1
Chương 2
TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ
TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
2.1. PHƯƠNG PHÁP SỐ DÙNG TRONG TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN
CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng
khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu.
Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân
gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất.
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange
Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không biết
chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và một vài
nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên không
thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết) nhưng
người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và dĩ nhiên
đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm f(x) tại
tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng của một số
đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm; từ số liệu thử
mô hình tàu thủy tại bể thử v.v….
Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ biết
một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x
0
, x
1
, …, x
n
X [a, b] .
Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau:
x x
0

n
x
n
, a
n
≠ 0 với a
0
, a
1
, …., a
n
X R sao cho P
n
(x) trùng với f(x)
tại các nút x
i
,
ni ,0=
nghĩa là P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
.
Đa thức P
n
(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm số

(x
i
) cũng là môt đa thức có bậc không vượt quá n và bị triệt tiêu
tại n + 1 giá trị khác nhau x
i
,
ni ,0
=
(Vì P
n
(x
i
) – Q
n
(x
i
) = y
i
– y
i
= 0,
ni ,0=
). Do vậy đa thức
hiệu P
n
(x) – Q
n
(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là P
n
(x




−+=
n
i
n
n
i
iii
ba
n
f
xxxfxLxf
0
)1(
0
,
)!1(
)(
)()()()(
ξ
ξ
(2.2)
trong đó
∏
≠
=



i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
,
ni ,0
=
Hiển nhiên L
i
(x) là đa thức bậc n và




≠
=
=
ijkhi
ijkhi
xL
ji
0
1
)(
(2.4)

1
(x - x
0
)(x - x
2
)... (x - x
n
) +
+ a
2
(x - x
0
)(x - x
1
) (x – x
3
) ... (x - x
n
) +
...
+ a
i
(x - x
0
)(x - x
1
)... (x - x
i-1
)(x - x
i+1

; i = 0, 1, 2, ... (2.6)
Lần lượt thay x = x
0
, x = x
1
, ... vào công thức (2.5) ta có thể xác định được công thức
tính các hệ số a
i
.
Ví dụ, từ P
n
(x
0
) = f(x
0
) = y
0
= a
0
(x
0
- x
1
)(x
0
- x
2
)... (x
0
- x

))...()((
)(
...
))...()((
)(
110
12101
1
1
−
−−−
=
−−−
=
nnnn
n
n
n
xxxxxx
xf
a
xxxxxx
xf
a
Hệ số thứ i có dạng tổng quát:
))...()()...()((
)(
1110 niiiiiii
i
i

y
xxxxxx
xxxxxx
xP
))...()((
))...()((
...
))...()((
))...()((
))...()((
))...()((
)(
110
21
1
12101
21
0
02010
21
−
−−−
−−−
++
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−

j
ji
j
i
xx
xx
xL
0
)(
Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange:
Với n = 1:
x x
0
x
1
y y
0
y
1
Đa thức nội suy có dạng
1
01
0
0
10
1
1
)(
)(
)(

y 17 27,5
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
3 3
4
Ở đây n = 1 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc nhất. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
1
(x) =
)12(
)1(
5,27
)21(
)2(
17
−
−
+
−
− xx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
1
(x)= 6,5+ 10,5x
Với n = 2:
x x
0
x
1

xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xP
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
(2.10)
Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai.
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2 3
y 17 27,5 76
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
2
(x) =
)23)(13(
)2)(1(

4 4
5
3
231303
210
2
321202
310
1
312101
320
0
302010
321
3
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
)(
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx

)4)(3)(1(
5,27
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(
17
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
xxxxxx
xxxxxx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
3
(x)= -3,5+ 41,5x - 29x
2
+ 8x
3
2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2.1.2.1. Đặt bài toán
Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc
nhau theo một số qui luật đã biết nào đó ví dụ như:

Giả sử y phụ thuộc x dạng bậc nhất y = a + bx và khi đó ta có
y
i
- a - bx
i
= ε
i
, i = 1,2, …, n là các sai số tại x
i
, do đó ta có
∑
−−=
2
)(
ii
bxayS
(2.12)
là tổng các bình phương của các sai số.
S phụ thuộc vào tham số a và b còn x
i
và y
i
đã biết.
Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và
b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau:

0;0 =
∂
∂
=

Hệ (2.14) gọi là hệ chính tắc của phương pháp bình phương nhỏ nhất được viết cho
dạng y = a + bx.
2.1.2.3. Thí dụ
Cho biết sự phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y có dạng y = a + bx và được cho ở bảng
2.1
Bảng 2.1
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
Hãy xác định các tham số a và b bằng phương pháp bình phương bé nhất.
Lời giải:
Bước 1. Lập bảng số như sau (Bảng 2.1.1):
Bảng 2.1.1
x
i
y
i
2
i
x
x
i
y
i
n = 5
- 1,1 0,78 1,21 - 0,858
2,1 7,3 4,41 15,33
3,2 9,2 10,24 29,44
4,4 11,9 19,36 52,36
5,2 13,3 27,24 69,16
Σ

5a + 13,8 b = 42,48
13,8a + 62,26 b = 165,432
Giải hệ phương trình này bằng một trong những pbhuwowng pháp đã biết chúng ta sẽ
xác định được tham số : a = 2,9939036 y3 và b = 1,9935131y 2.
Vậy ta viết được phương trình cuối cùng như sau:
y = 3 + 2 x (2.15)
Bây giờ chúng ta thử tính các giá trị mới của y tại các x
i
theo phương trình (2.15) và
so sánh chúng với các giá trị y
i
đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2)
Bảng 2.1.2
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4
6
(2.14)
6