CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999)
Tam giác ABC thoả:
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
+ +
.
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Cách 1.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔
sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔
sinAsinBsinC =
cos cos cos
22
2

222
ABCA
−
− +=
⇔

⇔
2
2
2sin cos 1 cos 0
22 2
ABC BC−−
⎛⎞
−+−
=
⎜⎟
⎝⎠
⇔
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪

sin
2
B
sin
2
C
= 1(1)
A
Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
1. Dấu đẳng
thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
≤
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C



− +− ≥
⎜⎟
⎝⎠
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
B = C, A =
3
π
.
Cách 3.
cos cos cos 1
2

áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB

cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++

⇔
2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA
⇔
a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) +
+ b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0
⇔
(a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0.
()(coscos)0
()(coscos)0
( )(cos cos ) 0
ab A B
bc B C abc
ca C A
−−=
⎧
⎪
⇔− − =⇔==
⎨
⎪
−−=


⇔
422
C
π π
≤ <

2
cos
22
C
⇒≤

sinA + sinB + sinC =
2cos cos sin
22
CAB
C
−
+

≤
2cos sin
2
C
C+
21≤ +

Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả :

tanB + tanC = 2tanA
⇔
sin( ) sin
2
cos cos cos
B CA+
B CA
=

⇔
cosA = 2cosBcosC
⇔
cosA = cos(B + C) + cos(B - C)
⇔
2cosA = cos(B - C) (2)
Từ (1) và (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1
⇔
B = C, A = 60
0
.

2
Bài toán 4.(ĐHThuỷ Lợi - A1999)
Tam giác ABC thoả 2cosAsinBsinC +
3
(sinA + cosB + cosC) = 17/4
Hỏi tam giác ABC có tính chất gì? Chứng minh.
Lời giải.
Để ý rằng cosA =
222 2 2 2

2
A +
3
(sinA + cosB + cosC) = 17/4
⇔
22
333
cos cos sin 0
222
BCA
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2

⇔
3
cos cos sin
2
BCA===
. Suy ra: B = C = 30
0
, A = 120
0
.
Bài toán 5.(ĐH&CĐ- 2002- TK1)
Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba
góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB.

=
=
()( )
abc
ax by cz
bc ca ab
++ + +
=
1
()[(
2
bc
ax by cz
ac b
)
+ ++
+
1
()
2
ca
ba c
+
1
()
2
ab
cb a
+
]

⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
c

ii) Có thể chứng minh:
111abc
bc ca ab a b c
++≥++
như sau:

1
()
2
abc ab
bc ca ab bc ca
++= +
+
1
()
2
bc
ca ab
+ +
1
()
2
ca
ab bc

=
111
.2S
abc
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
111
.
2
abc
abc R
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
2
ab bc ca
R
++
≤
222
2
abc
R
+ +


2
B
cos
2
+
2
C
cos
2
- 2 =
1
4
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2

Lời giải.

2
A
cos
2
+
2

cos
2

⇔
2(cosA + cosB + cosC - 1) =
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2

⇔
8sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
A - B
cos
2
B - C

Lời giải.
để ý rằng aha = 2S
⇔
1
a
h
=
2
a
S

Suy ra:
1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
=
1
()
2
abc
S
+ +

222 8
pp a bc
ABC
−≤
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩

(1) 4.
⇔
2
abc++
2
bca+−
bc
≤ ⇔
22
()bc a
bc
+ −
≤
1
⇔
2(1cos)bc A
bc
+

2
C
=
1
2
sin
2
A
(
cos cos
22
B CBC− +
−
)

≤

1
2
sin
2
A
(
1sin
2
A
−
) =
2
11

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = khi chỉ khi:
cos 1
2
3
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
A = 120
0
, B = C = 30
0
.
Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1)
Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:

1
cos cos( ) cos ( )
4
CAB A
B
−− −
1
4
≥−

+
minQ = -
1
4
khi chỉ khi
cos( ) 1
1
cos
2
AB
C
− =
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
⇔
A = B = 30

()pbb
ca
−
= 1
⇔
()
.
pp a
a
bc
−
+
()
.
pp b
b
ca
−
= p
⇔
22
()
.
bc a
a
bc
+−
+
22
()

22
.2cos
2
B C+
cos
2
B C−

= 2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
cos
2
B C−
- 4
≤
2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
- 4

≤

2
1
sin
2
2
AA
BC
A
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
A = 90
⇔
0
, B = C = 45
0
.
Cách 2.
Từ giả thiết suy ra: cos2A +
22

π
/4. Suy ra sin
2
A
> 0, cos
2
A
≥
2
/2
Do đó: sinA = 2 sin
2
A
cos
2
A
≥
2
sin
2
A

⇒
0 = sin
2
A - 2
2
sin
2
A