1
TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ
TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
2.1. PHƯƠNG PHÁP SỐ DÙNG TRONG TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN
CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng
khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu.
Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân
gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất.
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange
Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không biết
chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và một vài
nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên không
thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết) nhưng
người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và dĩ nhiên
đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm f(x) tại
tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng của một số
đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm; từ số liệu thử
mô hình tàu thủy tại bể thử v.v….
Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ biết
một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x
0
, x
1
, …, x
n
X [a, b] .
Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau:
x x
0
x

x
n
, a
n
≠ 0 với a
0
, a
1
, …., a
n
X R sao cho P
n
(x) trùng với f(x)
tại các nút x
i
,
ni ,0
=
nghĩa là P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
.
Đa thức P
n
(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm số

(x
i
) cũng là môt đa thức có bậc không vượt quá n và bị triệt tiêu
tại n + 1 giá trị khác nhau x
i
,
ni ,0
=
(Vì P
n
(x
i
) – Q
n
(x
i
) = y
i
– y
i
= 0,
ni ,0
=
). Do vậy đa thức
hiệu P
n
(x) – Q
n
(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là P
n





−+=
n
i
n
n
i
iii
ba
n
f
xxxfxLxf
0
)1(
0
,
)!1(
)(
)()()()(
ξ
ξ
(2.2)
trong đó
∏
≠
=


nii
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
,
ni ,0
=
Hiển nhiên L
i
(x) là đa thức bậc n và




≠
=
=
ijkhi
ijkhi
xL
ji
0
1
)(

+ a
1
(x - x
0
)(x - x
2
)... (x - x
n
) +
+ a
2
(x - x
0
)(x - x
1
) (x – x
3
) ... (x - x
n
) +
...
+ a
i
(x - x
0
)(x - x
1
)... (x - x
i-1
)(x - x

i
; i = 0, 1, 2, ... (2.6)
Lần lượt thay x = x
0
, x = x
1
, ... vào công thức (2.5) ta có thể xác định được công thức
tính các hệ số a
i
.
Ví dụ, từ P
n
(x
0
) = f(x
0
) = y
0
= a
0
(x
0
- x
1
)(x
0
- x
2
)... (x
0

3
))...()((
)(
...
))...()((
)(
110
12101
1
1
−
−−−
=
−−−
=
nnnn
n
n
n
xxxxxx
xf
a
xxxxxx
xf
a
Hệ số thứ i có dạng tổng quát:
))...()()...()((
)(
1110 niiiiiii
i

xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
xP
))...()((
))...()((
...
))...()((
))...()((
))...()((
))...()((
)(
110
21
1
12101
21
0
02010
21
−
−−−
−−−
++
+
−−−
−−−
+
−−−

ij
j
ji
j
i
xx
xx
xL
0
)(
Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange:
Với n = 1:
x x
0
x
1
y y
0
y
1
Đa thức nội suy có dạng
1
01
0
0
10
1
1
)(
)(

x 1 2
y 17 27,5
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
3 3
4
Lời giải:
Ở đây n = 1 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc nhất. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
1
(x) =
)12(
)1(
5,27
)21(
)2(
17
−
−
+
−
− xx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
1
(x)= 6,5+ 10,5x
Với n = 2:
x x
0
x

y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xP
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
(2.10)
Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai.
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2 3
y 17 27,5 76
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
2
(x) =
)23)(13(

như sau:
4 4
5
3
231303
210
2
321202
310
1
312101
320
0
302010
321
3
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
)(
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx

)41)(32)(12(
)4)(3)(1(
5,27
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(
17
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
xxxxxx
xxxxxx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
3
(x)= -3,5+ 41,5x - 29x
2
+ 8x
3
2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2.1.2.1. Đặt bài toán
Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc

2.1.2.2. Xét trường hợp y = a + bx
Giả sử y phụ thuộc x dạng bậc nhất y = a + bx và khi đó ta có
y
i
- a - bx
i
= ε
i
, i = 1,2, …, n là các sai số tại x
i
, do đó ta có
∑
−−=
2
)(
ii
bxayS
(2.12)
là tổng các bình phương của các sai số.
S phụ thuộc vào tham số a và b còn x
i
và y
i
đã biết.
Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và
b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau:

0;0
=
∂

, thay vào hệ phương trình
(2.14) rồi giải hệ đó ta sẽ nhận được a và b.
Hệ (2.14) gọi là hệ chính tắc của phương pháp bình phương nhỏ nhất được viết cho
dạng y = a + bx.
2.1.2.3. Thí dụ
Cho biết sự phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y có dạng y = a + bx và được cho ở bảng
2.1
Bảng 2.1
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
Hãy xác định các tham số a và b bằng phương pháp bình phương bé nhất.
Lời giải:
Bước 1. Lập bảng số như sau (Bảng 2.1.1):
Bảng 2.1.1
x
i
y
i
2
i
x
x
i
y
i
n = 5
- 1,1 0,78 1,21 - 0,858
2,1 7,3 4,41 15,33
3,2 9,2 10,24 29,44
4,4 11,9 19,36 52,36

