SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI
TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VÉC TƠ
MỞ ĐẦU.
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Vật lý là một bộ phận khoa học tự nhiên nghiên cứu về các hiện tượng vật lý
nói chung và điện học nói riêng. Những thành tựu của vật lý được ứng dụng vào thực tiễn
sản xuất và ngược lại chính chính thực tiễn sản xuất đã thúc đẩy khoa học vật lý phát
triển. Vì vậy học vật lý không chỉ đơn thuần là học lý thuyết vật lý mà phải biết vận dụng
vật lý vào thực tiễn sản xuất. Do đó trong quá trình giảng dạy người giáo viên phải rèn
luyện cho học sinh có được những kỹ năng, kỹ xảo và thường xuyên vận dụng những
hiểu biết đã học để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra.
Bộ môn vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung cấp
cho học sinh những kiến thức phổ thông, cơ bản, có hệ thống toàn diện về vật lý. Hệ
thống kiến thức này phải thiết thực và có tính kỹ thuật tổng hợp và đặc biệt phải phù hợp
với quan điểm vật lý hiện đại. Để học sinh có thể hiểu được một cách sâu sắc và đủ
những kiến thức và áp dụng các kiến thức đó vào thực tiễn cuộc sống thì cần phải rèn
luyện cho các học sinh những kỹ năng, kỹ xảo thục hành như: Kỹ năng, kỹ xảo giải bài
tập, kỹ đo lường, quan sát ….
Bài tập vật lý với tư cách là một phương pháp dạy học, nó có ý nghĩa hết sức quan

- Lý thuyết về mạch điện xoay chiều
-Lý thuyết về giản đồ véc tơ
- Vận dung lý thuyết trên để giải một số bài toán
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lý thuyết
- Giải các bài tập vận dụng
V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trong việc giải các bài tập về dòng điện xoay chiều, đa số học sinh thường dùng phương
pháp đại số còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh thường ngại dùng. Điều đó là rất
đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán điện xoay chiều rất hay và ngắn
gọn đặc biệt là các bài toán liên quan đến độ lệch pha. Có nhiều bài toán khi giải bằng phương
pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ ra rất
hiệu quả ở sự ngắn gọn, trực quan.

Việc khai thác có hiệu quả phương pháp, sẽ góp phần nâng cao chất lượng nắm kiến thức
cũng như khả năng vận dụng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
VI. GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
-Trong giới hạn đề tài tôi chỉ đưa ra phương pháp giải nhanh bài toán khảo sát mạch điện
bằng phương pháp giản đồ véc tơ.
- Đối tượng áp dụng:Tất cả các học sinh
V. NỘI DUNG: CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

1 DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
* Cách tạo ra dòng điện xoay chiều
Khung dây kim loại kín quay đều với vận tốc góc w quanh trục đối xứng của nó
trong từ trường đều có véc tơ cảm ứng từ
®

R
C
L
w
w
1
-
.
* Các giá trị hiệu dụng của dòng điện xoay chiều
I =
2
o
I
; U =
2
o
U
và E =
2
o
E
.
* Lý do sử dụng các giá trị hiệu dụng của dòng điện xoay chiều
+ Với dòng điện xoay chiều ta khó xác định các giá trị tức thời của i và u vì chúng
biến thiên rất nhanh, cũng không thể lấy giá trị trung bình của chúng vì trong một chu kỳ,
giá trị đó bằng 0.
+ Khi sử dụng dòng điện xoay chiều, ta cần quan tâm tới không phải là tác dụng
tức thời của nó ở từng thời điểm mà là tác dụng của nó trong một thời gian dài.
+ Tác dụng nhiệt của dòng điện tỉ lệ với bình phương của cường độ dòng điện nên
không phụ thuộc vào chiều dòng điện.

