1.
1 1
2 2 sin x
4 sin x cosx
π
 
+ = +
 
 

2 sin x
sin x cos x
4
2 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sin x cosx 4 sin x cos x
π
 
+
 
π + π
 
 
⇔ + = ⇔ + =
 
 
sin(x ) 0 x k
4 4
1
2 sin x 2 0
sin x cos x 0 sin 2x 0
4 sin x cos x

π
 

⇔ ⇔ = ± + π ∈
π π

= ⇔ = + π ⇔ = + π


2. C1.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+

xx2x2x
3553
coscossinsin
−=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
332323
coscoscossin)cos(cos)sin(sin
=⇔−=−⇔
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
x m x k x m (m Z)
tgx 1
4 2 4 4 2
sin x cos x tg x 1
= =


=−
=−
⇔=−−⇔
xx
0xx
0xx
0xx
0xxxx
22
33
22
3322
sincos
sincos
sincos
sincos
)sin)(cossin(cos
Z)(k cossincos
sincos
sincos
∈
π
+
π
=⇔=⇔=−⇔



=

π
+
π
=∨π+
π
=⇔=∨=∨=⇔
3
k
6
x
2
k
4
xk
2
x0x30x20x
4.
)cos(sincossin xx2xx
8866
+=+

xx2x2x
6886
coscossinsin
−=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
662626
coscoscossin)cos(cos)sin(sin
=⇔−=−⇔
Z)(m


=
=
⇔



=
=
⇔
2
m
4
x
k
4
x
2
m
4
x
1tgx
0x2
1xtg
0x2
xx
0x2
666
5.
2xxxx

x2
8
13
xxxxxx
2224422
cos)cossinsin)(cossin(cos
=++−⇔
x213x228x2x2
8
13
x2
4
1
x2
2
1
1x2
22222
cos)sin(coscos)sinsin(cos
=−⇔=+−⇔



=+−
=
⇔



=−−

π
+
π
=⇔
k
6
x
2
k
4
x
7.
x22tgx31 sin
=+
(*) . Đặt
tgxt
=
π+
π
−=⇔−=⇔−=⇔=+−+⇔=+−+⇔
+
=+⇔
k
4
x1tgx1t01t2t31t01ttt3
t1
t4
t31
223
2

=
⇔
tg Z)(k
cos
8.
3
sin x 2 sin x
4
π
 
− =
 
 
(*) . C1. Ta có :
2 sin x sin x cosx
4
π
 
− = −
 
 

3 3 3 3
1
2 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)
4 4
2 2
π π
   
⇔ − = − ⇔ − = −

02x2x2x2x03x2x1x2x
22
=−+−⇔=−+−−⇔
)(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos
Z)(k
(loại) cos
)sin)(cos(cos
∈π+
π
−=⇔



−=
=
⇔=+−⇔
k
4
x
1tgx
2x2
0xx2x2
9.
2x43xx4
44
=++
sin)cos(sin
2x43x2
2
1

k
4
x
10.
8 8 6 6
2(sin x cos x) sin x cos x
+ = +
8 6 6 8
2cos x cos x sin x 2sin x
⇔ − = −
6 2 6 2 6 6
cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
x m
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
4 2
x m (m Z)
tgx 1
4 2
sin x cos x tg x 1
x k
4
π π

= +

= =
=
 

8 8
8 8
cos2x 0
5 k
cos2x cos x sin x 0 x
5
4 4 2
sin x cos x 1 vo â nghieäm
4
=

π π
 

⇔ − + = ⇔ = +
 

= + >
 

12.
0
4
3
x2x2
22
=+−
cossin
03x214x214
2

cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)⇔ + − = ⇔ = ∨ = >
Z)(k sin
∈
π
=⇔π=⇔=⇔
2
k
xkx20x2
15.
03x4x2
42
=+− sincos
03x4x21
422
=+−−⇔
sin)sin(
03x4x4x41
442
=+−+−⇔ sinsinsin
Z)(k cossin
∈π+
π
=⇔=⇔=⇔
k
2
x0x1x
2
16.
2 2
cos x cos 2x 1