= 165,432
Bước 2. Lập hệ phương trình sau:
5a + 13,8 b = 42,48
13,8a + 62,26 b = 165,432
Giải hệ phương trình này bằng một trong những pbhuwowng pháp đã biết chúng ta sẽ
xác định được tham số : a = 2,9939036 y3 và b = 1,9935131y 2.
Vậy ta viết được phương trình cuối cùng như sau:
y = 3 + 2 x (2.15)
Bây giờ chúng ta thử tính các giá trị mới của y tại các x
i
theo phương trình (2.15) và
so sánh chúng với các giá trị y
i
đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2)
Bảng 2.1.2
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
6
(2.14)
6
7
y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4
Như vậy quan hệ (2.13) xấp xỉ khá tốt với các số liệu đưa ra ở bảng 2.1.3
2.1.2.4. Các dạng quan hệ khác
Các dạng quan hệ (2), (3) được giới thiệu ở mục 2.1.2.1. là các mối quan hệ tuyến tính
đối với các tham số a, b và c nên cũng có thể giải quyết một cách tương tự. Chẳng hạn,
nếu :
y = a + bx + cx
2
thí các tham số a, b và c là nghiệm của hệ phương trình chính tắc sau:

hệ giữa y và x ta suy ra bảng số liệu về X và Y với chú ý:
X = x ; Y = lg y
Sau đó áp dụng cách làm ở trên và sẽ thu được A và B rồi từ đó suy ra a và b
2.1.2.5. Sơ đồ thuật toán của phương pháp bình phương nhỏ nhất
a) Cho mối quan hệ y = a + bx
1. Tính các tổng
∑ ∑ ∑ ∑
iiiii
yxxyx ,,,
2
2. Giải hệ chính tắc :

∑ ∑
=+
ii
yxban

∑ ∑ ∑
=+
iiii
yxxbxa
2
tìm a và b
3. Kết luận: Viết ra phương trình cuối cùng
b) Cho mối quan hệ y = a e
bx
1. Lấy lô-ga-rít hai vế của y = ae
bx
2. Chuyển bảng số giữa x và y thành bảng số X và Y
3. Tính các tổng

a = x
0
< x
1
< ….< x
n-1
= b
x
i
= a + i h,
n
ab
h
)( −
=
, với i = 0, 1, …, n
Đặt y
i
= f(x
i
)
Ta có
∫
=
b
a
dxxfI )(
=
∫
1

∫∫
≈
1
0
1
0
)()(
1
x
x
x
x
dxxPdxxf

Đổi biến x = x
0
+ ht thì dx = hdt, ứng với x
0
là t
0
= 0 , ứng với x
1
là t = 1, nên ta có

22
1
0
1
)
2

∆+=∆+=
∫∫
.
Vậy ta có :
2
)(
10
1
0
yy
hdxxf
x
x
+
≈
∫
8 8
9
Về mặt hình học điều đó có nghĩa là: Thay diện tích hình thang cong x
0
M
0
M
1
x
1
bởi
diện tích hình thang thường x
0
M

i
i
Vậy công thức (2.18) được viết lại như sau:

[ ]
)(...)()(
2
)(
12110 nn
b
a
yyyyyy
h
dxxf
++++++≈
−
∫
Nghĩa là
T
b
a
IdxxfI
≈=
∫
)(
với





bxaxfM
abh
M
II
T
≤≤=
−≤=−
,)(max
),(
12
''
2

2.2.4. Thí dụ
Hãy tính gần đúng :

∫
+
=
1
0
2
1 x
dx
I
Lời giải:
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là π/4. Do đó nếu biết số π thì ta có:
I = 0,78539816 …
Bây giờ ta tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả.
Công việc được tiến hành như sau:

2.2.5. Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang
Phương án 1: Cho trước số khoảng chia n
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
2) Ấn định số khoảng chia n;
3) Chia [a, b] thành n phần bằng nhau và tính
n
ab
h
−
=
; x
i
= a + i h , i = 0, 1,…,n.;
y
i
= f (x
i
) , i = 0, 1, …, n.
10
(2.20)
10
11
4) Tính


2) Ấn định sai số cho phép ε;
3) Dùng công thức (2.16) để xác định khoảng chia n sao cho sai số bé hơn sai số cho
phép;
4) Tính
n
ab
h
−
=
; x
i
= a + i h , i = 0, 1,…,n.;
y
i
= f (x
i
) , i = 0, 1, …, n.
5) Tính






