KILOBOOKS.COM

MỤC LỤC

Lời mở đầu
Chương 1. Giới thiệu mơ hỡnh và một số kết quả lý thuyết đạt được
1.1 Giới thiệu
1.2 Nghiệm địa phương
1.3 Nghiệm khơng âm
1.4 Nghiệm tồn cục
1.5 Hệ động lực
1.6 Hàm Lyapunov
1.7 Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất
Chương 2. Phương pháp ADI và một số thuật tốn liên quan
2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI
2.1.1 Giới thiệu
2.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai
2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân
2.1.4 Phương pháp ADI
2.2 Một số thuật tốn liên quan
2.2.1 Thuật tốn Thomas
2.2.2 Thuật tốn Newton
Chương 3. Giải số mơ hình
3.1 Giải số mơ hình
3.2 Một số kết quả tính tốn được
Kết Luận
Tài liệu tham khảo
Phụ Lục http://kilobooks.com

v w d
t
x


=





=




= +

(0.1)

Trong ú n hm
( , )u t x
v
( , )v t x
ln lt l mt cõy non v cõy gi ti v
trớ
x

>
l t l cht ca cõy non, ph thuc vo mt cõy gi
v
;
0
f
>
l tc phỏt trin ca cõy non v
0h >
l t l cht ca cừy gi.
http://kilobooks.com
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

2
M hnh ny ú c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu. Trong [3], v
[4], L. H. Chun, A. Yagi v T. Tsujikawa ú nghin cu m hnh trong trng
hp hai chiu. Bng cỏch bin i h phng trnh (0.1) v phng trnh tin
hỳa dng parabolic v s dng cng c na nhỳm gii tch, cc tc gi ú xừy
dng c nghim tng quỏt cho mụ hnh, nghin cu s n nh v dỏng iu
tim cn ca nghim khi thi gian ln.
Da trn cc kt qu lý thuyt ú t c, lun vn nghiờn cu vic xõy
thun toỏn v vit chng trnh gii s mụ hnh Cu Trc Tui trong trng
hp hai chiu. H (0.1) l mt h phng trnh vi phừn o hm riờng khỏ phc
tp khụng cú phng phỏp gii ỳng. Phng phỏp gii gn ỳng c s dng
trong lun vn l phng phỏp sai phõn, kt hp vi phng phỏp ADI
(Alternating Direction Implicit) gim thi gian tnh ton v tng chnh
xc.
Lun vn gm cỳ ba chng:
Chng 1. Gii thiu m hnh Cu Trc Tui m t s pht trin ca

trên (0, ),
0 trên (0, ),
( ,0) ( ),
( ,0) ( ), ( ,0) ( ) trên .
u
βδw γ v u fu
t
v
fu hv
t
w
d w βw αv
t
w
n
u x u x
v x v x w x w x
∂

= − − Ω × ∞

∂

∂
= − Ω × ∞

∂

∂


thời gian
(0, )t ∈ ∞
. Ẩn hàm
( , )w t x
là mật độ hạt trong không khí tại
x ∈Ω
và
(0, )t ∈ ∞
. Phương trỡnh thứ ba của (1.1) mụ tả sự biến đổi hạt,
0d >
là hằng số
khuếch tỏn của hạt;
0
α
>
và
0
β
>
lần lượt là tốc độ tạo hạt của cây già và tốc độ
lắng đọng của hạt. Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai của (1.1) mụ tả sự phỏt
triển của cõy non và cõy già;
0 1
δ
< ≤
là tỷ lệ nảy mầm của hạt,
( ) 0γ v >
là tỷ lệ
chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già
v

0
( ) 0
u x
≥
,
0
( ) 0
v x
≥
và
0
( ) 0
w x
≥

http://kilobooks.com
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

4

c cho trờn

. Gi

s

r

ng t

v
c
l cỏc h

ng s

d

ng, t

c l ta cú th

th

y t

l

ch

t c

a cõy
non ph

thu

c vo cõy gi v

t giỏ tr

t

c (xem [3] v
[4]).
1.2. Nghim a phng
Trong mc ny, ta i xõy dng nghim a phng cho (1.1) trờn khụng gian nn
2
; ( ), ( ), ( ) ,
u
X v u L v L w L
w


=




v khụng gian cỏc giỏ tr ban u
0
0 0 0 0
0
; 0, 0, 0
u

2
( ) ; , ( ), ( )
N
u
D A v u v L w H
w



=




,
trong ú

l toỏn t úng liờn kt vi toỏn t Laplace
d +
trong
2
( )L

vi iu kin biờn Neumann. Min xỏc nh ca

=
,
u
U v X
w=
.
http://kilobooks.com
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

