CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Page 1 Những bài toán đã thi từ 1997 đến 2008
1)Tam giác ABC có : sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C 2 Thì Tam giác ABC là Tam giác nhọn .
Hd : (Đề 2.5-D98,A2000)
Biến đổi T = sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC.Biện luận.
2)Tam giác nhọn ,có : + + = + + . C/m ABC đều
Hd : (Đề 2.6-A99)
Tam giác ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC 0.Theo Cosi : + (1)
Mà cosAcosB = = cos
2
= sin
2


b
, m
c
là độ dài các trung tuyến.C/m
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi : + + =
Hd : (Đề3.14-A01) Đk cần : ABC đều thì ta có m
a
= m
b
= m
c
= = = sinA .
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Page 2 Suy ra : = = = + + =
Điều kiện đủ :
2m
a
2
+ = b
2
+ c
2
a
2

+c
2
)sin(C – B) = (c
2
– b
2
)sin(C + B)
b
2

= c
2
… sin2BsinBsinC = sin2CsinBsinC
sin2B = sin2C (ptlg cơ bản) ….. Tam giác ABC vuông hoặc cân.
8
*
)Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I đường tròn nội tiếp vuông góc với đường
phân giác trong của góc C,gọi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.Chứng minh rằng : =
Hd : (Đề 5.18-A2000).
- Gọi giao điểm của IP với các cạnh CA,CB tương ứng là P,Q.Từ giả thiets suy ra CPQ cân tại C
-Gọi r,p, h
a
,h
b
, S thứ tự là …của ABC .d
a
, d
b
là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b của ABC
- Tính diện tích CPQ theo hai cách:

= h
b
nên ta có :
r.CP = (d
a
+ d
b
)

.CP r = (d
a
+ d
b
) r = (h
a
+ h
b
)

= (

+

)

= (

+

)

Hd :(Đề 10.34-A97) Đlý sin .(*) = cos(A+B) = 0 ABC vuông
14) Trong tam giác ABC ,chứng minh luôn có cosA+cosB+cosC 1 (*)
Hd :(Đề 10.35-B97) .Ta có (*) 2 + 4sin sin sin 0
15) Trong tam giác ABC ,chứng minh : a
2
+b
2
+c
2
2(ab+bc+ca)
Hd :(Đề 10.36-D97) Ta có : a b
2
+ c
2
– a
2
2bc
b c
2
+ a
2
– b
2
2ca
c a
2
+ b
2
– c
2

cot
2
cot
2
27 (1) .
Theo Cosi : cot
2
+ cot
2
+ cot
2
3. (2) Từ (1) và (2) suy ra :
cot
2
+ cot
2
+ cot
2
3. = 9 .Dấu bằng xẩy ra khi ở (1) và (2) đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là khi:
….. ABC đều
21) Tam giác ABC là tam giác gì nếu :
Hd :(Đề 15.58-A97)
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Page 4 -Đẳng thức (1) - 4cos cos cos = 0 có góc (chẳng hạn A) bằng 60

= + + =
= = = .Dấu bằng xẩy ra ABC đều
25) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác .
Tìm gtln của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC)
Hd :(Đề 17.67-A98)
Ta có M = 3(1- 2sin
2
) + 4sin cos f (t) = 6t
2
- 4t.cos + (M – 3) = 0 với t = sin
Phương trình f (t) = 0 có ’ = 4cos
2
– 6(M-3) 0 M-3 cos
2
M + 3 =
M = cos
2
= 1 và ’ = 0 B = C và A là góc có sin = . Vậy MaxM = .
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
Trần Đức Ngọc 0985128747 Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Page 5 26) Cho A,B,C là ba góc của tam giác . Chứng minh rằng :
Nếu cot , cot , cot lập thành một cấp số cộng thì cot . cot = 3
Hd :(Đề 17.68-A99)
- Trước hết chứng minh : Với tam giác ABC ta luôn có : cot + cot + cot = cot cot cot (1)
- Theo giả thiết ; cot , cot , cot lập thành một cấp số cộng .Ta có cot + cot = 2cot

.Đặt t = cosC , 0 t . Do đó
đpcm (2t – 1) 0 (*) Vì 2t 0 và 2t – 1 0 cho nên bđt (*) xẩy ra dấu bằng khi
và chỉ khi 2t – 1 = 0 t = C = 60
0
ABC đều.
29) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và p là nửa chu vi .
Chứng minh rằng : + + 2( + + )
Hd :(Đề 21.77-A01).Áp dụng bđt Cosi ta có :
+ 2. = =
Tức là : + (1) Tương tự: : + (2) và : + (3).
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta có đpcm.
30) Tam giác ABC có .Chứng minh ABC đều
Hd :(Đề 22.79-D97)
-Giả thiết : (Nhân chéo,làm gọn) a
2
(b+c) = b
3
+c
3
a
2
= b
2
+ c
2
– bc A = 60
0
(1)
- Giả thiết: cos(B – C) – cosA= cos(B – C) = 1 B - C = 0, B=C, ABC (2)
-Từ (1) và (2) ta được đpcm : ABC đều