=
=
⇔




=
=
⇔=+−⇔
5
2
x21
0x
5
2
x2
0x
5
1
x
1x
01x6x5
2
2
2
24
cos
sin
cos

sin)(
=+=+
x2x1x2x2x2x1xx12
22422222
coscoscoscoscoscoscos)cos(
=+=+
4 2 2 2 2 2
1
2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaùi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0
2
+ = = = = =
Z)(k cos


+

=+

==
2
k
4
xk
2
x20x2
C2.
xtg22xtgxtgxtg22xtg
xtg1
xtg2
1

+

=+

=

==
k
6
x2k
3
x2
32
1
x2
20.
0x5x33
44
=
cossin
0x5xx21330x5x133
442422
=+=
cos)coscos(cos)cos(



=
=


1
cos x 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3 2 3 2 6

= = = = + = + = + = +
21.
2xgxtg
22
=+
cot
2
xtg
1
xtg
2
2
=+
(1) . ẹieu kieọn :
0tgx

(1)
01xtg01xtg2xtg
2224
==+
)(
2
tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
8
1
xx
88
=+
cossin
8
1
xx2xx
8
1
xx
442442424
=+=+ cossin)cos(sin)(cos)(sin

4
4
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1
(1 sin 2x) 2(sin x cos x) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x
2 8 4 2 8

= + =1x2x22x288
8
1
x2
8

03xx5xx2
2
=+
)cos(sin)cos(sin
3 2
sin x cos x 1 sin x cosx 2 (loaùi) sin x sin
2 4 2 4 = = > = =3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4 4 4 2

= + = + = + = +
25.
07xx12x215
=+++
)cos(sin)sin(
07xx12xx5
2
=+++
)cos(sin)cos(sin
7 2 7
sin x cosx 1 sinx cos x sin x sin sin x sin
5 4 2 4 4
5 2


cosx
cos x

+ + + =


2 2
1 1 1 1
cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cos x
cosx cosx cosx cosx

+ = + + = +


1 1
cos x 0 (1) cos x 2 (2)
cosx cos x
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x

cos
nghieọm) (voõ coscos)( 1x0x11
22
==+
Z)(k cos)(coscoscos)(
====+
2kx1x01x01x2x2
22
29.

nghieọm) (voõ coscos)( 01xx1
2
=++
Z)(k cos)(coscoscos)(
====+
2kx1x01x01x2x2
22
30.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x

+ = +
2
1 1
cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx

+ = +


5
2
1 1

2
1 1
2 cos x 7 cos x 2 0
cosx
cos x
   
+ + − + =
   
   

2 2
1 1 1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cos x 7 cos x 6 0
cosx cos x cosx cos x
 
       
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
 
       
       
 
 
1 1 3
cos x 2 (1) cos x (2)
cosx cosx 2
⇔ − = − ∨ − = −
. Điều kiện :
0x
≠
cos

3
x
32.
2
2
1 1
sin x sin x 0
sin x
sin x
   
+ − + =
   
   
2
1 1
sin x sin x 2 0
sin x sin x
   
⇔ + − + − =
   
   
1 1
sin x 1 (1) sin x 2 (2)
sin x sinx
⇔ + = − ∨ + =
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 01xx1

       
       
 
 
1 3 1 5
sin x (1) sin x (2)
sin x 2 sin x 2
⇔ + = ∨ + = −
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 02x3x21
2
=+−⇔
2
1
(2) 2sin x 5sinx 2 0 sin x 2(loại) sin x sin
2 6
π
 
⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − = −
 
 
7
x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = − + π ∨ = + π ∈
34. C1 :

x
4
tg1tgx01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx1
22
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :



−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2

 Khi
cot 2gxtgx2t
=+⇔=
01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx
22
=−⇔=+−⇔=+⇔
)(
Z)(k
∈π+
π
=⇔
π
==⇔
k
4
x
4

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k
∈π+
π
=∨π+
π
−=∨
k
12
7
xk
12
x
35.
(*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg
22
=++++

Điều kiện :
Z)(k sincossin
∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k

22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
Z)(k
∈π+
π
=∨π+
π
−=
k
12
7
xk
12
x
36.
(1) )cot(cot
cos
01gxtgx4xg3
x
3
2
2
=−+++

gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot
++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥
cot



