnh huyền_góc nhọn) => BM = NN và MM = BN
=> MM + NN = BM + BN =
2
1
AB +
2
1
BC =
2
1
AC =
2


D
E
K
M'

I'
N

hình thang => I I =
2
1
(MM + NN) =
4
1
m (không đổi) => đpcm.
c) Đặt AB = x => BE = m x.
Khi đó: S
ABE
+ S
BCD
=
2
1
AB.BE +
2
1
BD.BC = AB.BE = x(m x) (vì AB = BD và BE = BC)
Do đó: S
ABE

Ta có: BC = BM + MC <=>
MCBM
CMBM
CMBM
BC
..
+
=
<=>
MCBMCMBM
BC 11
.
+=
<=>
MC
BC
BM
BC
CMBM
BC
+=
.
2
<=>
MC
BC
BM
BC
MC
BC

AM
EC
+=
.
<=>
BDCE
BDCE
AM .
1
+
=
<=>
CEBDAM
111
+=
=> đpcm
1









1




VËy sè d cña phÐp chia lµ: 1994.
0,5
5,0



Tæng
20®