L
sớm pha hơn i góc
2
p
.
I =
L
L
Z
U
; với Z
L
= wL là cảm kháng của cuộn dây.
+ Đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp (không phân nhánh):
Độ lệch pha j giữa u và i xác định theo biểu thức:
tgj =
R
ZZ
CL
-
=
R
C
L
w
w
1
+

Cường độ hiệu dụng xác định theo định luật Ôm: I =

> Z
C
thì u nhanh pha hơn i (đoạn mạch có tính cảm kháng).
Khi Z
L
< Z
C
thì u trể pha hơn i (đoạn mạch có tính dung kháng).
R tiêu thụ năng lượng dưới dạng toả nhiệt, Z
L
và Z
C
không tiêu thụ năng lượng của
nguồn điện xoay chiều.

* Cách nhận biết cuộn dây có điện trở thuần r
+ Xét toàn mạch, nếu: Z ¹
22
)(
CL
ZZR -+ ; U ¹
22
)(
CLR
UUU -+ hoặc P ¹ I
2
R
hoặc cosj ¹
Z
R

.
+ Ý nghĩa của hệ số công suất cosj
- Trường hợp cosj = 1 tức là j = 0: mạch chỉ có R, hoặc mạch RLC có cộng
hưởng điện (Z
L
= Z
C
) thì P = Pmax = UI =
R
U
2
.
- Trường hợp cosj = 0 tức là j = ±
2
p
: Mạch chỉ có L, hoặc chỉ có C, hoặc có
cả L và C mà không có R thì P = P
min
= 0.
- Để nâng cao hệ số công suất của mạch bằng cách mắc thêm vào mạch cuộn
cảm hoặc tụ điện thích hợp sao cho cảm kháng và dung kháng của mạch xấp xỉ bằng
nhau để cosj » 1.
- Đối với các động cơ điện, tủ lạnh, … nâng cao hệ số công suất cosj để giảm
cường độ dòng điện.

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VÉC TƠ.
Trong các tài liệu hiện có, các tác giả hay đề cập

. Khi ú vộc t
AC
c gi l tng ca hai vộc t
bvà
r
r
a
(Xem hỡnh 2.1.a).
2.1.b. Quy tc hỡnh bỡnh hnh
Ni dung ca quy tc hỡnh bỡnh hnh l: T im A tu ý ta v hai vộc t
bADaAB
r
v
== và
,
sau ú dng im C sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh thỡ vộc t
AC
c gi l tng ca hai
vộc t
bvà
r
r
a
(xem hỡnh 2.1.b). Ta thy khi dựng quy tc hỡnh bỡnh hnh cỏc vộc t u cú
chung mt gc A nờn gi l cỏc vộc t buc.
Vn dng quy tc hỡnh bỡnh hnh cng cỏc vộc t trong bi toỏn in xoay chiu ta cú
phng phỏp vộc t buc, cũn nu vn dng quy tc tam giỏc thỡ ta cú phng phỏp vộc t trt
(cỏc vộc t ni uụi nhau)
2.2. C s vt lớ ca phng phỏp gin vộc t
Xột mch in nh hỡnh1.2. a. t vo 2 u on AB mt hiu in th xoay chiu. Ti

p
w
tUU
tUU
tUU
NB
MN
AM

+ Do ú hiu in th hai u A, B l:
NBMNAMAB
uuuu ++= .
+ Cỏc i lng bin thiờn iu ho cựng tn s nờn chỳng cú th biu din bng cỏc vộc t
Frexnel:
CRLAB
UUUU
r
r
r
r
++= (trong ú ln ca cỏc vộc t biu th hiu in th hiu dng ca nú).
+ thc hin cng cỏc vộc t trờn ta phi vn dng mt trong hai quy tc cng vộc t.
2.2.a. Phng phỏp vộc t trt
V gin vộc t theo phng phỏp vộc t trt gm cỏc bc nh sau (Xem hỡnh 1.2. b):
+ Chn trc ngang l trc dũng in, im u mch lm gc (ú l im A).
+ V ln lt cỏc vộc t:
NB,MN,AM
ni uụi nhau theo nguyờn tc: R - i ngang, L - i lờn,
C - i xung.
+ Ni A vi B thỡ vộc t