++++
+
=
−121
0
...)

n
ab
h
2
)(
−
=
, i = 0, 1, …, 2n
Giả sử y
i
= f(x
i
) . Ta có:
∫∫∫∫
−
+++=
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
2
22
4

2
232
1
2
)
2
)1(
()(
2
0
0
2
23
0
2
00
2
002
2
0
=
=






∆


3
8
2
1
22 yyy
h
yyyh
++=






∆






−+∆+
.
Vậy ta có:
)4(
3
)(
210
2
0

[ ]
)4(...)4(4
3
)(
21222432210 nnn
b
a
yyyyyyyyy
h
dxxf
+++++++++≈
−−
∫
.
Vậy ta có:
S
b
a
IdxxfI
≈=
∫
)(
với
[ ]
)...(2)...(4)(
3
2242123120 −−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy

∫
+
=
1
0
2
1 x
dx
I
. Với bảng trị số (Bảng 2.2) đã cho ở trên ta có thể áp dụng
công thức Simson vì 10 = 2 *5. Ta được I y 0,78539815 với sai số tương đối 0,000002%
Đối chiếu với kết quả được xác định bởi công thức hình thang ta nhận thấy kết quả tính
theo công thức Simson chính xác hơn nhiều.
12 12
13
2.2.9. Sơ đồ tóm tắt công thức Simson
Phương án 1: cho trước số khoảng chia 2n
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
2) Xác định số khoảng chia 2n;
3) Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và
tính
n
ab
h

;
2) Ấn định sai số phép tính ε;
3) Dùng công thức (2.19) để xác định số khoảng chia 2n sao cho sai số < sai số cho
phép;
4) Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính
∫
=
b
a
dxxfI )(
; x
i
= a + ih, với i= 0,1,…,2n; y
i
= f(x
i
), i= 0,1,…, 2n;
5) Tính
[ ]
)...(2)...4)(
3
2242123120 −−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy
h
I
;
6) Kết quả : I y I
S

sin
1) Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy (n = ?) đoạn con bằng nhau để khi tính
I bằng công thức hình thang bảo đảm được sai số tuyệt đối < 3*10
-4
;
2) Với n ấy khi tính bằng công thức Simson thì sai số là bao nhiêu?
3) Hãy tính I với n đã chọn ở trên bằng công thức hình thang và công thức
Simson đến 6 chữ số lẻ thập phân.
2.3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TÍNH NỔI THỦY LỰC VÀ CÂN
BẰNG-ỔN ĐỊNH CHO TÀU THỦY
2.3.1. Phương pháp hình thang
Cho đường cong y = f(x) được thể hiện trên hình 2.2.
Tọa độ các tung độ có khoảng cách ∆L bằng nhau.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong trong khoảng từ a đến b với trục
hoành ox sẽ được xác định như sau:
≅==
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(

∑
∆

...
22
(2.23)
trong đó: K
i
= 1, 2, 2, ... , 2, 1 - hệ số tính toán của phương pháp hình thang.
y
i
– giá trị tung độ tại vị trí thứ điểm thứ i trên trục ox.
f(x)
x
y
∆L
∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
y
3
a
b
14 14
15 Hình 2.2 – Phương pháp hình thang

2
y
2
= a
0
+ 2a
1
∆L + 4a
2
∆L
2
Suy ra
a
0
= y
0
;

L
yyy
a
∆
−+−
=
2
43
210
1
;


x
dxxaxaa )(
2
210
15 15
16

3
2
2
10
3
8
22 LaLaLa ∆ +∆+∆≅
. (2.25)
y = a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
x
y
∆L
∆L
y
0
y

Hình 2.4. Sơ đồ xác định hệ số qui tắc Simpson I.
16 16
17
Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.24)
trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 3 tọa độ đều nhau được viết như sau :
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅++
∫
b
a
x
x
dxxaxaa )(
2
210

∑
∆
n
ii


(2.28)
Khi thay x = 0; x = ∆L; x = 2∆L và x = 3 ∆L vào phương trình (2.28) ta thu được
y
0
= a
0
;
y
1
= a
0
+ a
1
∆L + a
2
∆L
2
+ a
3
∆L
3
;
y
2
= a
0
+ 2a
1
∆L + 4a

yyyy
a
∆
+−+−
=
6
291811
3210
1
;
2
3210
2
2
452
L
yyyy
a
∆
−+−
=
;

2
3210
3
6
33
L
yyyy

3
3
2
2
10
4
81
9
2
9
3 LaLaLaLa ∆+∆ +∆+∆≅
. (2.29)
x
a
y = a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
+ a
3
x
3
y
∆L
∆L
17 17

