ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: TOÁN - Lớp: 9 THCS
Ngày thi: 22 tháng 05 năm 2020
Thời gian làm bài: 150 phút (đề thi gồm có 01 trang)
---------------------------

SỞ GD&ĐT HÀ NAM

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức
P =
với x ≥ 0; x =

√
10x + 4
5x
√
√
−
5x 5x − 8 5x + 2 5x + 4

√
8 + 5x x
√
−1
2 + 5x

4
5

a) Rút gọn biểu thức P

2x2 + x + 10

2. Giải hệ phương trình

(x + y)2 = 2xy(xy + 1)
(x + y)(1 + xy) = 2 (x2 + y 2 )

Bài 4: (1,5 điểm) Cho hai số m, n nguyên dương thỏa mãn m là ước của 2n2 . Chứng minh
rằng n2 + m không phải là số chính phương.
Bài 5: (7,0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD, BE, CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là M.
Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K.
a) Chứng minh BAH = OAC.
b) Chứng minh đường thẳng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
c) Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC =
3R2 . Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF
2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ
BC (M không trùng với B và C). Đường tròn (O , R ) với (R > R) tiếp xúc trong với đường
tròn (O; R) tại điểm M . Các đoạn thẳng M A, M B, M C lần lượt cắt đường tròn (O ; R ) tại
điểm thứ hai là D, E, F . Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O ; R ),
trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI = BJ +CK
Bài 6: (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
x2 y 2
y2z2
z 2 x2
1
+
+
≤