Trường THPT Chu Văn An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Giáo viên: Lê Quốc Sang

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.

BÁO CÁO
Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI
LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ:
Họ và tên: Lê Quốc Sang
Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982
Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang
Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An
Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2
Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:
1. Đặc điểm tình hình:
Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp
III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn
mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ
chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều năm

2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH
GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
3. Lĩnh vực sáng kiến: Toán học.
III. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:
1. Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất
khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về
dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng
các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường
xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic.
Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung
học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu
tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của
học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu
sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho
mình một tài liệu tham khảo phù hợp.
Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường
THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các
kỳ thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các
em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó
khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng,
không tìm được lời giải.
Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà
bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi.
Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp
nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi
khi nó mang tính chủ quan.
Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục
triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác.
Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:

Nếu dãy số un  là cấp số cộng thì un  u1  n  1d, n  2 .
Nếu dãy số un  là cấp số cộng thì tổng

Sn  u1  u2  ...  un 

n
u  un 
2 1

4) Cấp số nhân.
Dãy số un  đươc gọi là cấp số nhân nếu un 1  un .q , n   * , trong đó q là số
không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu dãy số un  là cấp số nhân thì un  u1.q n 1, n  2
Nếu dãy số un  là cấp số nhân với q  1, q  0 thì tổng

1 qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1.
1 q
2.1.2. Các định lý:
1) Định lý 1. Nếu lim un  a thì lim un  a
2) Định lý 2. Nếu q  1 thì lim q n  0

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 3


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

n 
n 
7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
8) Định lý LAGRANGE. Nếu f (x ) là hàm số liên tục trên đoạn
trong khoảng a;b  thì tồn tại c  a; b  sao cho

f '(c ) 

a;b  , có đạo hàm
 

f (b )  f (a )
hay f (b)  f (a )  f '(c )(b  a )
b a

2.2. Các dạng toán thường gặp:
2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp
số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số
phụ.
Bài toán 1: Cho dãy số un 

u  2
1
xác định bởi: 
.


Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được
un  2  2 1  2  ...  n  1  3 n  1


 un  2  n  1 n  3 n  1  n 2  4n  5

 un 1  un  2n  3  n 2  2n  2

L  lim

un
un 1

4
5
 2
n  4n  5
n n
 lim 2
 lim
1
2
2
n  2n  2
1  2
n n

Bài toán 2: Cho dãy số un 

1


1
1
u1
1
1

 3.1  2
u2
u1
1
1

 3.2  2
u3
u2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 5


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

1
1

 3.3  2
u4


2
3n 2  n  2

Vậy L  lim un  0
Bài toán 3. Cho dãy số un 

u  2
 1
xác định bởi: 
.
u  un 1  1 , n  2
 n
2

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Ta có un 

un 1  1
2

 2un  un 1  1  2 un  1  un 1  1

1
v
 (vn ) là một cấp số
2 n 1
1
nhân có số hạng đầu v1  u1  1  1 và công bội q 


Trang 6


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

 u 
Tính giới hạn L  lim  n 
 3n 
Bài giải
Từ đẳng thức (1), ta có: un 2  2un 1  3 un 1  2un 
Đặt vn  un 1  2un , n  1 .
Khi đó: un 2  2un 1  3 un 1  2un   vn 1  3.vn  (vn ) là một cấp số
nhân có công bội q  3 và số hạng đầu v1  u2  2u1  1
Suy ra vn  v1.q n 1  3n 1, n  1 .
Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có: un 2  3un 1  2 un 1  3un 
Đặt wn  un 1  3un , n  1 .
Khi đó: un 2  3un 1  2 un 1  3un   wn 1  2.wn  (wn ) là một cấp số
nhân có công bội q  2 và số hạng đầu w1  u2  3u1  1
Suy ra wn  w1.q n 1  2n 1, n  1 .
n 1
u
 n 1  2un  3
Ta có hệ phương trình 
 un  3n 1  2n 1, n  1
n

