Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 09:
CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TRONG
THIẾT KẾ CƠ KHÍ
Thời lượng: 6 tiết


Thiết kế về hình dạng
x1
x2

Thiết kế hình chữ nhật trong 2 trường
hợp sau:
a) Chu vi của nó bằng C và diện tích
của nó lớn nhất có thể
b) Diện tích của nó bằng S và chu vi
của nó nhỏ nhất có thể

Gọi x1, x2 là độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, ta có các công thức:
Chu vi hình chữ nhật:
P  2  x1  x2 
Diện tích hình chữ nhật: A  x1 x2
Mô hình toán 1:

Mô hình toán 2:

f  x1 , x2   x1 x2  max

f  x1 , x2   2  x1  x2   min

nhất có thể.

Mảnh cần rào lại để trồng trọt


Quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa

5

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,
nó sẽ bao gồm 2 loại:
- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số
- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán
Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm
mục tiêu và các hàm ràng buộc
Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính
toán các hàm mục tiêu và ràng buộc
Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng
buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ
thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm. Các
ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời
giải. SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN.


Quy trình 2 lập mô hình toán tối ưu hóa

6



7


Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

8

Hãy thiết kế kích thước mặt cắt ngang của một cái dầm công-xon bằng
thép dài L=2m chịu tải P=20 kN ở một đầu như hình vẽ để sao cho nó
đủ bền khi chịu uốn và cắt, độ võng tối đa của đầu chịu lực là 1 cm,
đồng thời ít tốt vật liệu nhất có thể. Cho biết bề rộng 60mm ≤ w ≤
300mm, bề dày 10mm ≤ t ≤ 40mm. Tỉ lệ w/t không vượt quá 8.
Cho E=21e4 N/mm2, G=8e4 N/mm2, [σu]=165 N/mm2, [τc]=90 N/mm2


Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:
- Các hằng số:
L=2e3 mm – chiều dài dầm
P=2e4 N – tải trọng tác dụng vào đầu dầm
E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm
G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm

9

[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải
[σu]=165 N/mm2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm
[τc]=90 N/mm2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm
- Các tham biến điều khiển:
w [mm] – bề rộng mặt cắt


11

5.1. Vẽ các biểu đồ Qy và Mx để tìm mặt cắt có các nội lực lớn nhất
20 kN

z

A là mặt cắt có nội
lực Qy và Mx lớn
nhất với:

Qy
z

Q

max
y

 20 kN
= 2e4 N

Mx
z

M xmax  40 kN.m
 4e7 N.mm



1

Adac2

1 dac
yC 2

1
2
Arong

1 rong
yC 2

w   w  2t 
w  w  w  2t  w  2t 
Ix 


12
12
12
3

3

4

4



4
4
w   w  2t 
2t
12
3

1

 max   b 

Qymax  S x 2
b*  I x

3

3e4 w   w  2t 


2 t  w4   w  2t 4 


3

13

3




EI x


3

e4
z
2
v  z  

2e3
z
  


EI
3

x 


Điều kiện biên: Tại A (z=0) là ngàm nên
góc xoay và độ võng bằng 0, do đó:
c1  0

c2  0

Ta dễ thấy do z thuộc [0..2e3] mm, nên
hàm góc xoay θ(z)
5.6. Tính diện tích của mặt cắt (thay vì tính khối lượng của dầm)

A  w   w  2t 
2

2

Phát biểu mô hình toán:
Gọi w=x1, t=x2, ta có:
Đây là bài toán tối ưu hóa phi
tuyến với ràng buộc bất đẳng
thức: 2 tham biến và 8 ràng
buộc bất đẳng thức.

f  x1 , x2   x12   x1  2 x2   min
2

  24e7  x1
 165
 4
4
 x1   x1  2 x2 

3
3
x

x

2

16

Abh
bh3
Ix 
12
S x  yc  A 

- Điểm b
 b   max 

3 Qy
2bh

  

b  h2  4 y 2 

- Điểm a
 a   max 

6 Mx
  
bh 2

8


Ứng suất đơn và trượt thuần túy



- Điểm a
 a   max

24 M x

  
2
bh

- Điểm b
Nếu mặt cắt đang
xét ko có Mx
b 

3 Qy
bh

  

- Điểm b
Nếu mặt cắt đang xét có cả Mx
 btd   c2  4 c2 

3  4 M x2  4h 2Qy2
bh 2

  






 d
  R4  r 4 


4 Qy
 
 d 3  R 2  r 2 

  dtd   d2  4 d2   


x

- Điểm b
 b   max 

3  R  r

R2  y2  r 2  y2 ;



R y
2

2


4
4

R

r




 a  0


19
BH 3  bh3
Ix 
;
12
h
H
 y1  ;
2
2

b1  B;
S1x 

B  H 2  4 y12 
8



6M x  h




 d
BH 3  bh3


3 Qy  H 2  h 2  B
 d 

3
3

2
BH

bh

 Bb

  dtd   d2  4 d2   


20
bh3  b  t  h1
Ix  Ix 



3
1

3
1



  

6 M x  h1




 d
bh3  bh13  th13 



2
2
  3 Qy b  h  h1 
 d 2t  bh3  bh3  th3 
1
1

  dtd   d2  4 d2


c

y

y


1
2



2 
2




- Điểm b (y = 0)

h  h1   h1  c2  

b
h

h
c






 a  0


Các tình huống
1st
y

Q

D
1st
y

E

Q
Qy

z

Q
M
Mx

Q

1st
x


22


23

Các tình huống
q  3 kN m

Qy2nd


Q1st
y
Qy

z

D
1st
y

E

Qy2nd


Q
M 1st
x


w0
za
2

Mx 

m
za
6

0

1

2

3

24


25

Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

Hãy lập mô hình toán thiết kế tối ưu khối lượng dầm, trong khi thỏa mãn được điều
kiện bền ứng suất pháp lớn nhất, điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất; điều kiện
bền ứng suất phẳng theo thuyết bền 3. Đồng thời chuyển vị lớn nhất trong dầm
không vượt quá 1 cm. Đối với các mặt cắt thành mỏng thì tỉ lệ các kích thước lớn