a
là góc BAD (nhỏ hơn 180
0
). Việc giải các bài toán là nhằm xác
định độ lớn các cạnh và các góc của các tam giác hoặc tứ giác, nhờ các hệ thức lượng trong tam
giác vuông, các hệ thức lượng giác, các định lí hàm số sin, hàm số cos và các công thức toán
học.
+ Trong toán học một tam giác sẽ giải được nếu biết trước 3 (hai cạnh một góc, hai góc một
cạnh, ba cạnh) trong số 6 yếu (ba góc trong và ba cạnh). Để làm điều đó ta sử dụng các định lí
hàm số sin và định lí hàm số cosin (xem hình bên).

Hình 1.2
giản đồ véctơ tam giác biết trước ba yếu tố (hai cạnh một góc, hai góc một cạnh), sau đó giải
tam giác đó để tìm các yếu tố chưa biết, cứ tiếp tục như vậy cho các tam giác còn lại.
Độ dài cạnh của tam giác trên giản đồ biểu
thị hiệu điện thế hiệu dụng, độ lớn góc biểu thị độ
lệch pha.
2.2.b. Phương pháp véc tơ buộc.
( Vẽ giản đồ véc tơ Frexnel)
+ Chọn trục ngang là trục dòng điện, điểm O làm
gốc.
+ Vẽ lần lượt các véc tơ:
CLR
UU,U
r
r
r
“cùng chung
một gốc O” theo nguyên tắc:
R
U
r
- trùng với
I
r
,
L
U
r


+ Chú ý đến một số hệ thức trong tam giác vuông: ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+=
+=
'c'.bh
cbh
cba
2
222
222
111 Giải:
Cách 1: Phương pháp véctơ buộc (xem hình 2. 1.a).
+ Vì
(
)
VUU
MBAB
200==
nên tam giác
MBAB
UOU
là tam giác cân tại O. Chú ý
(
)
2
22
2200200200 =+
nên tam giác đó là tam giác vuông cân tại O.
+ Do đó tam giác
MBR
UOU
cũng là tam giác vuông cân tại
R
U
:
2100
2

ĐS: 2100==
CR
UU
Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ bên. Điện
trở
(
)
W= 80R
, các vôn kế có điện trở rất lớn. Đặt vào
hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế
(
)
240 2 100
AB
u cos t V
p
=
thì dòng điện chạy trong
mạch có giá trị hiệu dụng
)(3 AI =
. Hiệu điện thế
tức thời hai đầu các vôn kế lệch pha nhau
2
p
, còn số chỉ của vôn kế
2
V là )(380
2
VU
V

U
ZVtgUU
C
CRC
.
( ) ( )
W
3
200
==Þ200=j2380+=
I
U
ZVUU
L
LCL
sin

+ Số chỉ của Vôn kế V
1
:
( )
V
cos
U
UU
R
ANV
160
1
=

MBA
bj

00
3060 =-=Þ
ja+ Xét DAMN:
(
)
( )
ï
î
ï
í
ì
===
===
V
cos
AM
ANU
,VAMtgMNU
V
C
160
30
8030
0

p
8
10.3
100
1
3
80
3
2
100
3
200
3

+ Xét DABG:
(
)
Vsin.ABUGBUU
CCL
200=j+=+= .

( )
W=
-
=
-
==Þ 40
cos.
I
AMAB

các phần tử trong mạch
( ) ( )
rRFCHL 2,
50
,
1
===
p
p
. Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch
(
)
0
s100
u U co t V
p
= . Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là
(
)
VU
AN
200= và hiệu điện thế
tức thời giữa hai điểm MN lệch pha so với hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm AB là
2
p
. Xác
định các giá trị
rRU ,,
0
. Viết biểu thức dòng điện trong mạch.