5
Khi đó, hệ phương trỡnh (1.1) được viết lại dưới dạng sau:

0
( ),
0 .
(0) ,
dU
AU F U
t
dt

N
u v C T L C T L
w C T L C T L C T H
∞ ∞

∈ Ω ∩ Ω


∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω


(1.3)
Trong đó
1
0T >
được xác định chỉ bởi
0
U
.
1.3. Nghiệm khụng õm
Định lý 1.2. Cho
0
U K
∈
và giả sử
( , , )U u v w=
là nghiệm địa phương của
(1.2) thu được trong Định lý 1.1. Khi đó
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0u t v t w t≥ ≥ ≥
trờn

w
d w βw αχ v
t
w
n
u x u x v x v x w x w x
∂

= − − Ω × ∞

∂

∂
= − Ω × ∞

∂


∂
= ∆ − + Ω × ∞

∂

∂

= ∂Ω× ∞
∂


= = =


=

<

% %
%
%
χ

Dễ thấy
2 1 2 1 1 2
| ( ) ( ) | | | , Rχ v χ v v v v v− ≤ − ∀ ∈
% % % % % %
. Sử dụng Định lý 1.1, ta suy ra
(1.4) có nghiệm địa phương duy nhất
( , , w)u v
% % %
trong [0,
2
T
] với

2
T

được xác định
bởi
0
U

( ) ( ( , )) , 0t H w x t dx t T
Ω
Ψ = ≤ ≤
∫
%
. Dễ thấy
1
( )tΨ
là hàm liên tục không âm có
đạo hàm
' '' 2 ' '
1
( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) 0.t d H w w dx H w wdx H w v dx
β α χ
Ω Ω Ω
Ψ = − ∇ − + ≤
∫ ∫ ∫
% % % % % %

Vỡ
1
(0) 0Ψ =
, ta suy ra
1
( ) 0tΨ =
với mọi
2
[0, ]t T∈
. Do đó
( ) 0w t

Vỡ
0w ≥
%
,
2
(0) 0
Ψ =
nờn
( ) 0u t
≥
%
trong
2
[0, ]T
. Tương tự ta có
0v
≥
%
.
Vỡ
0v
≥
%
nờn
( )v v
χ
=
% %
, chứng tỏ (
, ,u v w

1.4. Nghiệm tồn cục
Để xây dựng nghiệm tồn cục của bài tốn, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau:
Định lý 1.3. Cho
0
U K∈
và giả sử rằng
( , , )U u v w=
là nghiệm địa phương
của phương trỡnh (1.2) trờn khoảng
[0, ]
U
T
như sau:
1
2 1 2 2
0 , ([0, ); ( )) ((0, ); ( ),
0 ([0, ); ( )) ((0, ); ( )) ((0, ); ( )).
U U
U U U N
u v C T L C T L
w C T L C T L C T H
∞ ∞

≤ ∈ Ω ∩ Ω


≤ ∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω





≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω


≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω ∩ ∞ Ω



Chứng minh:
Theo Định lý 1.2, bài tốn ln có duy nhất nghiệm địa phương
U
trong
0
[0, ]T
. Theo Định lý 1.3,
0
( )U T
được xác định bởi
0
U
. Do đó nghiệm
U
cú
thể thỏc triển thành nghiệm địa phương trên
0
[0, ]T
τ
+
với
0

{ S(t) }
t
trn
K
bi
0 0
( ) ( , )S t U U t U=
.
Do ú ta xõy dng c mt h ng lc
( ( ), , )S t K X
sinh ra bi h phng
trnh (1.1).
1.6. Hm Lyapunov
Trong phn ny ta s i xõy dng hm Lyapunov cho (1.1). Gi s
( , , )u v w
l nghim ton cc ca (1.1) vi giỏ tr ban u
0 0 0 0
( , , )U u v w K=
.
t
( ) ( ) ( ), 0t fu t hv t t= <

.
T hai phng trnh u ca (1.1) ta cú
- { ( ) } { ( ) }, 0 .f w v f h h v v fv t
t



= + + + < <

v
v v v fv dv

= +

.
Tng t nhõn phng trnh th ba ca (1.1) vi
w
t


v ly tch phừn
trn min

ta c
2 2 2
| | ( )
2 2
d d d w w
w dx w dx v dx dx
dt dt t x


+ =




.
T hai ng thc trờn cho ta

2
2 2 2
( ) [ ( ) | | ( ) ( ) ]
2 2 2
df f
U fu hv w h v w f uv dx
α βδ β δ
α αβδ
Ω
Ψ = − + ∇ + Γ + −
∫

là hàm Lyapunov của (1.1).

1.7. Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất
Giải sử
( , , )u v w
là nghiệm dừng, thuần nhất và không âm của (1.1). Khi đó
0
u
≥
,
0
v
≥
và
0
w
≥
thỏ

ab c f
< ≤
+ +
thỡ (1.6) cú hai nghiệm
(0,0,0)O =
và
( ), , ( )
h α
P b D b D b D
f β
+
 
= + + +
 
 
, trong đó
( )
,
fαδ c f h
D
ah
− +
=
và
cả hai nghiệm đó đều ổn định.
• Nếu
2
fαδ fαδ
h
c f