1

Tính giới hạn L  lim  nn 
 n.2 
Bài giải
Từ đẳng thức (1):

n.un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un  n un 2  un 1   2(n  1) un 1  un 



un 2  un 1
n 1

 2.

un 1  un

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

n

Trang 7


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un 1  un

, ta được: vn 1  2vn  (vn ) là một cấp số nhân có công


lim


2 n
 n.2 
n.2n
n.2n 1  2

2.2.2. Giới hạn của dãy số dạng un 1  f un 
u  1
 1
u
Bài toán 6. Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
un  2 n 1 , n  2

un 1  1


(1)

.

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được un  0, n  1 , vậy dãy (un )
bị chặn dưới.
Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
*



Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Vậy L  lim un  0
u  1
 1
Bài toán 7. Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
.
1
2019 
, n  2 (1)
un  un 1 

2 
un 1 

Tính giới hạn L  lim un
Bài giải
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được un  0, n  1 . Mặt khác, ta
lại có:

1
2019  1
2019
un  un 1 
 2019 , vậy dãy (un ) bị chặn dưới.
  .2. un 1.
2 

x  2019
 0
xác định bởi: 
1

x n 1 
, n  
4  3x n


.

Tính giới hạn L  lim x n
Bài giải
Xét hàm số f x  

1
3
, ta có f ' x  
 0 suy ra f là hàm tăng.
2
4  3x
4  3x 

Tính toán trực tiếp ta có x 2  x 3 , do đó dãy x n 

n 2

tăng.


1
a 
4  3a
3

1
.
3

u  2019
 1

un
Bài toán 9. Cho dãy số thực un  xác định bởi: 
.
, n  * (1)
un 1  3 

un2  1

Tính giới hạn L  lim un .
Bài giải
Bằng quy nạp chứng minh được un  3, n  1
Giả sử rằng un  có giới hạn là a thì a  3 và a là nghiệm của phương trình
a 3

a
a2  1




Ta có:

f '(x )  

x
2

x 1

trên

1

x

2



1

3





 3a  3  0
3  15

un 1  a  f (un )  f (a )  f '(cn ) un  a 

(cn  un ; a   cn  a; un )

= f '(cn ) un  a

 1 n
 u1  a


1  x 

 1  1  x

Xét g x   f f x   f 
, x  0;1 , g x  là hàm tăng.
1  x  2  x





(1)

Đối với dãy a2n 1  ta có





g a2n 1   f f a2n 1   f a2n 2   a2n 3  a2n 11

(2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy a2n 1  đơn điệu và bị chặn trên 0;1 nên a2n 1  hội tụ
đến k , tương tự dãy a2n  cũng hội tụ đến l .

Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x   x hay

k l 

Nếu dãy có giới hạn là k thì k là nghiệm của phương trình

3k 3  7k 2  5k  k  k  0; k  1; k 

4
3

Xét hàm số f x   3x 3  7x 2  5x . Khi đó dãy đã cho có dạng

x n 1  f x n , n   * .

5
Ta có f ' x   9x 2  14x  5  9 x  1x  

9 
f x   x  3x 3  7x 2  4x  x x  13x  4 , suy ra

x 1  x 0  f x 0   x 0  x 0 x 0  13x 0  4
Ta có bảng biến thiên sau

Trường hợp 1. a  0 .
Từ bảng biến thiên suy ra x n  0 và x 1  x 0 ; do f tăng nên x n  là dãy giảm.

4 
Giả sử lim x n  b khi đó b  0;1;  và b  a , do a  0 nên không tồn tại b.

3 

Suy ra dãy không có giới hạn khi a  0 .
Trường hợp 2. a  0 .