1
22 =Þ=Þ= . Suy ra, M là trọng tâm của ABN
D
.
+ Vậy, M vừa là trọng tâm vừa là trực tâm của
ABN
D
, do đó
ABN
D
đều, tức là:
(
)
VNBANAB 200=== .
+ Tính được:
(
)
VABUU
AB
220022
0
===

+ Cường độ hiệu dụng:
)(1
200
200
A
Z
NB

R
VAOU
R
R

+ Từ giản đồ nhận thấy,
AB
i
sớm pha hơn
AB
u
là
6
p
.
+ Vậy, biểu thức dòng điện:
( )
2 os 100
6
i c t A
p
p
æ ö
= +
ç ÷
è ø
.
Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình 2.5.).
+ Tương tự như cách 2, ta thấy tam giác OFE là tam giác đều vì G vừa là trọng tâm vừa là trực
tâm, suy ra:

200
30cos200.
3
2
cos
3
2
3
2
0
VUOHU
ABR
====
j

)(
3
100
),(
3
200
W=W==Þ r
I
U
R
R
. Từ giản đồ nhận thấy,
AB
i sớm pha hơn
AB

os100
AB
u U c t V
p
= , hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là
(
)
VU
AN
300= , và giữa hai điểm M, B là
(
)
VU
MB
360=
. Hiệu điện thế tức thời
AN
u lệch pha so
với
MB
u là
2
p
. Xác định U
0
, độ tự cảm của cuộn dây L và điện dung của tụ điện C. Viết biểu
thức dòng điện trong mạch.
Giải:
Cách 1: Phương pháp véc tơ trượt (hình
2.6.).

+ Xét
)(90cos: VMBOBMOB
=
=
D
a

+ Xét
î
í
ì
==
===
D
)(3150cos
)(150sin
:
VANOA
VANONU
AOB
L
a
a

)(1)(330
5
A
r
U
IV

VOBAOUU
AB
=+==
+ Độ lệch pha u
AB
so với dòng điện:
p-»jÞ-=
+
-
=j 106,0
5
3
AB
CL
AB
r
R
ZZ
tg

+ Biểu thức dòng điện:
(
)
(
)
2 os 100 0,106
i c t A
p p
= +
Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (hình 2.7).

=Þ=
aa
tg
+ Từ đó tính ra:
( ) ( )
A
r
U
IVU
r
r
1330sin.360 ==Þ==
a

(
)
VU
L
150sin.300 ==
a
( )
W==Þ 150
I
U
Z
L
L

(
)

tg

+ Biểu thức dòng điện:
(
)
(
)
2 os 100 0,106
i c t A
p p
= +
2.BÀI TOÁN HỘP ĐEN.
Bài toán trong mạch điện có chứa một hộp kín.
BÀI 1: Cho mạch điện như hình vẽ
U
AB
= 120(V); Z
C
=
)(310 W

R = 10(W); u
AN
= 60
6 cos100 ( )
t v
p

U
AB

V
3

+ Xột tham giỏc ANB, ta nhn thy
AB
2
= AN
2
+ NB
2
, vy ú l tam giỏc
vuụng ti N
tga =
3
1
360
60
AN
NB
==

ị
6
p
=a
ị U
AB
sm pha so vi U
AN
1 gúc

+ Xột tam giỏc vuụng AMN:
6
3
1
Z
R
U
U
tg
CC
R
p
=bị===b

+ Xột tam giỏc vuụng NDB

)V(30
2
1
.60sinUU
)V(330
2
3
.60cosUU
NBL
NBR
O
O
==b=
==b=

10
L)(
3
10
33
30
I
U
Z
)(10
33
330
I
U
R
)A(33
10
330
I
O
L
L
R
O
O
O
O

BI 2: Cho mch in nh hỡnh v:
U

A
M
N
B
i
U
A
N
U
N
B
U
R
0
U
l
0
D
a. Vit biu thc u
AB
(t)
b. Xỏc nh X. Bit X l on mch gm hai trong ba phn t (R
O
, L
o
(thun), C
O
) mc
ni tip.
Gii

ị u
AB
sm pha so vi u
AN
mt gúc 0,1p
*
2
NB
2
AN
2
AB
UUU
+
=
= 180
2
+ 60
2
ằ 190
0
ị U
Ab
= 190(V)