3
) 3∆L/8. (2.30)
Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là bội số của 3) qui tắc thứ
hai của phương pháp Simpson cho nhóm 4 tọa độ kế tiếp nhau, các hệ số tính toán được chọn
như sau:
Hình 2.6 Sơ đồ xác định hệ số Simpson II
Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.28)
trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 4 tọa độ đều nhau được viết như sau :
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅+++
∫
b
a
x
x
dxxaxaxaa )(
3
3
2
210

L/2 được xác định như sau:
)....(
21
2/
2/
n
L
L
yyy
n
L
dxyF
+++≅=
∫
+
−
. (2.32)
Trong công thức (2.32) khoảng cách giữa các tung độ không bằng nhau, vị trí các tung
độ thay đổi tùy theo số đường thẳng góc dùng trong tính toán n và đối xứng với nhau qua trục
oy. Vị trí các tung độ được cho trong bảng 2.3.
y
x
4
x
3
x
2
x
1
L

20Hình 2.8 Chia tọa độ theo phương pháp Tre-bư-sev
Vị trí các đường thẳng góc xác định theo phương pháp Tre-bư-sev Bảng 2.3
Số đường
thẳng góc
Vị trí đường thẳng góc (khoảng cách tính tới diểm giữa của đường đáy tính
theo nửa chiều dài diện tích)
Bậc của phương
trình
2 0,5773 2
3 0 0,7071 3
4 0,1870 0,7947 4
5 0 0,3745 0,8325 5
6 0,2666 0,4225 0,8662 6
7 0 0,3239 0,5297 0,8839 7
8 0,1026 0,4062 0,5938 0,8974 8
9 0 0,1679 0,5288 0,6010 0,9116 9
10 0,0838 0,3227 0,5000 0,6873 0,9162 10
2.4. TÍNH NỔI - THUỶ LỰC TÀU THUỶ
2.4.1. Tính các đại lượng hình học vỏ tàu
Từ đường hình lý thuyết tiến hành tính các giá trị đặc trưng hình học vỏ tàu. Thứ tự tính
toán chia làm hai giai đoạn:
1- Các đại lượng đặc trưng của mặt đường nước;
2- Các đại lượng đặc trưng của mặt đường sườn tàu.
Sau hai phần tính vừa nêu tiến hành tính toán các yêu tố tính nổi và thủy lực (gọi tắt là
các yếu tố thủy tĩnh) cho toàn tàu.
20
x

n
ii
b
a
y
yiKLxydxm
0
2
0
22
(2.34)
trong đó: i – hệ số cánh tay đòn momen tĩnh, sau 0y mang dấu trừ, trước 0y mang dấu cộng.
21 21
22
Hoành độ trọng tâm mặt đường nước

∑
∑
∑
∑
∫
∫
∆
=
∆
∆
≅=
n
ii
n

b
a
L
yiKLydxxI
0
232
22
(2.36)
Momen quán tính mặt đường nước so với trục 0'y' (song song với trục Oy và đi qua trọng
tâm mặt đường nước) và cách trục Oy một đoạn X
f
tính theo công thức trên sẽ là:
I'
L
= I
L
– X
f

2
.A
w
= 2
2
0
0
0
23



2
(2.37)
Momen quán tính diện tích mặt đường nước đối với trục dọc tàu 0x được gọi là momen
quán tính ngang tính theo công thức:

∑
∫
∆≅=
n
ii
b
a
T
yKLdxyI
0
33
3
2
3
2
(2.38)
Trong các biểu thức trên y mang giá trị 1/2 chiều rộng tàu tại vị trí đang xét.
2.4.1.2. Đại lượng hình học của mặt sườn (Mặt cắt ngang thân tàu)
Các đại lượng hình học đặc trưng cho mặt sườn thân tàu (hình 2.11) bao gồm:
dz
z
D
Y
22 22
23

. (2.40)
Trọng tâm diện tích mặt sườn thuộc phần chìm đến mớn nước Z tính theo công thức:
∑
∑
∫
∫
∆
≅==
m
ii
m
ii
z
z
Z
oy
Z
yK
yiKd
ydz
yzdz
S
m
C
0
0
0
0
. (2.41)
2.4.2. Bonjean

W
z
0
W
(z)A
, (2.42)
trong đó: V
Z
- thể tích phần chìm ứng với chiều chìm z;
A
wj
- diện tích đường nước thứ j.
Nếu sử dụng tỉ lệ Bonjean khi tính thể tích phần chìm có công thức tính như sau:
i
n
i
i
L
L
Z
KLdxxV
∑
∫
=
−
Ω∆≅Ω=
0
2/
2/
)(

m
j
jj
m
j
j
Z
yx
B
AK
AjKd
dz
dz
V
M
Z
0
W
0
Wj
z
0
W
z
0
W
0
(z)A
z(z)A
(2.45)