−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
2
2
(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loại)
3
⇔ + − = ⇔ = − ∨ =
Khi :
1x2xx2xx
x
x

k
x0x20xx
04gxtgx5xtg2xg121
22
=+++++⇔
)cot()cot()(
04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2
222
=+++−+⇔=++++⇔
)cot(])cot[()cot()cot(
0gxtgx5gxtgx2
2
=+++⇔
)cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot
++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥
cot




2
5
t
22
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2
2 2 2
= α + π

α π α
⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ∈

= π − α + π

38.
3
(sin x cosx) 2(1 sin2x) sin x cos x 2 0
+ − + + + − =
3 2
(sinx cosx) 2(sinx cos x) sin x cosx 2 0⇔ + − + + + − =
đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π
 
= + = −
 
 
. điều kiện:
t 2≤

+ = + +
(sinx cos x)(1 sin x cos x) 2sin x cos x sin x cos x⇔ + − = + +
2
t 1
đặt t sin x cos x 2 cos x sin x cos x
4 2
π −
 
= + = − ⇒ =
 
 
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2 2
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loại) t = 1+ − − = ⇔ + − ⇔ ∨ − ⇔
41.
1 1 10
cosx sin x
cosx sin x 3
+ + + =
1 10
(sinx cos x) 1
sin x cos x 3
 
⇔ + + =
 
 
2

sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
 
= =

π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
  
= −
= − = −

 
43.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cos x 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2

4
vo â nghiệm
4
4
m2
sin3x 1
x
2 sin3x 1
6 3
π

 π
π
 
= + π


+ =
= + π
  
 
⇔ ⇔
 
  
π π
  
=
= +
− =


x k2
π

 
= − = = =
= + π
 
π
 

⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ =
   

= ± =
= − =
 
 
 
= π

46.
)sin(cossin x322xx
−=+
(1)
VT sinx cos x 2 cos x 2
4
π
 
= + = − ≤
 

π+
π
=⇔π=
π
−⇔ 2k
4
x2k
4
x1)(
( k ∈ Z)
thế vào (2) ta có :
3 3 2
sin3x sin k6 sin 1
4 4 2
π π
 
= + π = = ≠
 
 
Vậy phương trình vô nghiệm
47.
x35x2x4
2
sin)cos(cos
+=−
4xx34xx32VT
222
≤=−=
sinsin)sinsin(
.

sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin
)(
3
22222
4x3
1x
1x3
1x
1x3
1xx3
4x35
4xx34
1
Khi
Z)(k sin
∈π+
π
=⇔=
2k
2
x1x

thế vào (2) ta có :
143x3
−=−=

5x25VT
2
≥+=
sin
Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔
Z)(k
∈
π
=
2
k
x
(*)
5xx41x2xVP
22
=++≤+= cossincossin
10
Dấu bằng xảy ra ⇔
2
1
tgx
2
x
1
x
=⇔=
cossin
(**)
Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm
49.

π
 
− ≤
 
 
và
cos x 1
3
π
 
− ≤
 
 
nên (*)
2
sin 2x 1
sin 2x 1 sin k4 1
sin 1
6
6 3 6
2
x k2
3
x k2
cos x 1
x k2 x k2
3
3
3 3
 π

 
 


Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= 2k
3
x
(k ∈ Z)
50.
1xx2
=
coscos
2xx31xx3
2
1
=+⇔=+⇔
coscos)cos(cos
(*)
Vì
1x3
≤
cos
và
1x
≤
cos
nên (*)

cos
cos
cos
(k ∈ Z)
51.
1xx2
2
+=
cos
(*)
Vì
1x2
≤
cos
và
11x
2
≥+
nên (*)
0x
10
0x
1x2
11x
2
=⇔



=

−=+−
−=
⇔



−=−
−=
⇔



−=
−=
⇔
2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)

2 2
4sin x 4sin x 1 3tg x 2 3tgx 1 0⇔ − + + − + =
2 2
sin x 1/ 2 (1)
(2sin x 1) ( 3tgx 1) 0
tgx 3 / 3 (2)
=


⇔ − + − = ⇔

=


5
(1) x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = + π ∨ = + π ∈
thế vào (2) ta có nghiệm
π+
π
= 2k
6
x
, (k ∈ Z)
55.
2
x 2xsin x 2cos x 2 0
− − + =

sinsinsin
cos
sin
)(cos)sin(
Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0
56.
2
x
cos2x 1
2
= +
12