đ biu thc u
AB
(t): u
AB
=

90
Z
R
U
U
tg
CC
R
====b

ị b = 45
0

ị U
C
= U
AN
.cosb = 180.
)A(2
90
290
Z
U
I290
2
2
C
C
===ị=


O
p
=
p
=ị

2. Bi toỏn trong mch in cú cha hai hp kớn
BI 2: Mt mch in xoay chiu cú s nh hỡnh v.
Trong hp X v Y ch cú mt linh kin
U
A
B
U
C
U
R
A
M
N
B
i
U
A
N
U
N
B
U
R
0

cos =j

42
2
310.1
65
cos
p
±=jÞ==jÞ

* Trường hợp 1: u
AB
sớm pha
4
p
so với i
Þ giản đồ véc tơ Vì:
î
í
ì
=
=
AMAB
MBAM
U3U
UU

Þ DAMB là D cân và U
AB
= 2U

- 30
0
= 15
0

Þ X phải là 1 cuộn cảm có tổng trở Z
X
gồm điện trở thuận R
X
và độ tự cảm L
X

Ta có:
)(10
1
10
I
U
Z
AM
X
W===

Xét tam giác AHM:
+
0
XX
0
XR
15cosZR15cosUU

p
=Þ
Xét tam giác vuông MKB: MBK = 15
0
(vì đối xứng)
Þ U
MB
sớm pha so với i một góc j
Y
= 90
0
- 15
0
= 75
0

Þ Y là một cuộn cảm có điện trở R
Y
và độ tự cảm L
Y

+ R
Y
=
X
L
Z
(vì U
AM
= U

L
Y
A
H
B
4
5
0
3
0
0
1
5
0
U
i
B
K
M
H
A
U
A
B
U
R
Y
U
X
U

AM
W==
Cuộn cảm X có điện trở thuần R
X
và độ tự cảm L
X
với R
X
= 2,59(W); R
Y
=9,66(W)
* Trường hợp 2: u
AB
trễ pha
4
p
so với i,
khi đó u
AM
và u
MB
cũng trễ pha hơn i (góc 15
0

và 75
0
). Như vậy mỗi hộp phải chứa tụ điện có
tổng trở Z
X
, Z

chứa 2 trong ba phần tử nên X phải chứa điện trở thuần (R
X
) và cuộn dây thuần cảm (L
X
). Cuộn
dây thuần cảm không có tác dụng với dòng điện một chiều nên: R
X
=
)(30
2
60
I
U
1
V
W==

* Khi mắc A, B vào nguồn điện xoay chiều Z
AM
=
2
L
2
X
V
X
1
ZR)(60
1
60

V
U
= 80V và hợp với véc tơ
AB
uuur

một góc 120
0
Þ ta vẽ được giản đồ véc tơ cho
toàn mạch. Từ giản đồ véc tơ ta thấy
MB
buộc phải chéo

BÀI 2: Cho hai hộp kín X, Y chỉ chứa 2 trong
ba phần tử: R, L (thuần), C mắc nối tiếp. Khi
mắc hai điểm A, M vào hai cực của một nguồn
điện một chiều thì I
a
= 2(A), U
V1
= 60(V).

4
5
0
3
0

Y phải chứa điện trở thuần (R
Y
) và tụ điện C
Y
.
+ Xét tam giác vuông MDB
)V(40
2
1
.8030sinUU
0
MBR
Y
===

)(40
1
40
I
U
R
Y
R
Y
W===Þ)H(
34,0
100

= U
MN
= 5V
U
NB
= 4V; U
MB
= 3V. Dùng oát kế đo công suất mạch được P = 1,6W
Khi f ¹ 50Hz thì số chỉ của ampe kế giảm. Biết R
A
» O; R
V
» ¥
a. Mỗi hộp kín X, Y, Z chứa linh kiện gì ?
b. Tìm giá trị của các linh kiện.
Giải
Theo đầu bài:
)V(8
2
28
U
AB
==