Trường hợp 4. a 

4
3

Khi đó dãy x n  là dãy hằng và lim x n 

4
3

 4
Trường hợp 5. a  0; 
 3 
 4
Từ bảng biến thiên suy ra x n  0;  và
 3 
2

x n 1  1  x n  1 3x n  1  x n  1
 4
(do x n  0;  nên x n  13x n  1  1 ).
 3 

Bằng phương pháp qui nạp ta thu được x n 1  1  a  1 

1
, suy ra x n  có
3



Trang 13


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Bài toán 12. Cho dãy số x n 

x  1
 1
thoả mãn 
.
x n 1  2019x n2  x n , n  1


x
x2
x n 

1
 .
Tìm L  lim    ... 
 x 2 x 3
x n 1 
Bài giải
Bước 1. (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu)
Ta có x n 1  x n  2019x n2  0 n  1,2,... nên dãy x n  là dãy tăng và là dãy
dương


2019  x k x k 1 

1  1
1 
 

2019  x1 x n 1 

x
x
x 
1
Vậy L  lim  1  2  ...  n  
 x 2 x 3
x n 1  2019

Bài toán 13. Cho dãy số x n 


x  1
 1 2
xác định bởi 
.


x n21  4x n 1  x n 1
x n 
, n  2


Do đó dãy x n  là dãy tăng.

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 14


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

a 2  4a  a
Giả sử lim x n  a suy ra a  0 và a 
 a  0 (vô lí)
2

Vậy lim x n   .
Từ x n 

x n2 1  4x n 1  x n 1
2

 x n2  x n  1 x n 1 
n

1

i 1

x i2

1 1
1
1
         ...  
 
x 12  x 1 x 2   x 2 x 3 
 x n 1 x n 
1

1
1
1

 6  , n  2
x1 x n
xn

Vậy yn  có giới hạn hữu hạn và lim yn  6 .

2.2.4. Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình
Bài toán 14. Xét phương trình

1
1
1
1
1

 ...  2
 ...  2

x  1 4x  1
k x 1
n x 1 2
(1)

1
1
1
1
1
(1)  fn (x )   

 ...  2
 ...  2
0
2 x  1 4x  1
k x 1
n x 1

(2)

Khảo sát tính đơn điệu của fn (x ) trên 1; 
Dễ thấy rằng f (x ) liên tục trên 1; 

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 15


Trường THPT Chu Văn An





  0, x  1; 






nên fn (x ) nghịch biến trên x  1;  .

(3)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1; 

 lim f (x )  
  n
x 1
Do fn (x ) liên tục trên 1;  và 

 lim f (x )   1
x  n
2

(4)

Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1;  .

 ... 

2
3 3 5
2k  1 2k  1
2n  1 2n  1



1
0
2 2n  1

Do fn (x n )  0 nên fn (x n )  fn (4) .
Do fn (x ) nghịch biến trên 1;  và fn (x n )  fn (4) nên theo định nghĩa tính
đơn điệu suy ra x n  4
Lại tiếp tục đánh giá x n . Áp dụng định lý Lagrange cho fn (x n ) trên x n ; 4  , ta suy
ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại cn  x n ; 4  sao cho

fn 4  fn (x n )  fn' (cn )(4  x n )  fn' (cn ) 

1
2 2n  14  x n 

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 16


Trường THPT Chu Văn An

n 2cn  1 
 n






2

(Do 1  x n  cn  4  0  cn  1  9 



1
2

cn  1



1
  ) nên
9

1
1
9
   xn  4 
9

x k
x  n2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 0;1 và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n
n 

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n , phương trình có duy nhất nghiệm
trong 0;1
Xét phương trình

x  0;1
Đặt fn (x ) 

1
1
1
1
1


 ... 
 ... 
 0 với
2
2x x  1 x  4
x k
x  n2


 2x 2 x  12
x  k2






2



1
  0, x  0;1
 ... 
 
2
2 
x n 






Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 17


1
1
1


 ... 

...


