PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HP
1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi
cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách
chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
= =
−
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7. Tam giác Pascal :

0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Tính chất :
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−

n
n0
n
n
xC...xaCaC)xa(
+++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
n
n
1
n
0
n
C,...,C,C
bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
- Cho a = ±1, ±2, ...,
∫∫
±±
2
0
1
0
...hay
hay
β

Zp/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa
...C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n ∈ N
*
..., k ≤ n. Cần biết đơn giản
các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ hợp
(bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số
cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.

=⇔=
2n
2n
2n 2n
b a
a b a b, a b
a 0

=
= ⇔ = ± = ⇔

≥




α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba



>

ax
;}b,amax{x
bx
ax


Γ

> ∨
< < <


⇔ ⇔
 
< Γ
≥




Γ

p
x a p q
a x b(nếua b)
;
x b
VN(nếua b)
q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.

≥
<
⇔≥
2
ba
0b
0a
0b
ba
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=
b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa
=
hay bằng đònh nghóa :
)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥

m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a .a a
a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa
d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log
a
a
α
log

M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
TRANG 3
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a
α
=
α
log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log

nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :





=
+=
=

>
>∆
0S
0P
0
x
1
< x
2
< 0 ⇔





<
>
>∆
0S
0P
0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2

1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <


α >


α < β

; x
1
< α < x
2
< β ⇔





β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 :

Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x

0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
( )
∆

∆

α

= 0
< 0hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự
tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm ⇔



<
>∆
0y.y
0
CTCĐ

0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x)
với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x)
= y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao
của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
TRANG 5
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'


<α
>α
<
>∆
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔







α<
<α
<
>∆

< α

8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔



>∆
≠α
0
0)(f
, 1 nghiệm ⇔



≠α
=∆



=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨



>
>
>∆
0S
0P
0
; 3 nghiệm ⇔



>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔



>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 nghiệm ⇔




>


<

TRANG 6
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1

4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t
≥
c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk của t
bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :

'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất

a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm
bằng số điểm chung.

2. Hàm số lượng giác :
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối,
tg cotg hiệu π).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
TRANG 8
+
2π
0
2− π
α
0
A
x+k2
M
cos
chiếu
sin
M
cot
chiếu xuyên tâm
tan
M

cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c
2
* Chia 2 vế cho
22
ba
+
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
tan
u
t
=
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2
π −

Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u
π
−
 
= − = − ≤ ≤ =
 ÷
 
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tan
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tanu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
TRANG 9
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :



≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*



=
=
⇔





+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au

1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :



=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :



=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 :



=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.

* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
TRANG 10