Khi f = 50Hz
U
AM
= U
MN
= 5V; U

Trong đoạn mạch điện không phân
nhánh RLC ta có
CRC
UvµUU ^
muộn pha hơn
R
U
Þ
AM
U
biểu diễn 6
0
0
i
A
U
r
y
U
A
B
U
r
x
U
c
y

X
Z
*
N
*
U
M
N
U
MN
U
MB
U
AM
A
M
B
N
MN
hiệu điện thế hai đầu điện trở R (X chứa R) và
NB
U biểu diễn hiệu điện thế hai đầu tụ điện (Z
chứa C). Mặt khác
MN
U
sớm pha so với
AM
U
một góc j
MN


Þ
)(15
2,0
3
I
U
I
U
r
)F(
2
10
100.20
1
C
)H(
2,0
100
20
L
)(15
2,0
3
I
U
ZZ
)(25
2,0
5

- Vẽ giản đồ véc tơ, lấy trục dòng điện làm gốc, các véc tơ chỉ các giá trị hiệu dụng.
Ta có:
R L C RC L
U U U U U U
= + + = +
ur ur ur ur ur ur

- áp dụng định lí hàm sin trong tam giác ABO.
sin
AB
b
=
sin sin
OA OB
B A
=
Û
sin sin sin
RC
L
U
U U
B A
b
= =
(1 )
+ Tìm U
L
max:
(1 )

b b
Þ = =
Þ

2 2
( )
C
L
U R Z
U max
R
+
=
(1)
+ Tìm L:
(1 )
sin
sin
RC
L
U
U
A
b
=
. Vì tam giác ABO vuông ở O nên sinA = CosB =
2 2
C
C
Z


I
r

C
U
ur

R
U
ur

RC
U
ur

U
ur

L
U
ur

O

B

A
2. Biện luận điện áp theo C:
- Vẽ giản đồ véc tơ, lấy trục dòng điện làm gốc, các véc tơ chỉ các giá trị hiệu dụng.

A
b
=
Ta có: U = const, sinA=
2 2
R
RL
L
U R
U
R Z
=
+
= const. Vậy
U
C
max khi sin
b
đạt giá trị max
sin 1( )
2
p
b b
Þ = =
Þ

2 2
( )
L
C

U R Z
U R Z Z
Z Z
+
= + Û =
Þ

2 2
2 2
1
L
L
R Z L
C
C L R Z
w w
+
= Þ =
+
(4)
Bài 1: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp, với L thay đổi được. Hiệu điện thế ở hai đầu
mạch là
120 2 cos(100 )
u t
p
=
(V),
30
R
= W

Bài giải:
= =
= = U
ur

R
U
ur

RL
U
ur

L
U
ur

O

C
U
ur

A
B
10,1%
Yếu
0 0 2 1 1 4 – 3,7%

- Kết quả kiểm tra số học sinh không học phương pháp giản đồ (đề kiểm tra chung)
LỚP
-

SS

12A
1
- 24 12A
4
- 24 12A
5
- 18 12A
7
-24 12A
12
-19 Tổng %
Giỏi
13 9 2 7 3 34 –
31,2%
khá
10 12 9 12 9 52 –
47,7%
Trung bình

1 2 4 3 5 15 -

Bình Xuyên, ngày 25 tháng 4 năm 2011
Giáo viên

ĐINH THỊ THƯ MỤC LỤC. Trang
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………… 2

CHƯƠNG 1

1. DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 4

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VÉC TƠ.………………………………………….6

CHƯƠNG 2
1. BÀI TOÁN HIỆU ĐIỆN THẾ VÀ CƯỜNG ĐỘ DÒNG ĐIỆN.………………9

.
2.BÀI TOÁN HỘP ĐEN.……………………………………………………………15

3.BÀI TOÁN KHẢO SÁT ĐIỆN ÁP THEO L VÀ C:………………………… 19

KẾT LUẬN………………………………………………………………………… 21