2x n x n  1 x n  4
xn  k 2
x n  n 2 x  n  12
n
1
1
 fn (x n ) 
 fn 1(x n ) 
 0 (do 0  x n  1)
2
2
x n  n  1
x n  n  1

fn 1(x n ) 

Mặt khác lim fn 1(x )   và fn 1(x ) nghịch biến trên 0; x n  nên suy ra
x  0

phương trình fn 1(x )  0 có duy nhất nghiệm trên 0; x n  , gọi nghiệm duy nhất này là

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Đặt fn x   x n  x 2  x  1, x  1, n  2
Khảo sát tính đơn điệu của fn (x ) trên 1; 
Do fn '(x )  nx n 1  2x  1, fn "(x )  n n  1 x n 2  2  0 n  3, x  1
Suy ra fn '(x )  fn' 1  n  2  1  0,

n  3

nên fn (x ) đồng biến trên x  1;  .

(2)

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1; 

 lim f (x )  2
  n
Do fn (x ) liên tục trên 1;  và 
nên
x 1
 lim fn (x )  2n  4  2  1  0, n  3
x 2
tồn tại x 0  1;2 sao cho fn (x 0 )  0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1;2 .
2) Ký hiệu nghiệm đó là x n . Chứng minh rằng lim x n  1
n 

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên :

(5)

6
n


6
Do lim 1    1 và theo nguyên lý kẹp suy ra lim x n  1
n  
n 
n 


Bài toán 17. Xét phương trình x n  x  n trong đó n là số nguyên dương n  2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm
dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n .
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 19


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

2) Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó lim x n
n 

Bài giải
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có nghiệm

lim x

n  n

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên

x nn  x n  1  1  x n  n x n  n  n 2n
Vì lim

n

n 

2n  1 , theo nguyên lý kẹp ta được

lim x  1

n  n

Vậy lim x n  1
n 

Bài toán 18. Xét phương trình x n  x n 1  ...  x  1  0 với n là số nguyên dương
và n  2 .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có một
nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n .
2) Tìm

lim x .


nên tồn tại x 0  0;1 sao


 fn (1)  n  1  0

cho fn (x 0 )  0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n  2 , phương trình trên có duy
nhất nghiệm trong 0;1 .
2) Ký hiệu nghiệm đó là x n .Tìm

lim x

n  n

Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên:

x n  0 và x n  x n2  ...  x nn  1

(4)

Vì x n  0 nên từ (4) suy ra ( x n ) là dãy giảm, mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên
tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n  a

(5)

n 

Ta lại có: 1 


trường THPT Chu Văn An các năm qua. Sau quá trình học tập các em đã làm quen với
các bài toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải cũng rất tự nhiên theo chiều
hướng dễ tiếp cận. Chất lượng của đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường được nâng
lên rõ rệt. Kết quả thi học sinh giỏi các năm qua như sau:
 Năm học 2013 – 2014:
Học sinh giỏi cấp tỉnh:

2 giải ba

Vào vòng 2:

2 học sinh

 Năm học 2014 – 2015:
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 21


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Học sinh giỏi cấp tỉnh:

1 giải nhất, 1 giải 3

Vào vòng 2:

2 học sinh

3 học sinh

V. MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG:
Giáo viên ở các trường trung học phổ thông không chuyên trong và ngoài tỉnh đều
có thể áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt là áp dụng để
giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán của trường mình.
Học sinh khối lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số
thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên, từ đó giúp các em tự tin hơn khi
đứng trước các bài toán về dãy số.
VI. KẾT LUẬN:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu là hướng dẫn học
sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi
đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể
nâng cao khả năng tư duy, đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói
riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu
Văn An đã tập làm quen cách tiếp cận bài toán dãy số một cách tự nhiên, các em đã
không còn ngán ngại khi gặp các câu dãy số trong các đề thi học sinh giỏi. Điều đó góp
phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán của trường ngày càng được nâng cao trong
những năm vừa qua.
Với thời gian ngắn nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Một
lần nữa, tôi rất mong sự góp ý chân tình của quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Xin
chân thành cám ơn!
Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến

Người viết sáng kiến

Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An