TRNG THCS THIU
QUANG
THI HSG LP 9
NM HC 2010-2011
Mụn: Toỏn
Thi gian lm bi:150 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Bài 1: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
3. Chng minh rng vi mi s nguyờn a thỡ: (a
3
+ 11a ) chia ht cho 6
Bài 2: (4 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

1.1
( 3,0 điểm)
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
( ) ( )
2 2
4 4
1 3 2x x + =
( )
4 4 4
1 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x + = + = =
(1)
1,0

0 1: 1 0, 3 0y y y <
, nên
(2) 1 3 2 1y y y + = =
(thoả
ĐK)
1x = là một nghiệm của phơng trình (1)
0.5

1 3: 1 0, 3 0y y y< >
, nên pt (2)
1 3 2 0 0y y y + = =
do đó pt (2) có vô số nghiệm y (
1 3y<
), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x (
1 81x
<

a b c a
a b c a
c b
a b c a b c

= =
+ +
+ +

=
+ + +
0,50
Theo giả thiết:
2
2
a c
b a c b b a c b
+
= + = =
, nên:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a b a
b a
A
a b b c c a a b b c c a
+

= =

+
(xác định với mọi
x R
)
( )
2
1 3 5 0 (**)y x x y + =
0,5

1:y =
pt (**) có nghiệm
4
3
x =

1:y
để pt (**) có nghiệm thì:
2
9 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y = = +
0.5
( ) ( )
2
25 5 5 5 1 11
3 0 3 3 1
4 2 2 2 2 2
y y y y y
0.5
Vậy tập giá trị của y là
1 11
;

Ta có: Tổng
( )
2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ + + + = +
là số chẵn, nên
( )
2 ; ( 2 )y k y k+ + +
cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích
1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau:
2 2 2 6 2 6 2 2
; ; ; ;
2 6 2 2 2 2 2 6
y k y k y k y k
y k y k y k y k
+ = + = + = + =


+ + = + + = + + = + + =

0,5
Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a):
( ) ( ) ( ) ( )
2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = = = = =
Thay các giá trị
2; 6y y= =
vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm
nguyên (x; y) là:
( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6),( 9; 6)x y x y x y x y= = = = = = = =
0,5
b/Ta cú: a
3

Z (0,5)
Baỡi 4 (4 õióứm)
Veợ hỗnh chờnh xaùc (0,25 õ)
I
M
Q
O
C
D
G
E
F

a) (1,25 õ)
Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ
õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa
AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA EF vaỡ IE = IF
OEA coù
ã
OEA
= 90
0
(t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA
nón OE
2
= OI . OA

2 2
OE R R
ịOI = = =

2
. 3R .
3
. R =
2
3 3
R
2
b) (1,25 õ)
Ta coù OM // AE ( OE) nón
ã
ã
MOA = OAE
maỡ
ã
ã
OAE = OAM
Do õoù
ã
ã
MOA = OAM
Suy ra OMA cỏn taỷi M

MO = MA
OAM
OFM
S
AM OM
= =
S FM FM

0
1
cos60
=
1
2
1
2
=
c) (1,25 õ)
- Chổùng minh DEQ = OFM
Suy ra: QD = OM
- Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh
Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng
Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID =
R
2
)
nón I laỡ trung õióứm cuớa QM
Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I.
1.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 ab cd a c b d ab cd a c b d + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c d abcd a b a d b c c d + + + + +

0
sin 3
3cos 3sin 0 3 60
cos
3
tg



= = = =