=
+
thỡ (1.6) cú hai nghiệm
(0,0,0)O =
và
, ,
hb
α
b
P b
f
β
 
=
 
 
.
http://kilobooks.com
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

10
Nu
f

h
c f
< < +
+
th (1.6) cỳ nghim duy nht

ng dng vt lý, thuyt thu ng hc, c hc lng t V hu nh cỏc bi
toỏn ny thng rt phc tp, nhiu bi toỏn khụng cú nghim theo ngha c
in, tuy nhiờn trong mt s trng hp li cú th tm c nghim mt cỏch
khỏ hiu qu. Trong s nhng phng phỏp gii gn ỳng phng trnh o
hm riờng th phng phỏp li (hay phng phỏp sai phõn) c s dng khỏ
rng rúi nht.
2.1.2. Phõn loi phng trnh tuyn tnh cp 2
Xt bi ton tuyn tnh cp 2

2 2
2 2
.
u u
u
x y = +
2 2 2
2 2
2 ( , ).
u u u u u
Lu A B C a b CU f x y
x x y y x y


= + + + + + =
(2.1)
t D =
A B

2
2 2
.
u u
a
t x=2.1.3. Cỏc bc chớnh ca phng phỏp sai phõn
Ri rc ho min
.

Thay ton t vi phừn bng ton t sai phừn.
Gii h phng trnh i s tuyn tớnh thu c.
http://kilobooks.com
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
KILOBOOKS.COM

12
Kho sỏt s hi t v n nh ca lc sai phõn.
a) Ri rc ho min
Hnh 2.1. Li ng dng s dng cho sai phõn hu hn.
Trong phm vi lun vn, ta ch xột min


. im k ca (j, k) l cỏc im
( 1, )j k
v
( , 1)j k
.
Ký hiu
{ }
( , ) : 0 ,0
h
j k j J k K =
. Tp hp cỏc im trong

{ }
( , ) : 0 ,0
h
j k j J k K = < < < <
,
v
\
h
h h
=
c gi l cỏc im biờn.
b) Thay ton t vi phừn bng ton t sai phừn
Ta xt bin thi gian t trn min T = (0, +). Ri rc ho min T bng t,
nh vy ta cú:
0 1 2
0, , 2t t t t t= = =
v ký hiu
,


(2.2)
sai phõn lựi theo hng x
, , 1,
.
n n n
j k j k j k
u u u
x x


=

(2.3)
T (2.2) v (2.3) ta cú sai phõn trung tõm theo hng x
, 1, 1,
.
2
n n n
j k j k j k
u u u
x x
+

=Tng t sai phõn theo hng y ta cỳ
, , 1 , , , 1
,

j k j k j k j k
u u u u
x x
+
+
=2
, , 1 , , 1
2 2
2
.
n n n n
j k j k j k j k
u u u u
y y
+
+
=c) Sau khi c biu din di dng sai phõn, cỏc phng trnh o hm
riờng cú dng mt h phng trnh i s tuyn tớnh Ax = b, trong ú A thng
cú dng ma trn chộo, tha. gii h ny ta s dng thut toỏn thut toỏn
Thomas.
Xột phng trnh sau
2 2
2 2
( ) : ,

j k j k
j k j k j k j k h
u u u u u u u u
L u a b c
x y x
u u
d g u f j k
y
+ − + − + −
+ −
− + − + −
= + +
∆ ∆ ∆
−
+ + = ∈Ω
∆
(2.5)
Ta gọi (2.5) là sơ đồ 5 điểm
( , ),( 1, ),( , 1)j k j k j k± ±
. Gộp các số hạng đồng dạng
trong (2.5) ta được
, , 1, , 1, , , 1 , , 1 , , ,
( ): ,
h j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k
L u A u B u C u D u E u f
+ − + −
= + + + − =

trong đó


, (điều kiện để
( )L u
là toỏn tử eliptic).
● g
≤
0
( , )x y∀ ∈ Ω
, (điều kiện để (2.4) có nghiệm).
Để chứng minh hệ phương trỡnh sai phõn
, ,
, ,
( )
|
h
h j k j k
j k j k
L u f
u
ϕ
∂ Ω
=



=



giải được duy nhất, ta cần chứng tỏ hệ phương trỡnh (tuyến tính) thuần nhất
tương ứng

THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
KILOBOOKS.COM

15
,
( ) 0, ( , ) ,
h j k h
L v j k

hoc
,
( ) 0, ( , ) .
h j k h
L v j k

Khi ú
,
{v }
j k
khụng t max dng (hoc min õm) trong
h

.
Chng minh:
Gi s
,
( ) 0
h j k
L v
v

). Ta cỳ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, , , , , , ,
0 ( ) { } 0,
h j k j k j k j k j k j k j k
L v M A B C D E Mg < + + + =

v
0g
. iu mõu thun ny chng t
,
max 0
h
j k
v


.
p dng nguyn lý maximum, d dng chng minh c h phng
trnh thun nht ch cỳ nghim tm thng
,
0, ( , )
j k h
u j k
. T ú suy ra h
phng trnh sai phừn

, ,
, ,

h
h U
F
.
Song song vi bi ton lin tc ta xt bi ton ri rc sau
http://kilobooks.com
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN