Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang:
•
ðường thẳng
0
y y=
ñược gọi là ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của ñồ thị hàm
số
( )
y f x
= nếu
( )
0
lim
x
f x y
→+∞
=
hoặc
( )
0
lim
x
f x y
→−∞
=
.

x x
f x
−
→
= −∞
hoặc
( )
0
lim
x x
f x
+
→
= −∞
.
2. ðường tiệm cận xiên:
ðường thẳng
( )
0
y ax b a= + ≠
ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị
hàm số
( )
y f x=
nếu
( ) ( ) ( )
lim 0
x
f x f x ax b
→+∞

x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
 
= = −
 

.
Ví dụ : Tìm tiệm cận của hàm số :
( )
2 1
)
2
x
a f x
x
−
=
+( )
2
1
)
x
b f x
x

x x
x x
f x f x y
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
= = = = = = ⇒ =
+ +
+ +

là tiệm
cận ngang của ñồ thị khi
x → −∞
và x → +∞
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 2 1
lim lim , lim lim 2
2 2
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +

−
−
= = = ⇒
+
+
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x → −∞

( )
( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
2
2
x x x
f x
x
x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = = ⇒
+
+

x
f x y
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = − + = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x → −∞
.
( )
2
2
1
1
1
lim lim lim 1 1, 1
x x x
x
x
f x y
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = ⇒ =
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x
→ +∞ .
( ) ( )

x x x
x
f x
x
x
x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = = ⇒
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x → −∞

( )
2
2
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
f x
x
x
x

x
− −
=
+

( )
1
) 2
3
c f x x
x
= + −
−

( )
2
3 4
)
2 1
x x
d f x
x
− +
=
+( )
2
2 1

+ +
=
−( )
2
2
1
)
5 2 3
x x
h f x
x x
+ +
=
− − +
2. Tìm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang của ñồ thị các hàm số sau :
( )
1
)
2 1
x
a f x
x
+
=

d f x
x
+
=
+( )
1
) 2 1e f x x
x
= − +

( )
2
2
)
3
x x
f f x
x
+
=
−( )
( )
2
1

x x
+
=
−( )
2
)
1
x
j f x
x
=
−( )
3
2
)
1
x
k f x
x
=
−( )


( )
2
2
1
)
1
x x
q f x
x
+ +
=
−
3. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau :
( )
2
) 3a f x x x= + +( )
2
) 2 1b f x x x= + −( )
2
) 4c f x x x= + +